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1、YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版名师归纳总结学习必备欢迎下载平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示与向量的数量积一、向量的概念1. 向量 ：既有大小有方向的量叫做向量2. 几何表示 :向量可以用有向线段表示只有大小没有方向的量称为数量.长度 ：向量 AB 的大小 , 也就是向量AB的长度 ( 或称模 ), 记做 |AB| .a, b,c（印刷用黑体a ，手写用 a ）或用表示向量的有向线段的起点向量也可用字母和终点表示 . 例如， AB ，CD .零向量 ：长度为0 的向量 . 记做 0 .单位向量平行向量:长度为 1 的向量 .:方向相同或相反的向量. 记作a / /b
2、 .规定 :零向量与任一向量平行.3. 相等向量 : 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.记做a = b.注意 :向量相等与有向线段的起点无关.共线向量 : 任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫共线向量.二、平面向量的线性运算1. 向量加法的三角形法则( 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算)已知非零向量a 、 b ，在平面内任取一点A ，作 ABa ， BCb ，则向量 AC叫做 a和 b 的和，记做a + b ，即a + bABBC求两个向量和的运算，叫做2. 向量加法的平行四边形法则向量的加法 .这种方法称为向量加法的三角形法则.以同一个点O 为起点的两个已知
3、向量a 、 b 为邻边作OACB , 则以O 为起点的对角线, 即 a+ bOAOBOC. 此法叫做向量加法的平行四边形法则是 a 与 b 的和OC.规定 ：对零向量与任一向量a ，3. 小结论a + 0 = 0+ a = a对任意向量a 、 b ，有 | a + b | | a | + | b| ；当 a 、 b 同向时，| a + b |=| a | + | b | ；当 a 、 b 反向是， | a + b |=| a | - | b | （或 | b | - | a |）： a + b = b+a ；向量加法 结合律 ： (a + b)+ c = a + (b+ c)4. 向量加法 交
4、换律5. 与 a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量 . 规定 ：零向量的相反向量是零向量.6. 向量减法的几何意义：a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.这种运算叫做向量的数与向量 a 的积是一个向量，7. 向量的 数乘 ：一般地， 我们规定实数乘，记作a ，它的长度与方向规定如下：|a | | a |；(1)精品学习资料第 1 页，共 7 页名师归纳总结学习必备欢迎下载0 时 ,a 的方向与a 的方向相同；当0 时 ,a 的方向与 a 的方向相同 .(2)当8. 数乘的运算律：(a )()a ;() aaa ;(ab)ab .(1)(2)(3)9. 向量共
5、线充要条件: 向量a(a0 ) 与b共线 , 当且仅当有唯一一个实数, 使 ba .三、平面向量的基本定理及坐标表示1. 平面向量基本定理如果e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一个实数1 、，使得2a1e12 e2把不共线的向量e1 、 e2 叫做这一平面内所有向量的基底.a和b ，作OAa ， OBb ，则AOB(0180 )2. 向量的 夹角已知两个非零向量叫做向量 a 与 b 的夹角 .如果 a 与 b 的夹角是 90 ，称 a 与 b 垂直 ，记作ab.时， a与 b 同向；当a与 b 反向 .0180当时，3. 正交分解把一个向量
6、分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i 、4. 向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与j 作为基底 . 对于平面内的一个向量a ，由平面基本定理可知，有且只有一对实数x 、 y ，使得axiyj这样，平面内的任一向量a 都可以由 x 、唯一确定，我们把有序数对y( x, y) 叫做向量 a的坐标，记作a(x, y) . 其中 x ， y 分别叫做 a 在 x 轴上，在y 轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示5. 平面向量的坐标运算.(1)若 a( x1 , y1 ) ， b( x2 , y2 ) ，则 a
7、b( x1x2 , y1y2 ) ；(2)若 a( x, y),R , 则a(x,y) ；A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ，则 AB( x2x1 , y2y1 ) .(3)若6. 平面向量共线的坐标表示(x1, y1) , b( x2 , y2) (b0) , 则向量a、b(b0) 共线的设ax1 y2x2 y10 .充要条件为精品学习资料第 2 页，共 7 页名师归纳总结学习必备欢迎下载x1 x 22y1y2 27. 设P(,) ；P1 (x1, y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) .(1)若 P 是 P1P2 的中点，则x1x2y1y2若P1PPP2 ，则 P
