（本科）第5章 受压杆件的扭转屈曲与弯扭屈曲ppt课件.pptx

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1、课程主讲人：第5章 受压杆件的扭转屈曲与弯扭屈曲耐劳苦尚简朴勤学业爱国家结 构 稳 定 理 论 授课教师 | XXX5授课内容35.1 引言5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲5.3 偏心压杆的弯扭屈曲5.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载5.5 用能量法计算开口薄壁偏心压杆的屈曲荷载第5章 受压杆件的扭转屈曲与弯扭屈曲55.1 引言4下面讨论压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲问题。（1）开口薄壁受压杆件截面的抗扭刚度较小，容易发生扭转变形；（2）十字形截面受压杆件，容易发生扭转屈曲；（3）单轴对称受压杆件，如角形、槽形、T 形截面杆件，由于截面形心与截面剪切中心不重合，容易发生弯扭屈曲。扭转屈

2、曲弯扭屈曲5双轴对称轴心压杆的扭转屈曲开口薄壁杆件在轴心压力作用下：（1）只有截面形心和弯心重合的杆件才可能出现扭转屈曲；（2）而截面形心和弯心不重合的杆件，发生扭转时总是伴随着弯曲，也就是呈现弯扭屈曲。5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲55扭转屈曲以双轴对称工字形截面轴心受压杆件为例来说明扭转屈曲：两端铰支的杆发生扭曲时，除支承处外，各个截面都绕形心轴 轴转动。5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲双轴对称轴心压杆的扭转屈曲6z5分析屈曲时扭转平衡的情况：杆件任意截面的扭转角为 ，则截面上一点 在截面平面内的位移为DD 相距 的两个邻近截面的相对扭转角为是 点至截面形心的距离dzd两截面上相

3、对应点E、D的相对位移是FEEEDD d 5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲DD7双轴对称轴心压杆的扭转屈曲5 纤维因两截面相对转动而产生倾斜，倾斜后的纤维 相对杆件轴线方向的倾角为DE d/dz 根据平衡关系，作用在以该倾斜纤维为轴线的微元体上的轴力dA在杆的横截面平面内有分力 ，且dQF5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲DE8双轴对称轴心压杆的扭转屈曲dddQFAA5它对弯心（形心）有扭矩在整个截面上进行积分，得作用于截面上的扭矩式中, ， 为截面对弯心的极回转半径。2ddzMA 22z00d2AMAArFr220d /()/xyArA AIIA0r5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲

4、9双轴对称轴心压杆的扭转屈曲5将 代入开口薄壁杆件约束扭转的平衡微分方程式得边界条件：ztMGIEIzM2t0()0EIGIFr0z zl0和时，0表示扭角为00 表示截面没有翘曲正应力5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲10双轴对称轴心压杆的扭转屈曲5设式2t0()0EIGIFr的解为：sinzCl显然，该解满足边界条件式：0z zl0和时，将代入微分方程式sinzCl2t0()0EIGIFr解得扭转屈曲临界力 的计算公式为：cr , F2cr , t2201()EIFGIrl（ 为参数）5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲C115对于工字形截面,翘曲扭转常数2/ 4yII hyI，是截面对

5、平行于腹板的主轴的惯性矩，h是截面高度。对于非铰接支承情况的杆件，式右侧括号内第一项应乘以适当系数来反映约束作用。I的计算公式随截面形式而不同，对十字形截面由于0I，扭转屈曲临界力比较低，式成为tcr , 20GIFr5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲122cr , t2201()EIFGIrl2cr , t2201()EIFGIrl5所以，对十字形截面，扭转屈曲临界力 和杆的长细比和支承条件均无关，属于自由扭转。杆的弯曲屈曲临界力是随长细比减小而增加的，因此当长细比不大而板件宽厚比很大时，扭转屈曲临界力 将低于弯曲屈曲的临界力。但是，工程中十字形截面很少采用，工字形截面杆按照通常的尺寸比例

6、（截面高度大于翼缘宽度），一般不会发生扭转屈曲。因此，在设计规范中没有反映扭转屈曲的计算。cr , F5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲13cr , F5截面单轴对称的单角钢、单槽钢或 T 形钢轴心压杆，形心和弯心不相重合。如果杆件在轴心力 F 作用下不能保持直线平衡而绕对称轴 y 弯曲时，由于剪力不通过弯心，不可避免地要出现扭转。5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲弯扭屈曲单轴对称轴心压杆的弯扭屈曲145图示槽形钢轴心压杆，弯心S至形心 O 的距离为 , 如果压杆受轴心压力 F 作用下在 xz 平面内发生弯曲，而弯心在 x 轴方向的位移为u，则杆内出现：0eyMFud/ dd / dQyF

