2022年期权定价中的蒙特卡洛模拟方法 .pdf

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1、期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权 作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法 、 鞅方法 和数值 方法。而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。1. 预备知识两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫 (Kolmogorov) 强大数定律和莱维一林德贝格(Levy-Lindeberg) 中心极限定理。大数定律 是概率论中用以说明大量随机现

2、象平均结果稳定性的一系列极限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的Kolmogorov 强大数定律：设12,L为独立同分布的随机变量序列，若,1,2,kEkL则有11(lim)1nknkpn显然，若12,nL是由同一总体中得到的抽样，那么由此大数定律可知样本均值11nkkn当 n很大时以概率1收敛于总精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 35 页体均值。中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态分布的良好性质解决实际问题。设12,L为独立同分布的随机变量序列，若2,1,2,kkED

3、kL则有1(0,1)nkdknNn其等价形式为2111lim()exp(),22nxkkntnPxdtxn。Black-Scholes 期权定价模型模型的假设条件：1、标的证券的价格遵循几何布朗运动dSdtdWS其中，标的资产的价格S是时间t的函数，为标的资产的瞬时期望收益率，为标的资产的波动率，dW是维纳过程。2、证券允许卖空、证券交易连续和证券高度可分。3、不考虑交易费用或税收等交易成本。4、在衍生证券的存续期内不支付红利。5、市场上不存在无风险的套利机会。6、无风险利率r为一个固定的常数。下面，通过构造标的资产与期权的资产组合并根据无套利定价原理建立期权定价模型。首先，为了得到期权的微分

4、形式，先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 35 页伊藤Ito公式： 设( , )VV S t，V是二元可微函数， 若随机过程S满足如下的随机微分方程( , )( , )dSS t dtS t dWS则有22221(, )( , )(, )2VVVVdVS t SS t SdtS t SdWtSSS根据伊藤公式，当标的资产的运动规律服从假设条件中的几何布朗运动时，期权的价值( , )VV S t的微分形式为22221()2VVVVdVSSdtSdWtSSS现在构造无风险资产组合VVSS，即

5、有drdt，经整理后得到2222102VVVSrSrVtSS这个表达式就是表示期权价格变化的Black-Scholes 偏微分方程。它同时适合欧式看涨期权、欧式看跌期权、美式看涨期权和美式看跌期权，只是它们的终值条件和边界条件不同，其价值也不相同。欧式看涨期权的终边值条件分别为( , )max 0,TV S TSK，00( , )SV S TSS通过求解带有终边值条件的偏微分方程，得出欧式看涨期权的的解读解：()12( , )()()r T tV S tSN dKeN d其中，221( )2xdN dedx，21ln(/)(/ 2)()SKrTtdTt，21ddTt，T为期权的执行日期，K为期

6、权的执行价格。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 35 页欧式看跌期权的终边值条件分别为( , )max 0,TV S TKS，0( , )0KSV S TS此外，美式看涨期权的终值条件为( , )max0,V S tSK，美式看跌期权的终值条件为( , )max0,V S tKS。然而，美式期权的价值没有解读解，我们一般可通过数值方法（蒙特卡洛模拟、有限差分法等）求得其近似解。风险中性期权定价模型如果期权的标的资产价格服从几何布朗运动dSrdtdWS即标的资产的瞬时期望收益率取为无风险利率r。同理，根据伊藤公式可以得到2l

7、n()2dSrdtdW222lnln()()() ()(),()22TtTtSSrTtWWNrTtTt2exp()()()2TtTtSSrTtWW对数正态分布的概率密度函数：设2(,)N，e，则的密度函数为221(ln)exp()0( )2200 xxP xxx根据上述公式，得到标的资产TS的密度函数如下精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 35 页222(ln()()21exp()0( )2()200txrTtSxP xTtTtxx在风险中性概率测度下，欧式看涨期权定价为：( , )exp()max0,QTV S tr Tt

8、ESK222222(ln()()12max0,exp()22(ln()()2exp()22QTKKxrTtSESKdxTtTtxrTtKSdxTtxTt接下来，求解以上风险中性期望。首先，对上式的右边第一个广义积分分别作变量替换2ln()()2xrTtSyTt和uyTt，可以得到2222222ln()()2()()()221ln()()2(ln()()12exp()2211()22KSrTtuuKr Ttr Ttr TtT tKrT tSTtxrTtSdxTtTtSeeduSeeduSeN d再对等式的右边的第二个无穷积分，令2lnln()()2xSrTtuTt，可求得2222222lnln(

