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1、第4章 剪切与扭转第4章 剪切与扭转剪切与挤压的实用计算4.1圆轴扭转的概念4.2圆轴扭转时的内力4.3薄壁圆筒的扭转4.4圆轴扭转时的应力与强度计算4.5圆轴扭转时的变形与刚度计算4.6简单的扭转超静定问题4.7矩形截面杆件扭转简介4.84.1 剪切与挤压的实用计算4.1.1 剪切的实用计算铆钉、螺栓、键和榫等起连接作用的部件统称为连接件。剪切的概念4.1 剪切与挤压的实用计算剪切变形：受力特点：变形特点： 杆件受到垂直于杆轴线的一对大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近的外力作用。 两力间的横截面沿外力的作用方向发生相对错动。发生相对错动的截面称为剪切面。剪切面上与截面相切的内力称为剪力
2、，用FS表示。4.1 剪切与挤压的实用计算（2）剪切的计算根据截面法，由平衡条件0 xF S0FF得SFF由剪切面上的剪力引起的切应力在剪切面上的分布情况比较复杂，为便于工程计算，一般假设切应力在剪切面上均匀分布。SFAA为剪切面的面积为了保证构件在工作中不发生剪切破坏，必须使构件工作时产生的切应力，不超过材料的许用切应力，故剪切强度条件为：切应力的计算公式：S FA4.1 剪切与挤压的实用计算4.1.2 挤压的实用计算挤压的概念连接件和被连接件接触面相互压紧的现象称为挤压。发生局部挤压的接触面称为挤压面，作用在挤压面上的压力称为挤压力，用Fbs表示。挤压的计算由挤压力引起的应力称为挤压应力，
3、用bs表示。工程中通常假定挤压应力均匀分布在挤压面上，挤压应力bs的计算公式为：bsbsbsFA当挤压面为平面时，计算挤压面面积为实际挤压面面积；当挤压面为圆柱面时，计算挤压面面积等于半圆柱面的正投影面积，即Abs=dt。为了保证连接件正常工作，应有足够的挤压强度，挤压强度条件为：bsbsbsbsFAbs为许用挤压应力4.1 剪切与挤压的实用计算【例4.1】拖车挂钩的螺栓连接如图所示。已知螺栓材料的许用切应力=100MPa，许用挤压应力bs=200MPa，直径d=20mm。挂钩厚度8mm，连接板厚度12mm 。牵引力F=45kN，试校核螺栓的强度。【解】：螺栓的剪切强度校核由受力分析可知，螺栓
4、有上下两个剪切面，剪力均为 F/2，剪切应力3S222-622 45 10=71.7MPa =100MPa20104FFdd螺栓的挤压强度校核螺栓上、下段均受向右的挤压应力，挤压力为F/2，挤压面积160mm2,中段受向左的挤压应力，挤压力为F，挤压面积240mm2，所以取中段校核挤压强度：3bsbsbs-6bs45 10=187.5MPa=200MPa240 10FA故该螺栓满足强度要求。4.1 剪切与挤压的实用计算【例4.2】如图所示铆钉接头。已知F=70kN，钢板厚度=12mm，宽度b=80mm，材料的许用切应力=100MPa，许用挤压应力bs=300MPa，=150MPa，试确定铆钉的
5、直径，并校核接头处的强度。 【解】：钢板和铆钉的受力如图(b)所示根据剪切强度计算铆钉的直径 S4FF S214Fd 33S1670 10444=14.9 10 m14.9mm100 10Fd 根据挤压强度计算铆钉的直径 bsbs2= =4FFAdbsbsbs24FFAd4.1 剪切与挤压的实用计算332-3670 10=4.7 10 m4.7mm4 12 10300 10d所以应按剪切强度设计铆钉的直径，根据剪切强度铆钉直径可取d=16mm。接头处钢板抗拉强度校核接头右侧钢板的轴力图如图(c)所示，校核截面3-3、2-2的抗拉强度。 33-3-370 10=91.1MPa=150MPa80
6、16 1012 10Fbd 32-3-333 70 104=91.1MPa=150MPa24802 161012 10Fbd 故接头钢板满足强度要求。4.2 圆轴扭转的概念工程实际中有许多发生扭转变形的杆件：汽车方向盘的操纵杆机器的传动轴打孔用的钻头 扭转变形受力特点：变形特点： 在垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等、方向相反的力偶。 杆件各横截面均绕杆轴线相对转动，杆轴线始终保持直线。以扭转变形为主要变形的杆件称为轴，其计算简图如图所示。扭转轴的变形用两个横截面绕轴线的相对扭转角表示。4.3 圆轴扭转的内力4.3.1 外力偶矩的计算工程中一般不直接给出作用于传动轴上的外力偶矩，通常给出传动