7、MzF uzFu剪力弯矩5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲单轴对称轴心压杆的弯扭屈曲155由于 F 沿形心轴作用， 的作用线亦将通过形心O而不通过弯心S，从而对弯心产生扭矩0zMFu e 使杆件在弯曲的同时出现扭转，因此在分析杆件扭转平衡时应该考虑这一项。zM5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲单轴对称轴心压杆的弯扭屈曲16QF5根据式 ，再加上 这一项，得杆件的扭转平衡微分方程为或再微分一次，写成2t0()0EIGIFrzM2t00()0EIGIFrFu e由于形心和弯心不重合，式中截面对弯心的极回转半径 按下式计算0r2200()/xyreIIA5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲17(

8、4)2t00()0EIGIFrFu e5由于弯扭同时出现，这个微分方程包括有两个未知量 和 。需要建立关于 y 轴弯曲的平衡微分方程来联立求解。弯曲平衡微分方程的基本形式是：式中 是截面形心O的位移，当截面扭转角为 时，O在 x 方向的位移是：因此，弯曲平衡的微分方程可以写成：u00yEI uFu0u00uue(4)00yEI uFuFe5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲185于是，单轴对称轴心压杆的弯扭屈曲平衡微分方程组为：(4)0(4)2t000()0yEI uFuFeEIGIFrFe u对两端铰接的杆件，杆端边界条件是：当 时，和 时，0z zl0,0uu0,0uu可设 和 的变化都是

9、正弦曲线的一个半波，即sinzClsinzuAlu5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲195代入单轴对称轴心压杆的弯扭屈曲平衡微分方程组中，并令sinzuAlsinzCl满足边界条件式22yyEIFl22t20/EIlGIFr式中，2200()/xyreIIA得0200()0()0yFF AFe CFe AFF r C5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲205式中，系数A、C不同时为零的条件是其系数行列式为零，于是得到稳定方程为0yFFFe0200()FeFF r展开此行列式，得出确定弯扭屈曲临界力 的方程如下crF2200()()(/)0yFFFFerF解此方程式，其最小根就是临界荷载2cr

10、1()()42yyyFFFFFkF Fk5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲215临界荷载分析式可知，当 时，即截面双轴对称时， 等于 或 （此时2cr1()()42yyyFFFFFkF Fk式中，2001 ()ekr 00e crFF 是对y轴的临界力， 是扭转临界力），说明杆件只可能发生绕对称轴的弯曲屈曲或扭转屈曲。当 时， 比 或 都小， 越大，相差越悬殊，说明杆件只可能发生弯扭屈曲。00e crFF00/er5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲22crFyFyFFyF5 例题5.1 如图所示T形截面杆件，两端铰接，杆长为2.50m，弹性模量2N/mm206000E，剪切模量2N/mm7

11、9000G，要求计算其弯扭屈曲临界力，并和弯曲屈曲临界力 比较。yF例题5.1图5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲235解:例题5.1图计算截面特性： 222 12 0.8 cm19.2 cmA 9.6 6.4/19.2 cm3.2 cma 344y0.8 12 /12 cm115 cmI 22344x9.6 3.29.6 3.20.8 12 /12 cm311.5 cmI 344t24 0.8 /3 cm4.1 cmI 222220()/3.2(311.5 115)/19.2 cm32.4 cmxyraIIA5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲24利用以上数值算得：2222/206000

12、1150000/2500 N374097 N374 kNyyFEIl20/79000 41000/3240 N1000 kNtFGIr5代入公式 得：22crcrcr(374)(1000)(3.2 /32.4)0FFF2(4)t0yMEIGIEIcr325kNF cr/325/3740.87yFF 解得：5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲25由此可见，对于任何单轴对称轴心受压杆件，在计算对称轴的稳定性时应该考虑弯扭屈曲而不是弯曲屈曲。不过对一般热轧和焊接钢杆件说来， 和 相差不十分悬殊，但对于薄壁杆件可能 比 低许多，必须考虑其弯扭屈曲。crFyFcrFyF5为简化计算，设计中常常用换算长细