9、)()2222lnln()()2(ln()()2exp()2()211()22KSKrTtuuT tKSrT tTtxrTtKSdxTtxTtKeduKeduKN d精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 35 页将以上的计算结果代入期望等式中，得到欧式看涨期权的价格公式为：()()12( , )max0,()()r TtQr T tTV S teESKSN dKeN d其中，21ln()()2SrTtKdTt，21ddTt。可以看出，对于欧式看涨期权的风险中性定价方法的结果与基于资产复制的偏微分方程定价方法的结果是一致的。基于

10、风险中性的期权定价原理在于：任何资产在风险中性概率测度下，对于持有者来说都是风险偏好中性的，便可用风险中性概率求取期权的期望回报再将其进行无风险折现便是初始时刻的期权价值。蒙特卡洛模拟方法就是一种基于风险中性原理的期权数值定价方法。2. 蒙特卡洛模拟方法及其效率假设所求量是随机变量的数学期望 E，那么近似确定的蒙特卡洛方法是对进行 n 次重复抽样，产生独立同分布的随机变量序列12,nL，并计算样本均值11nnkkn。那么根据Kolmogorov 强大数定律有(lim)1nnp。因此，当n 充分大时，可用n作为所求量的估计值。由中心极限定理可得到估计的误差。设随机变量的方精选学习资料 - - -

11、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 35 页差2D，对于规范正态分布的上2分位数2Z，有22221()exp()122ZnZtpZdtn这表明，置信水平1对应的渐近置信区间是2nZn。实际上，由此可确定蒙特卡洛方法的概率化误差边界，其误差为2Zn，误差收敛速度是1 2()O n。不难看出， 蒙特卡洛方法的误差是由和n决定的。 在对同一个进行抽样的前提下，若想将精度提高一位数字，要么固定，将 n 增大 100 倍；要么固定n 将减小 10 倍。若两个随机变量12,的数学期望12EE，12，那么无论从1或2中抽样均可得到的蒙特卡洛估计值。比较其误差，设

12、获得i的一个抽样所需的机时为it ，那么在时间 T 内生成的抽样数iiTnt，若使1212nn，则需使1 12 2tt。因而，若要提高蒙特卡罗方法的效率，不能单纯考虑增加模拟的次数n 或是减小方差2， 应当在减小方差的同时兼顾抽取一个样本所耗费的机时，使方差2与机时 t 的乘积尽量的小。3. 蒙特卡洛模拟方法为期权定价的实现步骤期权定价的蒙特卡洛方法的理论依据是风险中性定价原理：在风险中性测度下，期权价格能够表示为其到期回报精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 35 页的贴现的期望值，即12exp()(,)QTPErTf S

13、SSL，其中的QE表示风险中性期望，r 为无风险利率， T 为期权的到期执行时刻，12(,)Tf S SSL是关于标的资产价格路径的预期收益。由此可知，计算期权价格即就是计算一个期望值，蒙特卡洛方法便是用于估计期望值，因此可以得到期权定价的蒙特卡洛方法。一般地，期权定价的蒙特卡洛模拟方法包含以下几步（以欧式看涨期权为例）: (l)在风险中性测度下模拟标的资产的价格路径将时间区间0,T分成 n 个子区间0120nttttTL，标的资产价格过程的离散形式是2111()()21()()iiiiirtttt zjjiiStSte，(0,1)izN(2)计算在这条路径下期权的到期回报，并根据无风险利率求

14、得回报的贴现exp()max 0,jjTCrTSK(3)重复前两步，得到大量期权回报贴现值的抽样样本(4)求样本均值，得到期权价格的蒙特卡洛模拟值11exp()max 0,1mjTmjjMCjrTSKCCmm另外，我们还可以得到蒙特卡洛模拟值与真值的概率化误差边界，这也是蒙特卡洛方法为期权定价的优势之一。由 于exp()max 0,jjTCrTSK， m 条 路 径 的 收 益 均 值 为11mjmeaniCCm，m 条路径的方差为2var11()1mjmeaniCCCm，则可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 35 页得