7、轴的转速n及其所传递的功率P。它们之间的关系为 kWeN mr/min9549PMn式中：Me为作用在轴上的外力偶矩； P为传动轴所传递的功率； n为传动轴的转速。4.3 圆轴扭转的内力4.3.2 扭矩与扭矩图采用截面法分析圆杆AB的内力扭矩(Mt)。0 xM 0teMMteMM扭矩Mt的正负号规定如下：按右手螺旋法则，让四个手指与扭矩Mt的转向一致，大拇指伸出的方向与截面的外法线n方向一致时，Mt为正，反之为负。以平行于杆轴线的坐标轴表示横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐标轴表示相应横截面上的扭矩，绘制各横截面上扭矩沿轴线变化情况的图线，称为扭矩图扭矩图。4.3 圆轴扭转的内力【例4.3】如图
8、所示传动轴，已知转速 n = 340r/min，功率由主动轮 A 输入，输入功率 PA = 70kW，通过从动轮 B、C、D 输出，输出功率分别为 PB = 20kW，PC = 20kW， PD = 30kW，试作此轴的扭矩图。【解】：计算外力偶矩e70kW95499549340r / min1966N m1.96kN mAAPMnee20kW=95499549340r/min561N m0.56kN mBBCPMMne30kW95499549340r/min842N m0.84kN mCDPMn4.3 圆轴扭转的内力计算扭矩【例4.3】如图所示传动轴，已知转速 n = 340r/min，功率
9、由主动轮 A 输入，输入功率 PA = 70kW，通过从动轮 B、C、D 输出，输出功率分别为 PB = 20kW，PC = 20kW， PD = 30kW，试作此轴的扭矩图。【解】： 1-1截面：0 xM10teBMM10.56kN mteBMM 得BC段扭矩 同理，CA、AD段扭矩21.12kN mtM30.84kN mtM作扭矩图 按比例绘制扭矩图如图所示。4.4 薄壁圆筒的扭转4.4.1 切应力互等定理在小变形情况下，各圆周线的大小和间距保持不变，只是绕圆筒轴线作 相对转动；各纵向线均倾斜了相同的角度，所有的矩形都变成了同样形状和大小的 平行四边形。薄壁圆筒扭转变形现象：推断：由于两任
10、意圆周线间的距离不变，故圆筒横截面上没有正应力存在；因垂直于半径的小方格发生了相对错动，所以圆筒横截面上必然存在切 应力，且其方向垂直于半径；圆筒表面上每个方格的直角都改变了相同的角度，这种直角的改变量， 称为切应变切应变；因圆筒壁很薄，可认为沿壁厚切应力及切应变均匀分布。4.4 薄壁圆筒的扭转00002tAAMdA rrdArr 20=2tMr薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力计算公式：围绕薄壁圆筒上的A点切取一边长分别为dx、dy和的微单元体，在单元体的左、右两个侧面上分别作用有剪力dy。这对等值、反向的剪力构成一力偶(dy)dx，使该单元体有转动趋势。由于该单元体现处于平衡状态，因而在它的顶
11、面和底面上，必须存在一反向力偶与之平衡。(d ) d(d ) dxyyx 在单元体两个互相垂直的平面上，同时存在垂直于公共棱边且数值相等的切应力，其方向均指向或背离两平面的交线，这种关系称为切应力互等定理。4.4 薄壁圆筒的扭转4.4.2 剪切胡克定律纯剪切应力状态：单元体上只存在切应力而无正应力的受力状态。剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限P时，切应力 与切应变成正比，即G式中：G为比例常数，称为材料的切变模量，与材料性质有关，可用实验的方法得出，常用单位为GPa。材料的切变模量G与弹性模量E、泊松比的关系为：2(1)EG4.5 圆轴扭转时的应力与强度计算4.5.1 圆轴扭转时横
12、截面上的应力为了确定圆轴横截面上的应力，需从圆轴扭转时的变形变形几何关系几何关系、物理关系物理关系、静力关系静力关系三个阶段进行推导。变形几何关系变形现象：各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕杆轴线转动了一个角度；各纵向线倾斜了同一角度 。推论假设：平截面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，且各横截面不同 程度地象刚性圆盘一样绕杆轴线转动。由于圆周线的距离不变，圆周的直径保持不变，且矩形网格发生相对错动，可推断在横截面上没有正应力，只有与圆周直径垂直的切应力。4.5 圆轴扭转时的应力与强度计算变形几何关系ddCCxr同理，在半径为处周向位移cc满足ddx d=dx横截面上同一半径
