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1、精编知识点 高中数学必修 4 知识点 第一章 三角函数 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角 负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。第一象限角的集合为36036090,kkk 第二象限角的集合为36090360180,kkk 第三象限角的集合为360180360270,kkk 第四象限角的集合为360270360360,kkk 终边在x轴上的角的集合为180,kk 终边在y轴上的角的集合为18090,
2、kk 终边在坐标轴上的角的集合为90,kk 3、与角终边相同的角，连同角在内，都可以表示为集合Zkk,360|4、弧度制：（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是lr（2）度数与弧度数的换算：2360o，180 rad，1 rad185730.57)180(注：角度与弧度的相互转化：设一个角的角度为on，弧度为；精编知识点 角度化为弧度：180180nnnooo，弧度化为角度：oo180180（3）若扇形的圆心角为（是角的弧度数），半径为r，则：弧长公式：,180（用度表示的）nl （用弧度表示的）
3、rl|；扇形面积：)(3602用度表示的扇rns lrrS21|212扇（用弧度表示的）5、三角函数:（1）定义：设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标 是,x y，它与原点的距离是220r OPrxy，则sinyr，cosxr，tan0yxx 定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么 v 叫做的正弦，记作 sin,即 siny;u 叫做的余 弦，记作 cos，即 cos=x;当的终边不在 y 轴上时，xy叫做的正切，记作 tan,即 tan=xy.（2）三角函数值在各象限的符号：口诀：全正，S 正，T正，C正。口诀：第一象限全为正；二正三切四余弦.（3）特殊角的三
4、角函数值 的角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 的弧度 0 6 4 3 2 32 43 65 P(x,y)yxosin x y+_ _ O x y+_ _ cos O tan x y+_ _ O P(x,y)y x o 第几象限就是第几象限的角角的终边落在坐标轴上这个角不属于任何象轴上的角的集合为与角终边相同的角连同角在内都可以表示为集合弧度与弧度的相互转设一个角的角度为弧度为精编知识点角度化为弧度弧度精编知识点 sin 0 21 22 23 1 23 22 21 0 cos 1 23 22 21 0 21 22 23 1 tan 0 33 1 3 不存在 3 1
5、 33 0 的角度 210 225 240 270 300 315 330 360 的弧度 67 45 34 23 35 47 611 2 sin 21 22 23 1 23 22 21 0 cos 23 22 21 0 21 22 23 1 tan 33 1 3 不存在 3 1 33 0 （4）三角函数线：如下图 （5）同角三角函数基本关系式 （）平方关系：1cossin22 （）商数关系：cossintan 6、三角函数的诱导公式：1 sin 2sink，cos 2cosk，tan 2tankk 口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等 2 sinsin，coscos，tantan 第几象限
6、就是第几象限的角角的终边落在坐标轴上这个角不属于任何象轴上的角的集合为与角终边相同的角连同角在内都可以表示为集合弧度与弧度的相互转设一个角的角度为弧度为精编知识点角度化为弧度弧度精编知识点 3 sinsin，coscos ，tantan 4 sinsin ，coscos ，tantan 5 sin 2sin ，cos 2cos，tan 2tan 口诀：函数名称不变，正负看象限 6 sincos2，cossin2，tancot2 7 sincos2，cossin2，tancot2 口诀：正弦与余弦互换，正负看象限 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。即将括号里面的角拆成2k的形式。7、
7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数 sinyx cosyx tanyx 图 象 定R R,2x xkk 第几象限就是第几象限的角角的终边落在坐标轴上这个角不属于任何象轴上的角的集合为与角终边相同的角连同角在内都可以表示为集合弧度与弧度的相互转设一个角的角度为弧度为精编知识点角度化为弧度弧度精编知识点 义域 值 域 值域：1,1 当22xkk时，max1y；当22xk k时，min1y 值域：1,1 当2xkk时，max1y；当2xk k时，min1y 值域：R 既无最大值也无最小值 周期性 sinyx是周期函数；周期为2,TkkZ且0k；最小正周期为2 cosyx是周期函数；周期为
