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1、第23讲与几何相关的应用题1.(2018南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校高三模拟)如图,OM,ON是某景区的两条道路(宽度忽略不计),其中OM为东西走向,Q为景区内一景点,A为道路OM上一游客休息区.已知tanMON=-3,OA=6百米,Q到直线OM,ON的距离分别为3百米,6105百米.现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸与道路ON交于点B,并在B处修建一游客休息区.(1)求有轨观光直路AB的长;(2)已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型音乐喷泉组合,喷泉表演一次的时长为9分钟.表演时,喷泉喷洒区域以P为圆心,r为半径且变化,且t分钟时,r=2at百米(0t9,0a0),由
2、|3x0+3|10=6105,解得x0=3(负值舍去),所以Q(3,3).故直线AQ的方程为y=-(x-6),即x+y-6=0,联立y=-3x,x+y-6=0,解得x=-3,y=9,即B(-3,9).所以AB=92.(2)将喷泉记为圆P,由题意可得P(3,9),设t分钟时,观光车在直路AB上的点C处,则BC=2t,0t9,所以C(-3+t,9-t).若喷泉不会喷洒到观光车上,则PC2r2对t0,9恒成立,即PC2=(6-t)2+t2=2t2-12t+364at,当t=0时,上式成立;当t(0,9时,2at+18t-6,t+18t-6min=62-6,当且仅当t=32时取等号,因为a(0,1),
3、所以rPC恒成立,即观光车不会被喷泉喷洒到.2.解析以AD所在直线为x轴,以线段AD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系.(1)直线PB的方程为y=2x,半圆O的方程为x2+y2=402(y0),由y=2x,x2+y2=402(y0),得y=165.所以点P到AD的距离为165 m.(2)由题意,得P(40cos ,40sin ).直线PB的方程为y+80=sin+2cos+1(x+40),令y=0,得xE=80cos+80sin+2-40=80cos-40sinsin+2.直线PC的方程为y+80=sin+2cos-1(x-40),令y=0,得xF=80cos-80sin+2+40=80cos+
4、40sinsin+2.所以EF的长度为f()=xF-xE=80sinsin+2,0,2.区域IV、VI的面积之和为S1=1280-80sinsin+280=6 400sin+2,区域II的面积为S2=12EF40sin =1280sinsin+240sin =1 600sin2sin+2,所以S1+S2=1 600sin2+6 400sin+202.设sin +2=t,则2t3,S1+S2=1 600(t-2)2+6 400t=1 600t+8t-41 600(42-4)=6 400(2-1),当且仅当t=22,即sin =22-2时“=”成立.此时休闲区域II、IV、VI的面积和S1+S2最小,即绿化区域面积之和最大.