13、处各点的切应变相同，且与成正比。物理关系由剪切胡克定律得d=dGGx切应力与半径成正比，最大切应力出现在圆周上，圆轴中心处=0，切应力沿半径成线性分布，方向与半径垂直。4.5 圆轴扭转时的应力与强度计算静力学关系22dddd=dddtAAAMAGAGAxx 2dPAIA为极惯性矩Pd=dtMxGIddGxP=tMI横截面距圆心为处的切应力公式当 = r 时，切应力达到最大值max，令 ，则PPIWrmaxP=tMWWP 扭转截面系数，与截面的形状和几何尺寸有关，量纲为长度3。4.5 圆轴扭转时的应力与强度计算扭转截面系数WP的计算43PPmax32W162dIdd4434PPPmax(1)32
14、(1)/ 2162DIIDWDDdD实心圆截面：空心圆截面：4.5 圆轴扭转时的应力与强度计算【例4.4】内径d=60mm，外径D=100mm的空心圆轴的横截面如图所示。在扭矩Mt=8000Nm作用时，计算=40mm处A点的切应力，及横截面上的最大、最小切应力。【解】：计算截面的极惯性矩444445474p10060mm()85.45 10 mm85.45 10 m3232DdI计算切应力3374p8 10 N m40 10 m37.5MPa85.45 10 mtAMI33max74p18 10 N m100 10 m2246.8MPa85.45 10 mtDMI33min74p18 10 N
15、 m60 10 m2228.1MPa85.45 10 mtdMI4.5 圆轴扭转时的应力与强度计算4.5.2 圆轴扭转时的强度计算圆轴扭转强度条件： maxu 已知扭矩、截面尺寸和材料的许用应力，检查是否 满足强度要求 ,maxtPMWu 已知扭矩和材料的许用应力，确定截面尺寸 ,maxtPMWu 已知截面尺寸和材料的许用应力，求许可荷载,maxtM 许可荷载对于等直杆：强度校核截面选择承载力计算pmax,maxWMtpmax,maxWMt4.5 圆轴扭转时的应力与强度计算【例4.5】一钢制阶梯形圆轴如图所示。AB、BC段的直径DAB=80mm、 DBC=60mm，MA=5kNm，MB=2kN
16、m，MC=3kNm。若材料的许用切应力=80MPa，试校核该轴的强度。【解】：作圆轴的扭矩图，如图所示。5kN mtABM 3kN mtBCM 截面扭转系数计算33353P(80 10 m)=10.05 10 m1616ABABDW33353P(60 10 m)4.24 10 m1616BCBCDW强度校核3max1-53P5 10 N m49.75MPa10.05 10 mtABABMW3max2-53P3 10 N m70.75MPa4.24 10 mtBCBCMW maxmax270.75MPa80MPa故该轴满足确定要求。4.5 圆轴扭转时的应力与强度计算【例4.6】已知Mt=2kNm
17、，=50MPa，试根据强度条件设计实心圆轴和内外径之比=0.8的空心圆轴，并进行重量比较。【解】：设计实心圆轴直径d1 max3116tMd 33316162 10 N m160.0588m50 10tMd 取159mmd 设计空心圆轴的内径d与外径D max34116tMD 3334461616 2 100.0701m11 0.850 10tMD 取70mm56mmDd，重量比较22214100%50.67%4Ddd空心圆轴的重量是实心圆轴重量的50.67% 。4.6 圆轴扭转时的变形与刚度计算4.6.1 圆轴扭转时的变形轴的扭转变形用两横截面绕轴线的相对扭转角相对扭转角来衡量。PddtMx
18、GI00PddlltMxGIPtM lGIGIP称为圆轴的抗扭刚度。GIP的值越大，值越小。单位长度扭转角：P0180( /m)r( ad/m)ttPMlGMGI仅适用于等直圆杆在线弹性范围内工作时。4.6.2 圆轴扭转时的刚度计算 0,maxmaxP180tMGI4.6 圆轴扭转时的变形与刚度计算【例4.7】如图所示，长L=2m的空心圆截面传动轴，受到Me=1kNm的外力偶矩作用，杆的内外径之比=0.8，材料的许用切应力=40MPa，切变模量G=80GPa，单位长度许用扭转角=1/m。试：设计该轴的直径；求右端截面相对左端截面的扭转角。【解】：按强度条件设计扭矩1kN mtM ,maxmax
19、PtMW34P116DW 3,max334461616 1 10 N m60mm11 0.840 10 PatMD 由及得4.6 圆轴扭转时的变形与刚度计算【例4.7】如图所示，长L=2m的空心圆截面传动轴，受到Me=1kNm的外力偶矩作用，杆的内外径之比=0.8，材料的许用切应力=40MPa，切变模量G=80GPa，单位长度许用扭转角=1/m。试：设计该轴的直径；求右端截面相对左端截面的扭转角。【解】：按刚度条件设计由及得 0,maxP180tMGI44P132DI 3,max44242493218032 1 10 N m 18059mm11 0.880 10 Pa 1 /mtMDG 为同时