13、比方法计算弯扭屈曲问题。我国冷弯薄壁型钢结构技术规范设 x 轴为对称轴，因此将 计算弯扭屈曲的换算长细比法22yyEIFl22t20/EIlGIFr22/xxFEIl222t0(/)/FEIlGIr2200()() (/ )0yFFFFerF代入 中单轴对称开口截面5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲265解得：222222222ttcr000cr2222()()() ()0 xxxxxxEIIGI lEIIGI lFrerFlIEIlIEI令222tt222()xxxIGI lIGIlsIEIIlE，由于039. 0)1 (2122EG则上式可写为：22t2(0.039 )xIsIAl5.2

14、 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲275式 又可改写为：解得：2200()()(/)0yFFFFerF22222200cr0cr()()0 xxre FsrF Fs F222220002222crcr110 xxsrreFs FFs F22222220000222cr11()22xsrsrreFFsss其较小根为弯扭屈曲临界力，即cr22222220000222()22xFFsrsrresss5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲285弯扭屈曲临界应力为：式中，换算长细比22cr2222222200002221()22xEEsrsrresss2h22222220000h222()22xsrsrres

15、ss由弯扭屈曲临界应力计算公式可以看出，为了验算杆件对 x 轴的弯扭屈曲，只要验算长细比为 的杆件的弯曲屈曲。从而，将弯扭屈曲的计算问题转化为弯曲屈曲的计算问题，使计算大大简化。h5.2 轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲295偏心压杆的弯扭屈曲是指其在弯矩作用平面外的失稳。在分析偏心压杆在弯矩作用平面外的稳定问题时，采用的基本假定与分析梁的弯扭屈曲一节相同；除此之外，为了使分析问题简化和突出弯扭屈曲问题，假定杆件在弯矩作用平面内的刚度很大，从而忽略在弯矩作用平面内的弯曲变形，也就是忽略弯扭屈曲前弯矩作用平面内的弯曲变形对弯扭屈曲的影响。305.3 偏心压杆的弯扭屈曲5分析如图所示在偏心荷载作用下的

16、双轴对称截面简支杆件。杆件的简支是指其的的两端面可以绕形心主轴 x 轴或 y 轴自由转动，但不能绕 z 轴扭转。建立固定坐标系为Oxyz，截面发生 弯 扭 变 形 后 的 移 动 坐 标 系为 。双轴对称截面偏心压杆的弯扭屈曲O315.3 偏心压杆的弯扭屈曲5当达到临界状态时，在偏心受压杆件发生微小侧向弯曲和扭转变形的位置建立平衡微分方程，为简化起见，可以只列出侧向弯曲平衡微分方程和扭转平衡微分方程。双轴对称截面偏心压杆的弯扭屈曲325.3 偏心压杆的弯扭屈曲5经过与第4.4节类似分析，显然：双轴对称截面偏心压杆的弯扭屈曲cos sincosxMMFu20sinxMMFrxMFu20d / d

17、xMuzFr因此，在移动坐标系 平面内（图b）弯矩平衡方程为：2222ddddyuEIEIMzz 335.3 偏心压杆的弯扭屈曲5由式 ，工字形截面的弯曲扭转微分方程为：tGIEIM根据前述分析tzMGIEIcossincosxMMFu20sinxMMFrxMFu20d /dxMuzFr2222ddddyuEIEIMzz tGIEIM将代入345.3 偏心压杆的弯扭屈曲5得到偏心受压杆件的弯扭屈曲平衡微分方程为：0yxEI uFuM2t0()0 xEIGIFrM uIVyIV2t00()0EI uFuFeEIGIFrFeu对 z 微分二次对 z 微分一次可以得到：220()()( /)0yFF

18、FFe rF式中，22t22201,()yyEIEIFFGIlrl355.3 偏心压杆的弯扭屈曲5求解 ，得偏心压杆的临界荷载为：式中， 22cr1211()42 1yyyFFFFFk F Fk（）（）10ekr20 xyIIrA220()()( /)0yFFFFe rF365.3 偏心压杆的弯扭屈曲可知，临界荷载 与 、 和 有关。 总是小于 、 的较小值（通常 较小），当 越大，小得越多。yFF0/e r0/e rcrFFcrFyFyF5可认为，偏心受压杆件两端承受轴力 和弯矩 ，因此由式FMFe可知，当 （即 ）时，220()()( /)0yFFFFe rF可解得轴心受压杆件的临界荷载