15、95%的置信区间为varvar1.96,1.96meanmeanCCCCmm。例 1：假设无红利的股票A，初始价格为￥ 6，价格过程服从几何布朗运动，年预期收益率为10%，收益率的波动率为每年 25%，时间步长为0.01 年（ 1 年为 100 时间步），给定数据，06,0.1,0.25S，以及 d 100，用蒙特卡洛方法模拟资产的价格路径如下：21(0.10.25)0.010.250.012()( )iASttS t e01020304050607080901005.755.85.855.95.9566.056.16.156.26.25Monte Carlo Price Path Simul

16、ationPeriodPrice（1）01020304050607080901005.25.45.65.866.26.46.6Monte Carlo Price Path SimulationPeriodPrice（2）图（1）蒙特卡洛方法模拟股票A 价格路径，图（ 2）蒙特卡洛方法模拟股票B 价格路径。若无红利的股票B、C、D，其价格均为￥6，股票 B 的期望收益率为0.1， 波动率为 0.6； 股票 C 的期望收益率为0.5，波动率为 0.25；股票 D 的期望收益率为0.5，波动率为0.6，分别用蒙特卡洛方法模拟该三种股票在一年内的价格路径如下：精选学习资料 - - - - - - -

17、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 35 页21(0.10.6)0.010.60.012()( )iBSttS t e21(0.50.25)0.010.250.012()( )iCSttS t e21(0.50.6)0.010.60.012()( )iDSttS t e01020304050607080901005.855.95.9566.056.1Monte Carlo Price Path SimulationPeriodPri ce（3）01020304050607080901005.45.65.866.26.46.66.87Monte Carlo Price

18、 Path SimulationPeriodPr ice（4）图（3）蒙特卡洛方法模拟股票C 价格路径，图（ 4）蒙特卡洛方法模拟股票D 价格路径。从图中可以看出， 股票 C和股票 D 的价格上升速度较快，而股票 B 和股票 D 的价格波动比较大。这是与股票C 和股票 D 价格的期望收益率较高，股票B 和股票 D 价格的波动率较高相对应的。欧式看涨期权06,2,0.1,0.25,1SKrT，通过Black-Scholes 公式计算得的精确值为4.1903C，蒙特卡洛模拟的价格为4.1787C，其蒙特卡洛模拟图如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

19、- - -第 10 页，共 35 页00.511.522.533.543.844.24.44.64.855.25.4European Call Option Price EstimationEst imat ionlog(N)Monte Carlo（5）上述同样的条件，路径由100 逐渐增加到1000000 条，对应地分别得到的期权价值的模拟值和置信区间，结果如下表所示：各种路径下蒙特卡洛方法模拟的95%置信区间N 模拟值置信区间100 4.3146 4.0112,4.6180 500 4.2262 4.0962,4.3563 1000 4.2213 4.1287,4.3139 2000 4.

20、1633 4.0984,4.2281 5000 4.1695 4.1280,4.2111 10000 4.1787 4.1490,4.2083 50000 4.1960 4.1826,4.2094 100000 4.1886 4.1791,4.1980 1000000 4.1914 4.1884,4.1944 4. 蒙特卡洛模拟方法为我国权证定价权证是一种合同，权证投资者在约定时间内有权按约定价格向发行人购入或者出售合同规定的标的证券。权证发行人可以是标的证券的发行人或其之外的第三方。权证主要具有价格发现和风险经管的功能，它是一种有效的风险经管和资源配置工具。现选取我国认股权证中的五粮YGC1

21、 、马钢 CWB1 、伊精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 35 页利 CWB1 为例，以 2006 年的价格作为样本区间模拟认股权证的价值，并将这些权证的蒙特卡洛模拟价值和由wind 数据库给出的理论值进行比较。本例采用一年期短期利率2.52%作为无风险利率，用这些权证的正股股票价格序列来计算波动率。现实中用等时间间隔观测股票价格序列(0,1,2,)iS inL，股票投资的连续复利收益率1ln(/)iiiuSS， （1,2,inL） ，则iu的样本规范差211()1niiuun。 如果用日数据计算波动率，则年度波动率按下

22、式计算：年度波动率日波动率*（每年的交易日数）1/2将时间区间取为2006 年 12月 1日 2006 年 12月 29日，则由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes 模型的精确值和市场价格比较的结果如下：蒙特卡洛方法对五粮YGC1 认股权证的模拟（51.15%）日期实际值蒙特卡洛模拟值理论值日期实际值蒙特卡洛模拟值理论值12-1 10.164 10.066 9.821 12-18 12.100 13.524 13.351 12-4 10.120 10.357 10.121 12-19 12.080 13.574 13.401 12-5 9.880 10.630 10.40

23、1 12-20 12.210 13.771 13.601 12-6 9.395 10.386 10.151 12-21 11.900 13.376 13.201 12-7 9.147 9.998 9.751 12-22 11.420 12.687 12.501 12-8 9.050 9.785 9.531 12-25 12.038 13.742 13.571 12-11 9.850 9.225 8.951 12-26 11.978 13.406 13.231 12-12 9.825 10.600 10.371 12-27 13.001 14.364 14.201 12-13 9.766 10.

