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1、- 1 - 高中数学必修4 知识点第一章 三角函数正角: 按逆时针方向旋转形成的角1、任意角 负角:按顺时针方向旋转形成的角零角: 不作任何旋转形成的角2、象限的角 ：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做 轴线角 。第一象限角的集合为36036090 ,kkk第二象限角的集合为36090360180 ,kkk第三象限角的集合为360180360270 ,kkk第四象限角的集合为360270360360 ,kkk终边在x轴上的角的集合为180 ,kk终边在y轴上的角的集合为18090
2、,kk终边在坐标轴上的角的集合为90 ,kk3、与角终边相同的角，连同角在内，都可以表示为集合Zkk,360| 4、弧度制：（ 1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是lr（ 2）度数与弧度数的换算：2360o，180 rad ，1 rad185730.57)180(注： 角度与弧度的相互转化：设一个角的角度为on，弧度为；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页- 2 - 角度化为弧度：180180nnnooo，弧度化为角度：o
3、o180180（ 3）若扇形的圆心角为（是角的弧度数） ，半径为r，则：弧长公式：,180（用度表示的）nl（用弧度表示的）rl|；扇形面积：)(3602用度表示的扇rnslrrS21|212扇（用弧度表示的）5、三角函数 :（ 1）定义 ：设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是, x y，它与原点的距离是220rOPrxy，则sinyr，cosxr，tan0yxx定义 ：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么 v 叫做的正弦，记作sin,即 siny;u 叫做的余弦，记作cos，即 cos=x; 当的终边不在y 轴上时，xy叫做的正切，记作tan, 即 tan=xy
4、.（2）三角函数值在各象限的符号：口诀：全正，S正， T正， C正。口诀：第一象限全为正；二正三切四余弦. （3）特殊角的三角函数值的角度030456090120135150180的弧度06432324365P(x,y)yxosinx y + + _ _ O x y + + _ _ cosO tanx y + + _ _ O P(x,y)yxo精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页- 3 - sin021222312322210cos123222102122231tan03313不存在31330的角度210225240
5、270300315330360的弧度6745342335476112sin21222312322210cos23222102122231tan3313不存在31330（4）三角函数线：如下图（5）同角三角函数基本关系式（）平方关系：1cossin22（）商数关系：cossintan6、三角函数的诱导公式：1 sin 2sink，cos 2cosk，tan 2tankk口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等2 sinsin，coscos，tantan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页- 4 - 3 sinsin，co
6、scos，tantan4 sinsin，coscos，tantan5 sin 2sin，cos 2cos，tan 2tan口诀：函数名称不变，正负看象限6 sincos2，cossin2，tancot27 sincos2，cossin2，tancot2口诀：正弦与余弦互换，正负看象限诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变， 符号看象限” 。即将括号里面的角拆成2k的形式。7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数sinyxcosyxtanyx图象定RR,2x xkk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页- 5 - 义域
7、值域值域：1,1当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y值域：1,1当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y值域：R既无最大值也无最小值周期性sinyx是周期函数； 周期为2,TkkZ且0k；最小正周期为2cosyx是周期函数；周期为2,TkkZ且0k；最小正周期为2tanyx是周期函数； 周期 为,TkkZ且0k；最小正周期为奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kkk上是增函数；在32,222kkk上是减函数在2,2kkk上是增函数； 在2,2kkk上是减函数在,22kkk上是增函数对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02
8、kk无对称轴8、 （ 1）sinyxb的图象与xysin图像的关系：图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页- 6 - 振幅变换：xysinxAysin周期变换：xysinxysin相位变换：xysin)sin(xy平移变换：)sin(xAysinyxb注：函数xysin的图象怎样变换得到函数sinyAxB的图象：（两种方法）先平移后伸缩：sinyx平移|个单位si nyx（左加右减）纵坐标不变)s i n ( xy横坐标变为原来的1|倍横坐标不变sinyAx纵坐标变为原来
9、的A 倍平移|B个单位sinyAxB（上加下减）先伸缩后平移：sinyx纵坐标不变xysin横坐标变为原来的1|倍平移个单位)sin(xy图象整体向左（0）或向右（0）平移个单位图象上每个点的横坐标变为原来的1倍，纵坐标不变图象整体向上（0b）或向下（0b）b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页- 7 - （左加右减）横坐标不变sinyAx纵坐标变为原来的A 倍平移|B个单位sinyAxB（上加下减）（2）函数)0,0()sin(AbxAy的性质：振幅：；周期：2；频率：12f；相位：x；初相：定义域：R值域：,Ab