19、或者 ，两者互不相关，取较小者为真正的临界荷载。当 时，可得到纯弯曲时的临界0e 0M cryFFcrFF0F cr0yMrF F2crt=()yMEIGIEIll弯矩，即 ，与式 相同。375.3 偏心压杆的弯扭屈曲5根据 和 的表达式，把式 写成如下形式：利用这个关系式，并将 用端弯矩 代替，则式2crt0=()yyMEIGIEIrF FllyF在钢结构设计中常常采用相关公式来控制偏心压杆的弯扭失稳，下面介绍相关公式的基本原理。2crt=()yMEIGIEIllFFeM220()()( /)0yFFFFe rF成为：2cr(1)(1)yFFMFFM （）385.3 偏心压杆的弯扭屈曲5偏心

20、压杆弯扭屈曲与 的相关曲线将式 画成2cr(1)(1)yFFMFFM （） 与 的相关曲线，如图所示。cr/MM/yFF 不仅与 有关，而且受 的影响很大， 越大，偏心压杆的弯扭屈曲承载力越高。 /yFF当 时， 与 之间的关系是直线关系：yFFcr1yFMFM395.3 偏心压杆的弯扭屈曲/yFFcr/MM/yFFcr/MMcr/MM/yFF/yFF5偏心压杆弯扭屈曲与 的相关曲线一般普通热轧工字形截面 ，相关曲线都在此直线之上。对于一般冷弯薄壁杆件，其 ，相关曲线在直线之下，如图所示。yFFyFF如果采用式 计算普通热轧钢杆件弯矩作用平面外的稳定性，即简单又偏于安全。405.3 偏心压杆的

21、弯扭屈曲cr/MMcr1yFMFM/yFF5如图所示等截面开口薄壁轴心压杆，设O为截面形心，x、y 轴为截面的主惯性轴，z 为形心轴，S 为截面的弯曲中心（ ， ）。当压力 F 逐渐增加达到临界荷载 时，杆件发生扭转屈曲或弯扭屈曲，此时杆件不再保持直线平衡。开口薄壁轴心压杆0 x0ycrF415.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载5当杆件处于中性平衡状态时，其独立位移分量包括三个：截面弯曲中心 S 在 x、y 轴的位移为 u 和 v ，设与坐标轴的正向一致时为正；绕弯曲中心 S 的扭角为 ，其正向遵守右手螺旋法则。42开口薄壁轴心压杆5.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载5假定

22、杆件屈曲时处于弹性状态，变形是微小的，且截面的周边形状保持不变。现在采用瑞雷-里兹法来计算杆件屈曲时的临界荷载 。43开口薄壁轴心压杆5.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载5取刚屈曲前的直接状态为参考状态，不必考虑轴向变形的影响。参见式：2222t01d2lxyEEI vEI uGIEIzbstEEEE22222t220001d1d1d() d() d() d22d2ddlllyuEIzGIzEIzzzzE考虑增加了沿y轴的位移v，弯扭变形下的总应变能为：式中，被积函数的前两项为弯曲变形产生的应变能，后两项为约束扭转产生的应变能。44开口薄壁轴心压杆5.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆

23、的屈曲荷载5求外力势能：B点绕弯曲中心S点转动角至 时，相对于弯曲中心S点的位移分量变化如图右：考虑坐标为（x,y）的小条（图左的B点），其面积为 ,dA长度为 ，把这小条看作承受轴心压力 的压杆。ldAB截面B点的位移变化45开口薄壁轴心压杆5.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载5截面B点的位移变化10tansin()uryy10tancos()vrxxB点绕弯曲中心S点转动角至 时，相对于弯曲中心S点的位移分量变化为：弯扭变形后小条的位移为：10()Buuuuyy10()Bvvvvxx B465.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载5B点纵向纤维的变形考察B点纵向纤维的长度变

24、化：取微段 ，变形后微段的上端在x、y轴上的位移为u、v，下端相应的位移为u+du、v+dv，变形后的微段长度为：dz1222222ddd(d )(d )(d )()()1 ddduvsuvzzzz当 趋近于零时， ；考虑杆件处于微小变形状态，即 、 是微小量；上式可简化为：221 d1 dd ()()1d2 d2 duvszzzn121(1)12nn vu475.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载5B点纵向纤维的变形后的总长度为：2201 d1 d ()()1d2 d2 dluvszzzB点纵向纤维的变形后两端的缩短为：2201dd()() d2ddlBuvslzzz 应力 在小条上