24、260 10.021 12-28 13.050 14.612 14.451 12-14 10.589 11.332 11.121 12-29 14.500 16.198 16.051 12-15 10.849 12.028 11.831 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 35 页蒙特卡洛方法对马钢CWB1 认股权证的模拟（53.91%）日期实际值蒙特卡洛模拟值理论值日期实际值蒙特卡洛模拟值理论值12-1 1.143 1.244 0.569 12-18 1.775 1.709 1.052 12-4 1.209 1.188

25、0.517 12-19 1.803 1.709 1.052 12-5 1.241 1.223 0.549 12-20 1.730 1.756 1.103 12-6 1.349 1.223 0.549 12-21 1.641 1.709 1.052 12-7 1.633 1.416 0.743 12-22 1.700 1.542 0.778 12-8 1.750 1.618 0.952 12-25 1.707 1.453 0.848 12-11 1.919 1.416 0.743 12-26 1.835 1.520 1.052 12-12 1.874 1.618 0.952 12-27 1.77

26、6 1.709 1.052 12-13 1.794 1.748 1.094 12-28 1.644 1.811 1.163 12-14 1.794 1.633 0.969 12-29 1.708 1.748 1.094 12-15 1.830 1.633 0.969 蒙特卡洛方法对伊利CWB1 认股权证的模拟（62.03%）日期实际值蒙特卡洛模拟值理论值日期实际值蒙特卡洛模拟值理论值12-1 13.324 13.533 12.629 12-18 14.760 14.818 13.988 12-4 13.250 13.947 13.069 12-19 15.479 15.541 14.748 1

27、2-5 13.296 13.957 13.079 12-20 15.487 16.630 15.888 12-6 12.911 13.957 13.079 12-21 15.594 16.449 15.698 12-7 12.853 13.288 12.369 12-22 15.168 16.573 15.828 12-8 12.734 12.763 11.809 12-25 16.616 15.817 15.038 12-11 12.920 12.576 11.609 12-26 16.619 17.754 17.058 12-12 14.059 12.941 11.999 12-27 17

28、.673 17.879 17.188 12-13 13.528 14.108 13.239 12-28 17.673 19.726 19.098 12-14 14.281 13.815 12.929 12-29 17.673 19.726 19.098 12-15 14.349 14.619 13.778 从表可看出，由蒙特卡洛方法模拟的认购权证价格的模拟值比由 Black-Scholes 公式计算的理论值更接近实际值。为了更直观的比较，由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes 模型的精确值和市场价格比较的结果如下图。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

29、纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 35 页其中 SJ代表实际值， MC 代表蒙特卡洛方法求得的模拟值，BS 代表由 Black-Scholes 公式计算出的理论值。89101112131415161714710131619SJMCBS五粮 YGC1 价格模拟比较图00.511.522.514710131619SJMCBS马钢 CWB1 价格模拟比较图10111213141516171819202114710131619SJMCBS伊利 CWB1 价格模拟比较图从图中明显看出，五粮YGC1 和伊利 CWB1 的模拟结果比较好，蒙特卡洛模拟值和Black-Scholes 模型的理

30、论值均与实际值吻合； 而马钢 CWB1 的实证结果不理想，但是三种结果的走势图有共同的趋势。从比较分析中发现蒙特卡洛方法模拟的价格比Black-Scholes 模型更接近实际价格。对于这些认股权证价格的模拟结果的好坏，受诸多因素影响，主要与精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 35 页选取的波动率和中国权证市场的发展特点有关等等。隐含波动率及其数值计算方法隐含波动率是一个在市场上无法观察到的波动率，是通过 Black-Scholes 期权定价公式计算出来的波动率。由于我们无法给出它的解读解，因此，只能借助于数值计算给出近似解

