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1、第2讲概率一、选择题1.(2019江西南昌外国语学校高考适应性测试)有标号分别为1、2、3的蓝色卡片和标号分别为1、2的绿色卡片,从这五张卡片中任取两张,则这两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的概率是()A.12B.15C.25D.310答案D因为从五张卡片中任取两张共有10种取法,这两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的取法有2+1=3种,因此所求概率是310.2.若正方形ABCD的边长为4,E为四边上任意一点,则AE的长度大于5的概率为()A.132B.78C.38D.18答案D设M,N分别为BC,CD上靠近点C的四等分点,则当点E在线段CM,CN(不包括M,N)上时,AE的长度大于5,因为
2、正方形的周长为16,|CM|+|CN|=2,所以AE的长度大于5的概率为216=18,故选D.3.(2019河北石家庄3月教学质量检测)袋子中有大小、形状完全相同的四个小球,分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字,有放回地从中任意摸出一个小球,直到“和”“谐”两个字都被摸到就停止摸球,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数,分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字,以每三个随机数为一组,表示摸球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:34343234134223414224333111234224124443123321
3、4344142134由此可以估计,恰好在第三次就停止摸球的概率为() A.16B.29C.518D.19答案B由题意知,经随机模拟产生了18组随机数,其中恰好在第三次就停止摸球的随机数有142,112,241,142,共4组,由此可以估计,恰好在第三次就停止摸球的概率P=418=29.故选B.4.(2019安徽合肥第二次教学质量检测)若在x2+y21所围区域内随机取一点,则该点落在|x|+|y|1所围区域内的概率是()A.1B.2C.12D.1-1答案B如图,x2+y21表示的区域是半径为1的圆面,其面积为,|x|+|y|1表示的区域是边长为2的正方形及其内部,其面积为2,在x2+y21所围区
4、域内随机取一点,该点落在|x|+|y|1所围区域内的概率为2,故选B.5.现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛,共有2道备选题目,若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题,则其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为()A.13B.23C.12D.34答案C记两道题分别为A,B,所有抽取的情况为AAA,AAB,ABA,ABB,BAA,BAB,BBA,BBB(其中第1个,第2个分别表示两个女教师抽取的题目,第3个表示男教师抽取的题目),共有8种,其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA,ABB,BAA,BAB,共4种.故所求事件的概率为12.故选C.6.(2019湖南怀化3月第一次模拟)
5、镜花缘是清代文人李汝珍创作的长篇小说,书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球,灯球有两种,一种是大灯下缀2个小灯,另一种是大灯下缀4个小灯,大灯共360个,小灯共1 200个.若在这座楼阁的灯球中,随机选取一个灯球,则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为()A.13B.23C.14D.34答案B设大灯下缀2个小灯的灯球有x个,大灯下缀4个小灯的灯球有y个,根据题意可得x+y=360,2x+4y=1 200,解得x=120,y=240,故这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为240360=23,故选B.二、填空题7.(2019广东广州二模)从某班5名学生(其中男生3人,女生2人)中任
6、选3人参加学校组织的社会实践活动,则所选3人中至少有1名女生的概率为.答案910解析采用间接法,从某班5名学生中任选3人共有10种选法,3名学生全为男生的选法有1种.所选3人中至少有1名女生的对立事件是没有女生,即全为男生,所以所求概率P=1-110=910.8.(2019安徽合肥一模)部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形,由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形,沿三角形的三边中点连线,将它分成4个小三角形,去掉中间的那一个小三角形后,对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形,如图.现在图(3)中随机选取一个点,则此点取自阴影部分的
7、概率为.答案916解析设题图(3)中一个小阴影三角形的面积为S,则整个三角形的面积为16S,阴影部分的面积为9S,所以根据几何概型概率公式可得,在题图(3)中随机选取一个点,则此点取自阴影部分的概率为916.9.(2019湖南衡阳联考(二)已知圆C:(x-2)2+y2=2,在圆C内随机取一点M,直线OM交圆C于A,B两点(O为坐标原点),则|AB|2的概率为.答案12-1解析由已知得C(2,0),当|AB|=2时,ACB=90,所以当|AB|2时,点M在如图所示的阴影部分,S阴影=22-1=-2,所以|AB|19时,y=38+5(x-19)=5x-57,所以y关于x的函数解析式为y=38,x1
8、9,5x-57,x19(xN).(2)由条形统计图知,三年内流失的教师数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.(3)若每所乡村中学在今年都招聘19名教师,则未来四年内这100所乡村中学中有70所在储备招聘教师上所需的费用为38万元,20所在储备招聘教师上所需的费用为43万元,10所在储备招聘教师上所需的费用为48万元,因此未来四年内这100所乡村中学在储备招聘教师上所需费用的平均数为1100(3870+4320+4810)=40(万元).若每所乡村中学在今年都招聘20名教师,则未来四年内这100所乡村中学中有90所在储备招聘教师上所需的费用为40万元,10所在储备招聘教师上所需的费用为45万元,因此未来四年内这100所乡村中学在储备招聘教师上所需费用的平均数为1100(4090+4510)=40.5(万元).比较两个平均数可知,今年应为该乡村中学招聘19名教师.