20、满足强度条件和刚度条件，传动轴的直径应取D=60mm，d=48mm。右端相对于左端的扭转角3o2944P32 1 102 180=1.9180 100.061 0.8tM LGI 4.7 简单的扭转超静定问题与求解轴向拉（压）超静定问题的方法相仿，在超静定扭转轴中，同样存在多余约束。对扭转超静定问题，除列出扭转轴的平衡方程外，还要由扭转轴的变形条件和物理关系列出补充方程，与平衡方程联立求解。【例4.8】一组合杆由实心杆1插入空心管2内结合而成，杆和管的材料相同，切变模量为G。试求组合杆承受外力偶矩Me后，杆和管的最大切应力。【解】： 静力学关系如图12eeeMMM变形协调条件12=物理关系11
21、14P1132=eeM LM LGIG d代入变形协调条件，得补充方程41124421eedMMdd2224422132=eePM LM LGIGdd4.7 简单的扭转超静定问题【例4.8】一组合杆由实心杆1插入空心管2内结合而成，杆和管的材料相同，切变模量为G。试求组合杆承受外力偶矩Me后，杆和管的最大切应力。【解】：联立求解静力平衡方程 与补充方程444211124422eeeedddMMMMdd，最大切应力 实心杆最大切应力： 空心杆最大切应力：4141121max341P121616eeedMMM dddWd44214222max343P2221216116eeeddMMMdWdddd
22、4.8 矩形截面杆件扭转简介当非圆截面杆受扭时，其横截面将由平面变为曲面，产生所谓的“翘曲”现象。因此，根据平面假设建立的圆轴扭转公式，不再适用于非圆截面杆件。本节主要介绍矩形截面杆件自由扭转时的应力和变形。矩形截面杆扭转时，在弹性范围内，可观察到如下现象：所有横线(垂直于杆轴线)都变为曲线，原为平面的横截面已不再是平面；相邻横截面的翘曲程度相同，纵向纤维的长度不变，故认为横截面上无 正应力；小方格的直角发生了不同程度的改变，说明横截面上存在切应力。因矩 形长边中点处网格的角变形最大，短边中点处网格的角变形也较大，而 截面棱角处的网格直角无变化，可推断矩形截面长边中点处的切应力最 大，而棱角处
23、的切应力为零，其它各点切应力随其所在位置不同而变化。4.8 矩形截面杆件扭转简介矩形截面杆件扭转时，横截面上应力的分布规律：截面周边的切应力方向与周边平行；角点处的切应力为零；截面周边切应力呈二次抛物线分布；最大切应力出现在长边的中点。横截面长边中点处的切应力值为ttmax2tMMWhb横截面短边中点处的切应力值为1max 截面相对扭转角为3tttM lM lGIG hb系数、与比值h/b有关，其值见下表h/b1.01.21.51.752.02.53.04.05.06.08.010.00.2080.2190.2310.2390.2460.2580.2670.2820.2910.2990.307
24、0.3130.3330.1410.1660.1960.2140.2290.2490.2630.2810.2910.2990.3070.3130.3331.000.930.860.800.770.750.740.740.740.740.740.740.74p 本章小结 工程中采用实用计算的方法，建立连接件的剪切强度条件和挤压强度条件保证其正常工作，即 在单元体两个互相垂直的平面上，同时存在垂直于公共棱边且数值相等的切应力，其方向均指向或背离两垂直平面的交线。这种关系称为切应力互等定理。 剪切胡克定律是指当切应力不超过材料的剪切比例极限P时，切应力与切应变成正比，即=G。 扭转圆轴横截面上任一点的
25、切应力与该点到圆心的距离成正比，圆心处切应力为零,最大切应力发生在圆轴边缘各点处，即 等直圆轴扭转时的强度条件为 利用圆轴扭转时的强度条件可解决强度校核、截面选择、承载力计算 三类问题。 SFAbsbsbsbsFAPtM ImaxPtMW,maxmaxP tMWp 本章小结 在荷载相同的情况下，强度相等的空心圆轴的重量比实心圆轴轻的多，采用空心圆轴可节省材料。 等直圆轴扭转时的变形，用两横截面间绕杆轴线的相对扭转角表示，其计算公式为 等直圆轴扭转时的刚度条件为 矩形截面杆受扭后，其横截面不再是平面，而是发生明显的翘曲。因此，根据平面假设建立的圆轴扭转计算公式，不再适用于矩形截面杆件。矩形截面杆自由扭转时，横截面上没有正应力，只有切应力，且长边中点处的切应力最大，而棱角处的切应力为零。PtM lGI 0,maxmaxP180tMGI