31、。下面介绍牛顿迭代法计算隐含波动率。牛顿迭代法是牛顿在17 世纪提出的一种在实数域上近似求解方程根的方法。步骤 1. 将函数( )f x在点0 x附近展开成泰勒级数200000()( )()()()()2!fxf xf xfxxxxxL步骤 2. 取泰勒级数的前两项作为000( )()()()f xfxfxxx假设0()0fx，求解方程000( )()()()0fxf xfxxx，并令其解为1x，得0100()()f xxxfx，这样得到迭代公式1()()nnnnf xxxfx，经过 n 次迭代后，可以求出( )0f x的近似解。根据牛顿迭代法，隐含波动率的计算步骤如下：1. 假设其他变量保持

32、不变，认为函数()12()()()r TtMarfSN dKeN dC是隐含波动率的一元函数，其中的MarC是市场上观察到的期权价格。2. 求函数()f的导数2121( )2dCfS Te精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 35 页3. 由迭代公式1()()iiiiff计算波动率，直至()if（是期望达到的精度） 。此外，为了计算隐含波动率，经济学家和理财专家曾做过种种努力试图寻找一个计算波动率的公式。如Brenner 和Subrahmanyam 于 1988 年， Chance 于 1993 年分别提出计算隐含波动率的公

33、式，虽然这些公式对于持有平价期权的波动率的计算还算准确，但是基础资产的价格一旦偏离期权的执行价格的现值， 其准确性就会丧失。 1996 年， Corrado 和 Miller在前人研究的基础上建立了如下公式，大大提高了隐含波动率的计算的准确性：2212()()22rTrTrTrTSKeSKeSKeCCSKeT5 最小二乘蒙特卡洛模拟与美式期权定价运用最小二乘蒙特卡洛模拟方法为美式期权定价的基本原理与蒙特卡洛模拟方法基本相同，并且用最小二乘回归同时还可解决各样本时点上继续持有期权价值的确定和各样本路径的最优停时的确定。其基本思路是：在期权的有效期内，将其标的资产价格过程离散化，随机模拟出标的资产

34、价格的多条样本路径，从而得到每个时刻资产价格的截面数据。选取以某时刻资产价格为变量的一组基函数作为解释变量，下一时刻期权价值的贴现值作为被解释变量，进行最小二乘法回归求得该时刻期权的持有价值，并与该时刻期权的内在价值作比较， 若后者较大， 则应该立即执行期权，否则，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 35 页就应继续持有期权。最小二乘蒙特卡洛模拟方法定价的基本实现步骤：首先，随机生成标的资产价格的多条样本路径；然后，从到期时刻逆向求解，比较期权的内在价值与持有价值，确定出各时刻期权价值和每条样本路径的最优停时；最后，将所有

35、样本的的期权价值求取按无风险利率贴现的算数平均值便是模拟的期权价值。下面，我们运用最小二乘蒙特卡洛模拟方法对单个标的资产的美式看跌期权进行定价，其算法实现步骤如下：第一步：随机生成标的资产价格过程的多条样本路径现设一单个标的资产美式看跌期权的持有到期日为T，期权的执行时刻为*T，*0,tT，标的资产价格为S，期权的执行价格为X。在风险中性条件下，该期权的初始时刻价值为：*01exp() (,)QTtPErtf S SSSLL其中，*01,TtSSSSLL为标的资产价格的路径，*01(,)Ttf SSSSLL是在最优执行时刻*t的期权价值。上式定义的P便是将要运用最小二乘蒙特卡洛方法进行模拟的期

36、权价值。将期权的存续区间0,T均分为N个子区间，则每个子区间的长度为TtN，标的资产价格过程的离散形式：211exp()2iiiSSrtt其中，0,1,iNL，随机变量服从规范正态分布。因此，利用生成随机数模拟得到标的资产价格S的一条样本路径精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 35 页01,NS SSL，重复执行M次模拟，我们可得到资产价格的总样本(1)MNS。第二步：计算各个样本的最优停时及各时刻的期权价值对于美式看跌期权，在期权的有效时刻i，样本路径j上的 内 在 价 值 为()max,0jjiiI SXS， 持 有

37、价 值 为1()exp()()jQjiiiH SErt C SS。由于美式期权在有效期的任何时候都可行权，所以必须比较该时刻期权的内在价值()jiI S与持有价值()jiH S的大小， 以确定该时刻的期权价值以及是否执行期权，即()max(),()jjjiiiC SI SH S由期权的持有价值表达式可知它依赖于下一步期权决策的价值，需通过逆向求解这个期望价值，这正是普通的蒙特卡洛模拟法为美式期权定价的难点所在。最小二乘蒙特卡洛模拟方法通过建立一个当前时刻标的资产价格与下一时刻期权价值贴现值的线性回归计量模型：21123exp()()jjjjiiijYr t C Saa Sa S上述模型以所有样