10、 Ab当22xkk时，maxyAb；当22xkk时，minyAb周期性：函数)0,0()sin(AbxAy是周期函数；周期为2T单调性：x在2,222kkk上时是增函数；x在32,222kkk上时是减函数对称性：对称中心为,0kk；对称轴为x2kk第二章 平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示2、零向量：长度为0 的向量叫零向量，记作0；零向量的方向是任意的3、 单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量；与向量a平行的单位向量：|aae4、平行向量 （共线向量） ： 方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作ba /；精选学习
11、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页- 8 - 规定0与任何向量平行5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等. 注意：任意两个相等的非零向量，都 可以 用同一条有 向线段 来表示，并且与有向线段的起点无关。6、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相接平行四边形法则的特点：起点相同运算性质：交换律：abba；结合律：abcabc；00aaa坐标运算： 设11,ax y，22,bxy，则1212,abxxyy7、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设11,ax y
12、，22,bxy，则1212,abxxyy设、两点的坐标分别为11,xy，22,xy，则2121,xx yy8、向量数乘运算：baCabCC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页- 9 - 实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作aaa；当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a运算律：aa；aaa；abab坐标运算：设,ax y，则,ax yxy9、向量共线定理：向量0a a与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba设11,ax y，22,bxy， 其中0b，则当且仅当122
13、10 x yx y时，向量a、0b b共线10、平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1122aee （不共线 的向量1e、2e作为这一平面内所有向量的一组基底）11、分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是11,x y，22,xy，当12时，点的坐标是1212,11xxyy12、平面向量的数量积：定义：cos0,0,0180a ba bab零向量与任一向量的数量积为0性质： 设a和b都是非零向量， 则0aba b当a与b同向时，a ba b；当a与b反向时，a ba b；22a aaa或aa a
14、a ba b运算律：a bb a；aba bab；abca cb c坐标运算：设两个非零向量11,ax y，22,bxy，则1212a bx xy y若,ax y，则222axy，或22axy设11,ax y，22,bxy，则12120abx xy y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页- 10 - 设a、b都是非零向量，11,ax y，22,bxy，是a与b的夹角，则121222221122cosx xy ya ba bxyxy第三章 三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式（）平方关系：1cossin22（）商数关
15、系：cossintan（）倒数关系：1cottan222tan1tansin；22t an11c o s注意：tan,cos,sin按照以上公式可以“知一求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切)(S：sincoscossin)sin()(S：sincoscossin)sin()(C：sinsincoscos)cos(a)(C：sinsincoscos)cos(a)(T：tantan1tantan)tan()(T：tantan1tantan)tan(正切和公式：)tantan1()tan(tantan3、辅助角公式 ：xbabxbaabaxbxacossincossin222222)sin()s
16、incoscos(sin2222xbaxxba（其中称为辅助角，的终边过点),(ba，abtan）4、二倍角的正弦、余弦和正切公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页- 11 - 2S：cossin22sin2C：22sincos2cos1cos2sin21222T：2tan1tan22tan* 二倍角公式的常用变形：、|sin|22cos1，|cos|22cos1； 、|sin|2cos2121，|cos|2cos212122sin1cossin21cossin22244；2cossincos44；* 降次公式
17、：2sin21cossin212cos2122cos1sin2212cos2122cos1cos25、* 半角的正弦、余弦和正切公式：2cos12sin；2cos12cos，cos1cos12tancos1sinsincos16、同角三角函数的常见变形：（活用“ 1”）22cos1sin；2cos1sin；22sin1cos；2sin1cos；2sin2cossinsincoscottan22，2cot22sin2cos2cossinsincostancot222sin1cossin21)cos(sin2；|cossin|2sin17、补充公式：精选学习资料 - - - - - - - - -
18、 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页- 12 - 万能公式2tan12tan2sin2；2tan12tan1cos22；2t an12t an2t an2积化和差公式)sin()sin(21cossin)sin()sin(21sincos)cos()cos(21coscos)cos()cos(21sinsin和差化积公式2cos2sin2sinsin；2sin2cos2sinsin2cos2c os2c osc os；2sin2sin2coscos注： 带*号的公式表示了解，没带*公式为必记公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页