25、外力功为：/FA2201ddd ()d2lBBBWAA uvz 220001d()()d2lA uyyvxxz48B点纵向纤维的变形5.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载5对整个杆件，压力 F 的外力功为：22000222200001dd() () d2122d2lAAlFWWA uyyvxxzAFuvy ux vrz 式中 ,222000 xyIIrxyA因此，总势能为 ，即：pVEEEEW222222Pt0022001222dlyxEGIEIEI uEI vFuFvFy uFx vFrz 495.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载考虑 ， dd0AAx Ay A2dyAxA

26、I， 2dxAyAI5下面用瑞雷里兹法来求两端简支杆件的临界荷载近似解。杆端简支时的边界条件为：设满足上述边界条件的位移函数为当 和 时， ，0z 0vu0 vusinn zuAllznBvsinlznCsin, 2 , 1n（ ）505.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载zl5将位移函数代入总势能表达式中，得到：222422422Pt0001()cos ()d()sin ()d()sin ()d2lllynn znn znn zEGICzEICzEIAzllllll422222222000()sin ()d()cos ()d()cos ()dlllxnn znn znn zEIBzF

27、AzFBzllllll222222220000002()cos ()d2()cos ()d2()cos ()d lllnn znn znn zFy ACzFx BCzFrCzllllll利用积分：22001cos ()dsin ()d2lln zn zzzll515.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载5经整理后，总势能表达式为：式中，22222P000() ()()()224yxlnEFF AFF Br CFFFy ACFx BCl222222t222201,()yxxynEInEInEIFFFGIllrl根据势能驻值原理，令 ， ， ，可得：P0EAP0EBP0EC0()0yFF A

28、Fy C0()0 xFF BFx C2000()0Fy AFx BrFF C525.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载5A、B、C 不同为零的条件是其系数行列式 ，即：展开上式，得到稳定方程为：0002000000()yxFFFyFFFxFyFxrFF22222000()()()()()0 xyxyFF FF FF ry FFFx FFF解上式得 F 的最小根即为临界荷载crF535.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载5对临界荷载讨论如下:将稳定方程进行简化：（1）当杆件截面为双轴对称（如工字形截面）或者点对称（如Z形截面）时，形心与弯曲中心重合。因此， 。000 xy2222

29、2000()()()()()0 xyxyFFFFFF ry FFFx FFF简化()()()=0 xyFFFFFF545.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载5方程的根为：222222t222201,()yxxynEInEInEIFFFGIllrl但注意到，临界荷载只可能发生在 n=1 时，故取方程的根为：22222t2201()xxyyEIFFlEIFFlEIFFGIrl其最小根就是双轴对称截面轴心压杆的临界荷载 ；哪个根最小与截面形状和尺寸、长细比等因素有关。crF555.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载5当 或者 时，杆件发生绕 y 轴或者绕 x 轴弯曲失稳crxFFcr

30、yFF当 时，杆件发生绕 z 轴（形心与弯曲中心重合）的扭转失稳crFF也就是说，双轴对称或者点对称截面轴心压杆只会发生绕两个主轴的弯曲失稳或者绕弯曲中心的纯扭转失稳，不会发生弯扭失稳。轴心受压工字形截面杆件：一般情况下，轴心受压工字形截面杆件绕弱轴的弯曲失稳临界荷载低于绕强轴的弯曲失稳临界荷载，也低于绕弯曲中心的扭转失稳临界荷载，因此工字形截面杆件常常只会发生绕弱轴的弯曲失稳形式。565.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载5轴心受压十字形截面杆件：对于轴心受压十字形截面杆件，由于 , 如果发生扭转失稳，则临界荷载为： 由此可见，对于轴心受压十字形截面杆件，但杆件的长细比较小时，其弯曲