38、本路径在时刻i的价格iS和2iS作为解释变量，对应的下一时刻期权价值的现值作为被解释变量。采用普通最小二乘法进行回归，求得回归系数的估计值123? ?,a aa和样本回归方程2123?jjjiiYaa Sa S；再将各个资产价格样本代入到回归方程分别可以得到其期权的持有价值估计值，1?exp() ()jjjiiiYE Y SEr t C SS根据计量经济学的理论，这个估计值就是在标的资产价格jiS下的期权持有价值的无偏估计值。另外，本例中选取基精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 35 页函数2012()1;( );( )L

39、SLSS LSS作为解释变量， 根据实际情况中也可以选取其他形式的基函数：2012( )exp();( )exp()(1);( )exp()(12)2222SSSSLSL SSLSS。作为解释变量。现在，我们从到期日开始倒推计算求解每条样本路径上的最优停时和每个样本点的期权价值。在到期日T，执行看跌期权的价值为max,0jNXS。接着，判断在1N时刻是否行权。若期权处于实值状态，即1jNSX，则与继续持有期权的价值相比较， 若内在价值大于持有价值，则应立即执行期权；否则，继续持有期权。考虑在该时刻期权处于实值的样本子集，近似期权持有价值的回归方程为：2112131exp()max,0jjjjN

40、NNNjyr TXSaa Sa S其中，1NjJ，1NJ是1N时刻所有期权处于实值状态的标的资产价格样本集。在时刻1N的资产价格1jNS信息下，比较内在价值1max,0jNXS与继续持有期权的价值1?jNy就可做出是否执 行 期 权 的 决 策 。 同 理 ， 我 们 可 倒 推 继 续 求 得 时 刻2,3,0NNL的期权持有价值。对于每条样本路径j，期权或是在最优停时0,1,jtNL执行，或是永不执行。具体设计程序时，令初值jtN，在时刻1N，如果继续持有期权，则jt不变；如果执行期权，则1jtN，依此类推。每个样本上就只有一个最优停时，每次更新jt，最后便求得每条样本路径上的最优停时。第

41、三步：对各条样本路径上的期权价值按无风险利率贴现并求其均值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 35 页经过M次模拟后，得到M条标的资产价格的样本路径，以及每条样本路径上的最优停时jt和在该时刻的期权价值：*()max,01,2,jjjjttI SXSjML由于每条样本路径上的最优执行时间不同，期权价值的贴现因子jrte也不同， 所以应分别进行贴现求均值，最终得到初始时刻期权价值的最小二乘蒙特卡洛模拟值：*1*01exp() ()?exp()(,)jMjjtjQTtrtI SPErtf S SSSMLL例 3：已知股票价格为

42、50，美式看跌期权执行价为50到期日为5 个月，股票年收益率的规范差为0.4，无风险利率为 10%，用最小二乘蒙特卡洛模拟其价格。编制最小二乘蒙特卡洛模拟的MATLAB程序如下：function price=AmericanOptLSM(S0,K,r,T,sigma,N,M) dt=T/N 。R=exp(r-sigma2/2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(N,M)。S=cumprod(S0*ones(1,M) 。R)。ExTime=N*ones(M,1) 。CF=zeros(size(S)。CF(end,:)=max(K-S(end,:),0) 。for ii=N:-1:2

43、 Idx=find(S(ii,:)C 。nIdx=setdiff(1:M),Idx(Jdx)。CF(ii,Idx(Jdx)=max(K-X(Jdx),0)。ExTime(Idx(Jdx)=ii 。CF(ii,nIdx)=exp(-r*dt)*CF(ii+1,nIdx)。end Price=mean(CF(2,:)*exp(-r*dt) % 绘制标的股票价格模拟图% x1=0:N 。y1=S。y2=mean(S)。subplot(2,1,1) plot(x1,y1) subplot(2,1,2) plot(x1,y2) xlabel(期权存续期间 ) ylabel(股价的模拟路径 ) % 绘制期

