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1、名师精编优秀教案教 案平面向量数量积的物理背景及其含义王瑞琪项 城 市 第 一 高 级 中 学2012-6-17精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页名师精编优秀教案课题：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及含义教学目标(一)知识目标1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质，并能运用性质进行相关的运算和判断；3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括的能力。(二)能力目标通过对平面向量数量积性质的探究, 培养学生发现问题、分析问
2、题、 解决问题的能力, 使学生的思维能力得到训练. 继续培养学生的探究能力和创新的精神。(三)情感目标通过本节课的学习 , 激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神, 体会学习的快乐 . 体会各学科之间是密不可分的. 培养学生思考问题认真严谨的学习态。教学重点：平面向量的数量积的定义、几何意义及其性质。教学难点：平面向量数量积的概念。教学方法：启发探究式, 讲练结合法。教学准备：多媒体、彩色粉笔。课型：新授课 .教学过程(一)复习引入教师引言：前面我们学习了向量的相线性运算，向量的加法、减法和数乘运算。我们知道这些运算有个共同的特点，就是他们运算的结果仍然是一个向量。既然平面向量能进行
3、加减运算，那自然会想到两个向量能否进行乘法运算？如果能，结果应该是什么呢？我们很清楚，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，我们来看物理学中这样的一个例子： 物理学家很早就知道 , 如果一个物体在力F 作用下产生位移 S，那么F 所做的功为 :F F S S (图 1) (图 2 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页名师精编优秀教案(图 1)中力所做的功 W=SF，(图 2)中力所做的功cosSFW，在物理中功是一个标量，是由 F 和 S 这两个向量来确定的， 如果我们把功看成是由F 和 S这两个向量的一种运算结果
4、，就可以引出新课的内容“平面向量数量积的物理背景及其含义”. (二)合作探究结合物理学中功大小的定义cosSFW和前面我们说的把功看成是F和 S两个向量的运算结果，两者是等价的. 如果把F和 S这两个向量推广到一般的向量，就引出数量积的定义1、数量积的定义：已知两个非零向量a和 b ， 把数量cosba叫做a与b 数量积（或内积）， 记作ba（注意：两个向量的运算符号是用“”表示的，且不能省略） ，用数学符号表示即cosbaba, （）1800. 规定：零向量与任意向量的数量积都为零，即为任意向量aa002、接下来，请同学们思考一个问题：根据定义我们知道数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什
5、么时候为负？我们前面已经提到两个向量的夹角在1800 ，根据余弦函数的知识我们可以知道: 当90,0时，0cos，0ba；当180,90时，0cos，0ba. 当0,90baba; 3、投影的定义cosbaba是由cosSFW的引出来的，而cosSFW是1F 所做的功，cos1FF是F在 S方向上的分力，那么在数量积中cosa叫做什么呢？这是我们今天要学的第二个新概念“投影”：a cos （bcos ）叫做向量a在 b 方向上 ( b 在a方向上）的投影 . 4、根据投影的定义，引导学生说出数量积的结构，也就是数量积的几何意义：数量积与的长度等于aabab 在a方向上的投影cosb的乘积5、功
6、的数学本质是什么？功的数学本质是力与位移的数量积。6、探究数量积的性质我们讨论了数量积的正负，那么我们这里就具体的讨论一些特殊的夹角: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页名师精编优秀教案0,90baba; bababa同向，与，0; bababa-180反向，与，. 我们这里都是由两个向量的夹角来讨论数量积的,那如果我们已知两个向量的数量积及模长 ,怎样得出它们的夹角呢 ? 根据定义babababacoscos由此我们就可以得出的值.当0ba时,900cos总结0baba. 特别地，22,aaaaaaaaa常记为这里
7、或. 请判断的大小关系与baba解：因为1cos,cosbaba，所以bababacos这些就是数量积的性质。在课堂上以上性质以探究形式出现，让同学们积极思考，踊跃回答并总结其各自的应用。（三）例题讲解，巩固知识例 1 已知4,5 ba，ba与的夹角=120 度，求ba解：根据数量积的定义 : cosbaba =120cos45=5214=-10. 练习：在 ABC 中 BC=8,CA=7,060C求CABC。(-28) 例 2 已知,8, 2,8baba求a与b 的夹角。ooobabababa120180,021828coscos解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
8、总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页名师精编优秀教案（四） 课堂练习、若 a0，则对任一非零向量 b ，有 a b 0、若 a0， a b a c，则 b c 2、已知 ABC 中， AB= a, AC = b ，当 a b 0 或 ab 0 时，试判断ABC 的形状。（五）课堂小结本节课你有什么收获？让学生各抒己见从不同方面加以总结。( 知识收获，学习方法，数学思想等) （六） 布置作业：1、课本 P121习题 2.4A 组 1、2、6。2、拓展与提高：已知 a与 b都是非零向量，且 a+3 b 与 7 a -5 b垂直， a-4 b 与 7 a-2 b垂直，求 a与 b的夹角。 （本题供学有余力的同学选做）.,30,2,36bbaabao求的夹角与变式：已知正确，并说明理由、判断下列各命题是否1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页