31、临界荷载较高，当超过 后，杆件就会发生扭转失稳。0I t20GIFr上式与十字形截面杆件的长度无关，一旦发生扭转失稳就是自由扭转。F575.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载5轴心受压双轴对称截面杆件：将式代入可以看出双轴对称截面轴心压杆不会发生弯扭失稳。585.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载22222t2201()xxyyEIFFlEIFFlEIFFGIrl0()0yFF AFy C0()0 xFF BFx C2000()0Fy AFx BrFF C5为此可以得到：由位移函数式:可知，双轴对称截面轴心压杆只有一种单纯的变形存在，不会发生弯扭变形耦合。当 时，只有 ，而yF

32、F0A 0BC当 时，只有 ，而xFF0B 0AC当 时，只有 ，而0C 0ABFFsinn zuAllznBvsinlznCsin, 2 , 1n（ ）595.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载5（2）当杆件截面为单轴对称（设 y 为对称轴，如 T 形截面），形心与弯曲中心不重合，但都在对称轴上，则 ，稳定方程简化为：00 x 22200()()()0 xyFFFFFF rF y其根为（最小根取 n=1 ）:22xxEIFFl或者21()()42yyyFFFFFkF Fk200)(1ryk，式中605.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载5 表示可能发生的弯曲失稳临界荷载应比较

33、以上两式，其最小值才是真正的临界荷载表示可能发生的弯扭失稳临界荷载crF轴心受压单轴对称截面杆件，既可能发生弯曲屈曲也可能发生弯扭屈曲，究竟会发生哪种屈曲，由截面形状和尺寸而定。615.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载22xxEIFFl21()()42yyyFFFFFkF Fk5（3）当杆件截面不对称时0()0yFF AFy C0()0 xFF BFx C2000()0Fy AFx BrFP C上式方程不能简化，其临界荷载为这三次方程三个根中的最小值，这种情况必然发生弯扭屈曲。625.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载5如图所示的偏心压杆，分析中的基本假定，除上节的规定：假定

34、杆件屈曲时处于弹性状态，变形是微小的，且截面的周边形状保持不变。开口薄壁偏心压杆（1）在绕 x 轴的弯矩 和绕 y 轴的弯矩xMyM另外假定：635.5 用能量法计算开口薄壁偏心压杆的屈曲荷载作用下，杆件的弯曲变形很小，可忽略不计，也就是说杆件在屈曲前保持直线；55.5 用能量法计算开口薄壁偏心压杆的屈曲荷载（2）杆件有足够的刚度，因而不考虑轴力对弯矩的影响。也就是说，在坐标为（x，y）的截面上任一点的应力为:yxxyM xM yFAII如果假设 为偏心荷载 F 对 x 轴的偏心距，xe为对 y 轴的偏心距，则荷载 F 的作用点位于坐标( ) , , 。,xye exxMFeyyMFeye64

35、开口薄壁偏心压杆55.5 用能量法计算开口薄壁偏心压杆的屈曲荷载现在来分析中性平衡状态下的总势能设中性平衡状态下，弯曲中心 S 在 x 轴和 y 轴方向的位移分别为 u 和 v ，截面绕弯曲中心的转动的扭角为 。总应变能表达式为：65开口薄壁偏心压杆2222t01d2lxyEEI vEI uGIEIz55.5 用能量法计算开口薄壁偏心压杆的屈曲荷载下面研究外力势能考虑的纵向小条 ， 位于B点，坐标为（x，y），B点的位移为：纵向小条上外力所做的功为：dA ldA10()Buuuuyy10()Bvvvvxx 220001dd()()d2lWA uyyvxxz66开口薄壁偏心压杆55.5 用能量法

36、计算开口薄壁偏心压杆的屈曲荷载将式 代入yxxyM xM yFAII220001dd()()d2lWA uyyvxxz同时注意到ddd0AAAx Ay Axy A2dyAxAI2dxAyAI222000 xyIIrxyA2201()d2yAxy xyAyI2201()d2xAyx xyAxI6755.5 用能量法计算开口薄壁偏心压杆的屈曲荷载于是，整个杆件上外力所做的功为222200220002222000201()2()2()2()d d12()22()2()dlyxAAxylxyxyyxM xM yFWdWuvyyAIIxxyy uxx vA zFuFvFrFyM uFxMvMMz 因此，