44、权价值模拟图% figure。x2=1:N 。y3=CF(2:end,:) 。for i=1:M y4(i)=y3(i,ExTime(i)。end plot(x2,y3,ExTime,y4,*) xlabel(期权的最优停止时间) ylabel(期权价值的模拟路径) 模拟的美式看跌期权的价格路径如下图所示：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 35 页模拟的期权价值路径及其最优停时如下图：本例中的美式看跌期权价格为：price=AmericanOptLSM(50,50,0.1,5/12,0.4,50,100000) Pric

45、e=4.2654 6 改进蒙特卡洛方法计算效率的常用几种方差减少技术方差减少技术的共性是利用模型特点，调整或修正模拟的输出变量，从而降低估计值的方差。在采用方差减少技术精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 35 页时，要具体问题具体分析，针对不同期权类型的特点应用相关的方差减少技术，从而取得效率的最大改进。对偶变量 (Antithetic variates) 技术对偶变量技术是最简单和最常用的方差减少技术。以规范欧式看涨期权为例，其规范蒙特卡洛估计值为11exp()max 0,1exp()mjTmjjMCjrTSKCrTCm

46、m标的股票的股价终值抽样为21()20,1, 2,jrTT zjTSS ejmL由概率论的知识可知jZ也是规范正态分布中相互独立的抽样值， 那么用jZ代替jZ得到的jTS%也是股票价格终值的抽样，从而由exp()max 0,1,2,jjTCrTSKjm%L的平均值也能得到期权价格的无偏估计量。因此，由对偶变量技术得到的期权价格蒙特卡洛估计值为11?2mjjAVjCCCm%。对偶变量技术的有效性：由于jjVar CVar C%，所以1(,)22jjjjjCCVarVar CCov CC%；并且，令()jjCZ，对于规范 欧 式 看 涨 期 权 ，()jZ是 单 调 递 增 函 数 。 由 不 等

47、 式 () () () ()jjjjEZZEZEZ，可知,0jjCov CC%，从而1()22jjjCCVarVar C%，对偶变量技术有效。显然，规范欧式看跌期权和亚式期权对应的必也是单调函数，所以对偶变量技术对这两种期权也适用，而障碍期权精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 35 页和回望期权则反之。对偶变量技术置信区间的估计：由于1122,mmC C CCCC%L并不独立，而1122,222mmCCCCCC%L才是独立同分布的抽样，故采用 n 个1122,222mmCCCCCC%L而非 2n 个1122,mmC C C

48、CCC%L来计算样本规范差。以上对偶变量技术采用的输入变量Z 服从规范正态分布，实际上使用更广泛的输入变量是随机数iU。显然，1iU与iU具有相同分布且两者负相关，从而只要输入变量与输出变量存在单调关系，1iU对应的输出变量与iU对应的输出变量也存在负相关关系，对偶变量技术有效。控制变量 (Control variates) 技术一元控制变量：若1,nYYL是期权到期回报贴现的n 次独立模拟值，那么期权价格的蒙特卡罗估计值是11niiYYn。假设得到iY的同时能得到另一个输出变量iX且E X己知，(,),1,iiXYinL独立同分布，则对于确定的数b 有( )()iiiY bYb XE X期权

49、价格的控制变量估计值即为11( )()()niiiY bYb XE XYb XE Xn所谓的“控制”是指XE X。由下式可知控制变量估计值是无偏估计量( )()E Y bE Yb XE XE YE Y。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 35 页若令22,XYVar XVar Y，则有222( )()2iiiiiYXXYXYVar Y bVar Yb XE XVar YbXbb对上式关于b 求导数，解得能够使( )iVar Y b最小化的b值应为*,YXYXCov X YbVar X。因此，*2()(1)iXYiVar Y

50、 bVar Y。由此可见， 只要 X 与 Y 的相关性越强， 那么控制变量估计的方差减少越显著，所以控制变量技术的关键是选择与Y关系密切且期望值已知的控制变量。另外，由于计算*b的两个量,Cov X Y和Var X未知，故实践中采用的是*b 的估计值121()()?()niiiniiXXYYbXX。多元控制变量：控制变量技术也可以推广到多元情形，假设得到iY的同时能得到d 维向量(1)( )(,)dTiiiXXXL并且E X已知，(,),1,iiX YinL独立同分布，(, )X Y的协方差矩阵为XXYTXYYX是dd矩阵，XY是1d矩阵，且X是非奇异矩阵。则对于确定的向量b 有( )()Ti