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1、23平面向量的基本定理及坐标表示导学案【学习目标】1. 了解平面向量的基本定理及其意义。2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。3. 会用坐标表示平面向量的加法. 减法与数乘运算。4. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。【重点难点】平面向量基本定理及其应用、平面向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示。【知识梳理】1. 两个非零向量的夹角（1）定义： 已知两个非零向量a和b, 作,OAa OAb, 则_叫做向量a与b的夹角。（2）范围： 向量夹角 的范围是 _ _,a与b同向时 , 夹角 _;a与b反向时 , 夹角 _。（3）向量垂直：如果向量a与b的夹角是900, 则a与b垂直 , 记作a
2、b。2. 平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量基本定理：如果12,e e是同一平面内的两个_向量 , 那么对于这一平面内的任意向量a, 有且只有一对实数1,2, 使a_ _。不共线的向量12,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（2）平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量, 叫做把向量正交分解.（3）平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中, 分别取与x 轴、 y 轴方向的两个单位向量, i j作为基底 , 对于平面内的一个向量a, 有且只有一对实数x,y, 使axiy j, 把有序数对（x,y ）叫做向量a的坐标 , 记作a=（x,y ）, 其中 x 叫做a在 x 轴
3、上的坐标 ,y 叫做a在 y 轴上的坐标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页设OAxiy j, 则向量OA的坐标（ x,y ）就是的坐标 , 即若OA=（ x,y ）, 则A.点坐标为（ x,y ）, 反之亦成立 . （O为坐标原点）3. 平面向量的坐标运算（ 1）加法 . 减法 . 数乘运算向量aba+ba-ba坐标11(,)xy22(,)xy（ 2）向量坐标的求法已知11(,)A xy,22(,)B xy, 则AB=_, 即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标. （ 3）平面向量共线的坐标表示设a=1
4、1(,)xy,b=22(,)xy, 其中b0, 则a与b共线a=b _. 【典例探究】（一）平面向量基本定理及其应用1. 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底, 该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合, 基底不同 , 表示也不同 ; 2. 对于两个向量a,b, 将它们用同一组基底表示, 我们可通过分析这两个表示式的关系,来反映a与b的关系 ; 3. 利用已知向量表示未知向量, 实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算. 注：由于基底向量不共线, 所以0不能作为一个基底向量. 例 1 如图：在平行四边形ABCD中,MN分别为DC,BC的中点 , 已知,
5、AMc ANd试用,c d表示,AB AD. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页例 2如图，OA，OB不共线，AP=tAB(tR)用OA，OB表示OP. （二）平面向量的坐标运算1. 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行, 若已知有向线段两端点的坐标, 则应先求出向量的坐标, 解题过程中要注意方程思想的运用。2. 利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则, 通过列方程（组）进行求解; 3. 利用坐标运算求向量的基底表示, 一般先求出基底向量和被表示向量的坐标, 再用待定系数法求出线性系
6、数; 4. 向量的坐标运算, 使得向量的线性运算都可用坐标来进行, 实现了向量运算完全代数化, 将数与形紧密结合起来, 就可以使得很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算. 例3. 已 知(2 , 4 )A,(3, 1)B,( 3, 4)C. 设,ABa BCbcCA且3 ,2 ,CMc CNb求：（1）33 ;abc（2）满足ambnc的实数 m,n; （3）,M N的坐标及向量MN的坐标 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页（三）平面向量共线的坐标表示向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法,
7、 也为点共线 . 线平行问题的处理提供了容易操作的方法. 解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公式特征 , 应学会利用这一点来构造函数和方程, 以便用函数与方程的思想解题. 例 4. 已知(1,2),( 3,2),ab当 k 为何值时 ,kab与3ab平行 ; 平行时它们是同向还是反向？（四）向量与其他知识的综合例 5. 已知向量( ,)ux y与向量( ,2)vyyx的对应关系用( )vf u表示 . （1）设(1,1),(1,0)ab, 求向量( )f a与( )f b的坐标 ; （2）求使( )(, )(f cp qpq、为常数)的向量c的坐标 ; （3）证明：对任意的向量a b、及常数 m,n 恒有()( )( )f manbmf anf b成立 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页例1 答：cdAB3234，dcAD3234例4 答案（ k=-31, 反向）变式：（11 年北京理10）已知向量a=（3，1） ， b=（0，-1） ，c=（ k，3） 。若 a-2b 与 c 共线，则k=_。【答案】 1 例 5 答案：1 , 1af，)1,0()(bf，),2(pqpc，证明略精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页