37、总势能为 ，即PVEEEEW22222222Pt002001(r)22()2()2()dlyxxyxyyxEGIEIEI uEI vF uvFyMuFxMvMMz 6855.5 用能量法计算开口薄壁偏心压杆的屈曲荷载下面用瑞雷里兹法来求两端简支杆件的临界荷载近似解设满足上述边界条件的位移函数为：杆端简支时的边界条件为：当 和 时，有 ，0zlz 0uv0 vusinn zuAllznBvsinlznCsin（ ）, 2 , 1n695根据势能驻值原理，令 ， ， ，可得：5.5 用能量法计算开口薄壁偏心压杆的屈曲荷载将位移函数代入总势能表达式中P0EAP0EBP0EC0()()0yxFF A

38、F ye C0()()0 xyFF BF xe C2000()()()220 xyxyyxF yeAF xeBrFFFeFeCA、B、C不同为零的条件是其系数行列式 ,由此可得稳定方程为:022200220()()()2 ()()()()()0 xyxyyxxxyyFFFFFF rF eeFFFyeFFFxe7055.5 用能量法计算开口薄壁偏心压杆的屈曲荷载对稳定方程求解，可得到 F 的三个根，其最小根就是所求的临界荷载。下面讨论几种特殊情况:（1）当截面为双轴对称，且压力 F 作用在一个对称轴上（如 y 轴），则 。由于对称性，可知 000yxye0 xy2201()d2xAyx xyAx

39、I2201()d2yAxy xyAyI715式中 ， 5.5 用能量法计算开口薄壁偏心压杆的屈曲荷载2220()0()()0 xyxFFFFFF rF e将稳定方程进行简化：22222000()()()()()0 xyxyFFFFFF ry FFFx FFF简化2220()()()0 xyxFFFFFF rF e即其根为：22xxEIFFl221211()42 1yyyFFFFFk F Fk（）（）或10 xekr20 xyIIrA725当临界荷载由 确定时，是弯矩作用平面内（荷载作用在 y 轴上）绕 x 轴的弯曲失稳。5.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载应比较以上两式，其最小值才是

40、真正的临界荷载22xxEIFFl当临界荷载由 确定时，则发生对称平面外（前面已设 y 轴为对称轴）的弯扭失稳。crF221211()42 1yyyFFFFFk F Fk（）（）735当发生弯扭失稳时：1、如果 （即 ），F 有两个正根，其中较小根为临界荷载；2、如果 （即 ），为轴心受压，则 或 ， 其中较小根为临界荷载，这与上节讨论相同；3、如果 （即 ），由式 可得临界荷载 ；4、如果 （即 ），则 F 有两个根，一个为正根，另一个为负根，负根表示在大偏心受拉时杆件的弯扭失稳。5.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载11k 0 xer10k 0 xe yFFFF11k 0 xer22

41、20()()0yxFFFF rF ecr/()yyFF FFF11k 0 xer7455.5 用能量法计算开口薄壁偏心压杆的屈曲荷载（2）当截面为单轴对称，且压力 F 作用在对称轴上（设 y 为对称轴），则 。将稳定方程进行简化：00yxxe22200220()()()2 ()()()()()0 xyxyyxxxyyFF FFFF rF eeFFFyeFFF xe简化22200()()()2() 0 xyxyxFFFFFF rFeFye即22200()0()()2()0 xyxyxFFFFFF rFeFye7555.5 用能量法计算开口薄壁偏心压杆的屈曲荷载其根为（最小根取：n=1 )：222

42、xxnEIFFl当临界荷载是式 的 时，表示发生绕 x 轴的弯曲失稳；()0 xFF当临界荷载是式 确定时，则表示发生弯扭失稳。22200()()2()0yxyxFFFF rFeFyexF765当荷载作用在弯曲中心时，即当 时，稳定方程式可进一步简化为：5.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载0 xey22200()0()()2()0 xyxyxFFFFFF rFeFye简化20()0()0()20 xyxyFFFFFF rFe775从而得到：5.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载22xxEIFFl22yyEIFFl2 02002yF rFry或或这三个根的最小值就是临界荷载。第一、二个根分别表示发生绕 x 轴、y 轴弯曲失稳的临界荷载，第三个根表示绕弯曲中心的扭转失稳。由此可知，偏心受压杆件的荷载 F 通过截面弯曲中心时，其失稳情况或者是弯曲失稳，或者是扭转失稳，不可能发生弯扭失稳.这个结论也适用于无对称轴的截面，其相应的扭转失稳临界荷载为2 0200022xyF rFrxy78耐劳苦尚简朴勤学业爱国家感谢倾听THANK YOU FOR YOUR LISTENING