8、(,) .(2)11前三部分总结1. 向量相等 ( 长度和方向 ).2. 加法的三角形法则( 首尾相连) 、四边形法则( 起点相同) 及其几何意义.注意与平面几何相结合小结论： (1) G 为ABC的重心 ( 中线的交点)x1x23x3 ，y1y23y3GA+GB+GC0G；G 为ABCGAGBGC的外心(2)3. 共线 ( 平行 ) 向量 .(1)a ( x1, y1 ),b( x2 , y2 )( b0 )a / / ba =bx1 y2x2 y10 ；A, B, C 三点共线AB / / AC .(2)4. 平面向量基本定理2e2 (e1, e2 不共线a1e1)四、平面向量的数量积：1
9、、向量的夹角概念：对于两个非零向量a, b，如果以 O 为起点，作OAa,OBb ，那么射线OA,OB 的夹叫做向量 a 与向量 b 的夹角，其中0角2、向量的数量积概念及其运算：（1）定义 : 如果两个非零向量a, b 的夹角为，那么我们把 | a | b | cos叫做向量 a 与向量 b的数量积，记做a b即： a bab cos（2）投影： b 在 a 上的投影是一个数量b cos，它可以为正，可以为负，也可以为0（3）坐标计算公式：若向量a(x1, y1 )，b( x2 , y2 ) ，则 a bx1x2y1 y2aabbx1x2y1 y23、向量的夹角公式：cos2222x1y1x
10、2y22224、向量的模长：aaa ax1y1精品学习资料第 3 页，共 7 页名师归纳总结学习必备欢迎下载5、平面向量的平行与垂直问题： （ 1）若a( x1 , y1 ) ，b( x2 , y2 ) ，a / /b ，则 x1y2x2y10（2）若a(x1, y1 ) ， b(x2 , y2 ) ， ab ，则 a b0x1 x2y1 y20例：一、平面向量的数量积的应用：1、向量数量积定义的应用a1, b2, 向量a, b 的夹角为( a2b) (2 ab)例 1（ 1）已知，求3（2）已知a(2,1),b(3,4), 求：(ab) (a3b ) ；若ac1, b c9 ，求 c 的坐标
11、2、向量的夹角问题例2（ 1）已知向量a 、 b 都是非零向量，且向量a3b 与向量 7 a5 b垂直，向量a4 b 与向量 7 a2 b 垂直，求向量a 与 b 的夹角。（ 2）若向量 a = x, 2 x ， b =3x,2 ，且 a ， b 的夹角为钝角，求x 的取值范围基础练习：一、选择题1下列向量给中， 能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A e1 =(0,0), e2 =(1, 2) ;B e1=(-1,2), e2 =(5,7);1234C e1=(3,5), e2 =(6,10);D e1=(2,-3) , e2 = (,)2已知向量a、 b，且 AB =a+2b ,
12、 BC = -5 a+6b , CD =7a-2b,则一定共线的三点是（）精品学习资料第 4 页，共 7 页名师归纳总结学习必备欢迎下载A A 、B 、 DB A 、B 、 CC B、 C 、 DD A 、 C、 D3如果 e1、e2 是平面 内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（） e1 e2(, R) 可以表示平面内的所有向量；对于平面中的任一向量a,使 a=e1 e2 的 , 有无数多对；若向量1e1+1e2 与2e1+2e2 共线 ,则有且只有一个实数k,使2e1+2e2 =k(1e1+1e2)；若实数, 使 e1 e2=0，则B =0.A CD仅5若向量a=(1,1), b
13、=（ 1,-1) , c=(-2,4) , 则c=()A -a+3b6 平面直角坐标系中，B 3a-bC a-3bD -3a+b*O为坐标原点，已知两点A(3,1), B(-1,3), 若点y) 满足）C(x,OC =OA +OB ，其中, R 且 +=1 ，则 x, y 所满足的关系式为（D x+2y-5=022A 3x+2y-11=0二、填空题B (x-1) +(y-2) =5C 2x-y=07作用于原点的两力F 1 =(1,1) , F 2 =(2,3) , 为使得它们平衡，需加力F3=;8若 A(2,3)，B(x, 4),C(3, y),且 AB =2 AC ,则 x=，y=;1A(2
14、,3),B(1,4)且AB =(sin ,cos), , (-29已知), 则 +=,22*10已知a=(1,2) , b=(-3,2), 若 ka+b 与 a-3b 平行，则实数k 的值为11、若 ab0 ，则 a 与 b 的夹角的取值范围是。180 ， a 与 b 的夹角是12、| a |10,| b |36, a b。a 与 b 的夹角为钝角，实数a(m,2), b(3,5), 若13、 已知m 的取值范围为。14、已知 | a |1,| b |2,(ab)a，则 a 与 b 的夹角是三、解答题15.已知向量b 与向量a=(5,-12) 的方向相反，且|b|=26,求 b16如果向量实数
15、 m 的值使AB =i-2j , BC =i+mj ,其中 i、j 分别是 x 轴、 y 轴正方向上的单位向量，试确定A、 B、C 三点共线。精品学习资料第 5 页，共 7 页名师归纳总结学习必备欢迎下载(-1,0)、 (3,-1) 、(1,2） , AE1 AC, BF31 BC,317已知 A、 B、C 三点坐标分别为求证：EF / AB*18已知A(2,3)、 B(5,4) 、 C(7,10)，若 APR) ，试求 为何值时，点P 在第ABAC(三象限内？a 与 b 的夹角为锐角，求实数19、已知1),若m 的取值范围。a(2, 1), b(m, m20、已知 a 、 b 都是非零向量，
16、且a3b 与 7a5b 垂直， a4b 与 7a2b 垂直，求 a 与 b 的夹角。21、 ABC 中， A(4,1)， B(7,5)， C(4,8)，判断 ABC 的形状。22、 在 ABC 中， AB(1,1), AC(2, k) ，若 ABC 为直角三角形，求实数k 的值。a 与 b 的夹角是多少？23、已知a(1,3),b(31,31), 求精品学习资料第 6 页，共 7 页名师归纳总结学习必备欢迎下载5(3 ,), b 31(3,), 求3a2b 与 ab 的夹角是多少？24、已知a若 a 与b 的夹角为，且 a =(3,3) ，2ba(1,1) ，求25、。精品学习资料第 7 页，共 7 页