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1、2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理学习目标1、知道平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示. 重难点1. 教学重点：平面向量基本定理2. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用自主学习1平面向量基本定理(1)定理：如果e1， e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的_向量 a，_实数 1，2，使 a_. (2)基底：把 _的向量 e1，e2叫做表示这一平面内_向量的一组基底2. 两向量的夹角与垂直(1) 夹 角 ： 已 知 两
2、个 _a 和b， 作 OA a， OB b， 则 _ (0 180 )，叫做向量a 与 b 的夹角范围：向量a 与 b 的夹角的范围是_当 0 时， a 与 b_. 当 180 时， a 与 b_. (2)垂直：如果a 与 b 的夹角是 _，则称 a 与 b 垂直，记作 _设 e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量通过作图法可以证明：一定存在一组实数(1，2)使 a1e12e2成立，并且 (1，2)是唯一的，请你根据图 1 和图 2 叙述这一过程对点讲练对基底概念的理解例 1如果 e1，e2是平面 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是() e1 e2( 、
3、R)可以表示平面内的所有向量；对于平面内任一向量a，使 a e1 e2的实数对 ( ， )有无穷多个；若向量1e11e2与 2e12e2共线，则有且只有一个实数 ，使得 1e11e2 (2e12e2)；若存在实数 ，使得 e1 e20，则 0. ABCD回顾归纳考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线此外， 一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来变式训练 1设 e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e1与 e1e2；
4、e12e2与 e22e1； e12e2与 4e22e1； e1e2与 e1 e2. 其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_(写出所有满足条件的序号) 用基底表示向量例 2如图，梯形ABCD 中， ABCD，且 AB2CD，M、N 分别是 DC 和 AB 的中点，若 ABa，ADb 试用 a，b 表示 DC、BC、MN. 回顾归纳用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来 解决此类题时， 首先仔细观察所给图形借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决变式训练 2如图，已知ABC 中， D 为 BC 的中点， E，F 为 BC 的三等分点，若A
5、Ba，ACb，用 a，b 表示 AD， AE，AF. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页平面向量基本定理的应用例 3如图所示，在ABC 中，点 M 是 BC 的中点，点N 在边 AC 上，且 AN2NC， AM 与BN 相交于点P，求证： APPM4 1. 回顾归纳(1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注重方程思想的应用；(2)用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握变式训练 3如图所示， 已知 AOB 中，点 C 是以 A 为中点的点B 的对称点， OD2DB，DC
6、和 OA交于点 E，设 OAa，OBb. (1)用 a 和 b 表示向量 OC、DC； (2)若OE OA，求实数 的值1.对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面内精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底2准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向
7、量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决. 课时作业一、选择题1若 e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是() Ae1 e2，e2e1B2e1e2，e112e2C2e23e1,6e14e2De1e2，e1e22等边 ABC 中， AB与BC的夹角是 () A30B45C60D1203下面三种说法中，正确的是() 一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量ABCD4在 ABC 中
8、，D，E，F 依次是 BC 的四等分点，以ABe1，ACe2为基底，则 AF等于() A.14e134e2B.34e114e2C.14e114e2D.14e114e25已知 ABC 和点 M 满足 MAMBMC0.若存在实数m 使得 AB ACmAM成立，则 m 的值为 () A2 B3 C4 D 5 二、填空题6设向量 m2a3b，n4a 2b，p 3a2b，试用 m，n 表示 p 的结果是 _7在 ABC 中， ABc， ACb.若点 D 满足 BD2DC，则 AD_. 三、解答题8.如图在平行四边形ABCD 中， M， N 分别为 DC，BC 的中点，已知AMc，ANd，试用 c， d
9、表示 AB，AD.9. 如图所示，在OAB中，OC14OA，OD12OB，AD与BC交于点M，设OAa，OBb，以a、b为基底表示OM.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页 2.3平面向量的基本定理及坐标表示23.1平面向量基本定理知识梳理1(1)不共线任意有且只有一对1e1 2e2， (2)不共线所有2(1)非零向量 AOB0,180同向反向(2)90 ab自主探究解在平面内任取一点O.作 OAe1， OBe2， OCa.过点 C 作平行于直线OB 的直线，与直线 OA 交于点 M；过点 C 作平行于直线OA 的直线
10、，与直线OB 交于点 N. 由共线向量定理知，存在实数1、2使OM1e1，ON2e2，由于 OCOMON，所以 a1e12e2. 下面说明这里的1、2是唯一的设a 1e1 2e2； 1e1 2e2 1e1 2e2. (11)e1(22)e20，e1、 e2不共线 11220. 1 1， 22. (1，2)是唯一存在的对点讲练例 1B由平面向量基本定理可知，是正确的对于， 由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的对于，当两向量的系数均为零，即12120 时，这样的 有无数个，故选B. 变式训练 1解析对于 4e22e1 2e14e2 2(e12e
11、2)，e12e2与 4e22e1共线，不能作为基底例 2解如图所示，连接CN，则四边形ANCD 是平行四边形则DCAN12AB12a，BCNCNB AD12ABb12a，MNCNCM AD12CD AD1212AB14ab. 变式训练 2解ADABBDAB12BCa12(b a)12a12b；AEABBEAB13BCa13(ba)23a13b；AFABBFAB23BCa23(ba)13a23b. 例 3解设ABb，AC c，则 AM12b12c，AN23AC， BNBAAN23c b. APAM，BP BN，存在 ， R，使得 AP AM，BP BN，又APPBAB，精选学习资料 - - -
12、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页 AM BNAB，由 12b12c 23cb b 得12 b12 23cb. 又b 与 c 不共线12 1；12 23 0.解得 45； 35.故AP45AM，即 APPM41. 变式训练 3解(1)由题意， A 是 BC 的中点，且 OD23OB，由平行四边形法则，OBOC2OA. OC 2OAOB2ab，DCOCOD(2ab)23b2a53b. (2)EC DC. 又ECOCOE(2ab) a (2 )ab，DC2a53b，22153， 45. 课时作业 1、D2.D3.B 4A D， E，F 依次是 B
13、C 的四等分点， AE12(AB AC)12(e1 e2)，BC ACABe2 e1，AFAEEF12(e1 e2)14BC12(e1e2)14(e2e1)14e134e2. 5B设 BC 的中点为D，由已知条件可得M 为 ABC 的重心， ABAC2AD，又AM23AD，故 m3. 6 p74m138n解析设 p xmyn，则3a2b x(2a3b)y(4a2b)(2x4y)a(3x2y)b 得2x4y33x2y 2?x74y138. 7.23b13c解析ADAB BDAB23BCAB23(ACAB)13AB23AC23b13c. 8解设 ABa，AD b，因为 M，N 分别为 DC，BC
14、的中点，所以BN12b，DM12a，cb12ada12b，解得a232dcb232cd，即 AB23(2dc)，AD23(2cd)9解设OMmanb (m，nR)，则 AMOMOA(m1)anb，ADODOA12ba a12b.因为 A，M， D 三点共线，所以m11n12，即 m2n1，而 CMOMOC m14anb，CBOBOCb14a14ab，因为 C，M，B 三点共线，所以m1414n1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页即 4m n1.由m2n1，4m n1，解得m17，n37，所以 OM17a37b. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页