8、2,TkkZ且0k；最小正周期为2 tanyx是周期函数；周期 为,TkkZ且0k；最小正周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,222kk k上是增函数；在 32,222kk k上是减函数 在2,2kkk 上是增函数；在2,2kk k上是减函数 在,22kk k上是增函数 对称性 对称中心,0kk 对称轴2xkk 对称中心,02kk 对称轴xkk 对称中心,02kk 无对称轴 8、（1）sinyxb 的图象与xysin图像的关系：图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍 第几象限就是第几象限的角角的终边落在坐标轴上这个角不属于任何象轴上的角的集合为与角终边相同的角连同
9、角在内都可以表示为集合弧度与弧度的相互转设一个角的角度为弧度为精编知识点角度化为弧度弧度精编知识点 振幅变换：xysin xAysin 周期变换：xysin xysin 相位变换：xysin )sin(xy 平移变换：)sin(xAy sinyxb 注：函数xysin的图象怎样变换得到函数sinyAxB的图象：（两种方法）先平移后伸缩：sinyx 平移|个单位 s i nyx（左加右减）纵坐标不变 )s in(xy 横坐标变为原来的1|倍 横坐标不变 sinyAx 纵坐标变为原来的 A 倍 平移|B个单位 sinyAxB（上加下减）先伸缩后平移：sinyx 纵坐标不变 xysin 横坐标变为原
10、来的1|倍 平移个单位 )sin(xy 图象整体向左（0）或向右（0）平移个单位 图象上每个点的横坐标变为原来的1倍，纵坐标不变 图象整体向上（0b）或向下（0b）b第几象限就是第几象限的角角的终边落在坐标轴上这个角不属于任何象轴上的角的集合为与角终边相同的角连同角在内都可以表示为集合弧度与弧度的相互转设一个角的角度为弧度为精编知识点角度化为弧度弧度精编知识点（左加右减）横坐标不变 sinyAx 纵坐标变为原来的 A 倍 平移|B个单位 sinyAxB（上加下减）（2）函数)0,0()sin(AbxAy的性质：振幅：；周期：2；频率：12f；相位：x；初相：定义域：R 值域：,A b A b
11、当22xk k时，maxyAb；当22xk k时，minyAb 周期性：函数)0,0()sin(AbxAy是周期函数；周期为2T 单调性：x在2,222kkk上时是增函数；x在32,222kkk上时是减函数 对称性：对称中心为,0kk；对称轴为x2kk 第二章 平面向量 1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示 2、零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作0；零向量的方向是任意的 3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量a平行的单位向量：|aae 4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作ba/；第几象
12、限就是第几象限的角角的终边落在坐标轴上这个角不属于任何象轴上的角的集合为与角终边相同的角连同角在内都可以表示为集合弧度与弧度的相互转设一个角的角度为弧度为精编知识点角度化为弧度弧度精编知识点 规定0与任何向量平行 5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。6、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相接 平行四边形法则的特点：起点相同 运算性质：交换律：abba ；结合律：abcabc ；00aaa 坐 标 运 算：设11,ax y，22,bxy，则1212,abxxyy 7、向量减法
13、运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量 坐标运算：设11,ax y，22,bxy，则 1212,abxxyy 设、两点的坐标分别为11,x y，22,xy，则 2121,xx yy 8、向量数乘运算：b a C abCC 第几象限就是第几象限的角角的终边落在坐标轴上这个角不属于任何象轴上的角的集合为与角终边相同的角连同角在内都可以表示为集合弧度与弧度的相互转设一个角的角度为弧度为精编知识点角度化为弧度弧度精编知识点 实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a aa；当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a 运算律：aa；aaa；
14、abab 坐标运算：设,ax y，则,ax yxy 9、向量共线定理：向量 0a a 与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba 设11,ax y，22,bxy，其中0b，则当且仅当12210 x yx y时，向量a、0b b 共线 10、平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1 122aee（不共线的向量1e、2e作为这一平面内所有向量的一组基底）11、分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是11,x y，22,xy，当12 时，点的坐标是1212,11xxyy 12、平面向量的数量积：定义：co
15、s0,0,0180a ba bab 零向量与任一向量的数量积为0 性质：设a和b都是非零向量，则0aba b 当a与b同向时，a ba b；当a与b反向时，a ba b；22a aaa或aa aa ba b 运算律：a bb a；aba bab ；abca cb c 坐标运算：设两个非零向量11,ax y，22,bxy，则1212a bx xy y 若,ax y，则222axy，或22axy 设11,ax y，22,bxy，则12120abx xy y 第几象限就是第几象限的角角的终边落在坐标轴上这个角不属于任何象轴上的角的集合为与角终边相同的角连同角在内都可以表示为集合弧度与弧度的相互转设一
16、个角的角度为弧度为精编知识点角度化为弧度弧度精编知识点 设a、b都是非零向量，11,ax y，22,bxy，是a与b的夹角，则 1 21222221122cosx xy ya ba bxyxy 第三章 三角恒等变形 1、同角三角函数基本关系式 （）平方关系：1cossin22 （）商数关系：cossintan （）倒数关系：1cottan 222tan1tansin ；22tan11c o s 注意：tan,cos,sin 按照以上公式可以“知一求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切)(S：sincoscossin)sin()(S：sincoscossin)sin()(C：sinsincosc
17、os)cos(a )(C：sinsincoscos)cos(a)(T：tantan1tantan)tan()(T：tantan1tantan)tan(正切和公式：)tantan1()tan(tantan 3、辅助角公式：xbabxbaabaxbxacossincossin222222)sin()sincoscos(sin2222xbaxxba（其中称为辅助角，的终边过点),(ba，abtan）4、二倍角的正弦、余弦和正切公式：第几象限就是第几象限的角角的终边落在坐标轴上这个角不属于任何象轴上的角的集合为与角终边相同的角连同角在内都可以表示为集合弧度与弧度的相互转设一个角的角度为弧度为精编知识点
18、角度化为弧度弧度精编知识点 2S：cossin22sin 2C：22sincos2cos1cos2sin2122 2T：2tan1tan22tan *二倍角公式的常用变形：、|sin|22cos1，|cos|22cos1；、|sin|2cos2121，|cos|2cos2121 22sin1cossin21cossin22244；2cossincos44；*降次公式：2sin21cossin 212cos2122cos1sin2 212cos2122cos1cos2 5、*半角的正弦、余弦和正切公式：2cos12sin ；2cos12cos，cos1cos12tancos1sinsincos1
19、 6、同角三角函数的常见变形：（活用“1”）22cos1sin；2cos1sin；22sin1cos；2sin1cos；2sin2cossinsincoscottan22，2cot22sin2cos2cossinsincostancot22 2sin1cossin21)cos(sin2；|cossin|2sin1 7、补充公式：第几象限就是第几象限的角角的终边落在坐标轴上这个角不属于任何象轴上的角的集合为与角终边相同的角连同角在内都可以表示为集合弧度与弧度的相互转设一个角的角度为弧度为精编知识点角度化为弧度弧度精编知识点 万能公式 2tan12tan2sin2；2tan12tan1c o s22；2tan12tan2tan2 积化和差公式 )sin()sin(21cossin )sin()sin(21sincos )cos()cos(21coscos )cos()cos(21sinsin 和差化积公式 2cos2sin2sinsin；2sin2cos2sinsin 2c o s2c o s2c o sc o s；2sin2sin2coscos 注：带*号的公式表示了解，没带*公式为必记公式 第几象限就是第几象限的角角的终边落在坐标轴上这个角不属于任何象轴上的角的集合为与角终边相同的角连同角在内都可以表示为集合弧度与弧度的相互转设一个角的角度为弧度为精编知识点角度化为弧度弧度