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1、精品学习资源期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价始终是金融工程的重要争论领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法 、鞅方法 和数值 方法；而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法；蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径猜测期权的平均回报并得到 期权价格估量值；蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依靠于问题的维数，从而特别相宜为高维期权定价；1. 预备学问两个重要的定理： 柯尔莫哥洛夫 Kolmogorov 强大数定律和莱维一林德贝格 Levy-Lindeberg 中心极限定理；大数定律 是概率论中用以说明大量
2、随机现象平均结果稳固性的一系列极限定律；在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的 Kolmogorov 强大数定律：欢迎下载精品学习资源设 1 ,2 ,L为独立同分布的随机变量序列，如欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源E k , k1,2, L 就有p limn1 nk1n k 1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源明显，如1,2 ,L, n 是由同一总体中得到的抽样，那么由欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源此大数定律可知样本均值1 当 n 很大时以概率 1 收敛于总欢迎下载精品学习资源nkn k 1欢迎下载精品学习资源体均值；中心极限定理 是争论随机变量之和的极限分布在何
3、种情形下是正态的，并由此应用正态分布的良好性质解决实际问题；欢迎下载精品学习资源设 1 ,2 ,L为独立同分布的随机变量序列，如欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源E k , Dk 2, k1 nknnkn1,2,L 就有 k 1dn2x1tN 0,1欢迎下载精品学习资源其等价形式为lim Pk 1xexpdt ,x；欢迎下载精品学习资源n22n Black-Scholes 期权定价模型模型的假设条件：1、标的证券的价格遵循几何布朗运动dSdtdWS其中，标的资产的价格S 是时间 t 的函数，为标的资产的瞬时期望收益率，为标的资产的波动率， dW 是维纳过程；2、证券答应卖空、证券交易连续
4、和证券高度可分；3、不考虑交易费用或税收等交易成本；4、在衍生证券的存续期内不支付红利；5、市场上不存在无风险的套利机会；6、无风险利率 r 为一个固定的常数；下面，通过构造标的资产与期权的资产组合并依据无套利定价原理建立期权定价模型；第一，为了得到期权的微分形式，先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式；欢迎下载精品学习资源伊藤Ito 公式： 设VV S, t程S 满意如下的随机微分方程dS，V 是二元可微函数， 如随机过欢迎下载精品学习资源S,t dtS就有VV1 S, t dW2VV欢迎下载精品学习资源dV S,t StS2 S,t S222 dtS S,t SdW S欢迎下载精品学习资源依
5、据伊藤公式，当标的资产的运动规律听从假设条件中欢迎下载精品学习资源的几何布朗运动时，期权的价值VV S, t 的微分形式为欢迎下载精品学习资源V12VVV欢迎下载精品学习资源dVt2 S22S2S dtSdW SS欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源现在构造无风险资产组合经整理后得到VV S ，即有 drdt ，S欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源V12S22VVrSrV0欢迎下载精品学习资源t2S2S这个表达式就是表示期权价格变化的Black-Scholes偏微分方程；它同时适合欧式看涨期权、欧式看跌期权、美式看涨期权和美式看跌期权，只是它们的终值条件和边界条件不同，其价值也不相同
6、；欧式看涨期权的终边值条件分别为0S0欢迎下载精品学习资源VS,T max 0, STK， V S,T SS欢迎下载精品学习资源通过求解带有终边值条件的偏微分方程，得出欧式看涨期权的的解读解：欢迎下载精品学习资源V S, t SNd Ke r T t N d 欢迎下载精品学习资源12欢迎下载精品学习资源Nd1d ex22 dxln S /d1K r2 / 2Tt 欢迎下载精品学习资源其中，2，Tt，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源d2d1Tt ， T 为期权的执行日期， K 为期权的执行价格；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源欧式看跌期权的终边值条件分别为KS0欢迎下载精品学习资
7、源V S,T max 0, KSTV S,T ，0S欢迎下载精品学习资源此外，美式看涨期权的终值条件为V S,t max0, SK ，欢迎下载精品学习资源美式看跌期权的终值条件为V S,tmax0,KS；然而， 美式欢迎下载精品学习资源期权的价值没有解读解，我们一般可通过数值方法（蒙特卡洛模拟、有限差分法等）求得其近似解；风险中性期权定价模型假如期权的标的资产价格听从几何布朗运动dSrdtdW S即标的资产的瞬时期望收益率取为无风险利率 r ；同理， 依据伊藤公式可以得到欢迎下载精品学习资源d ln Sr2dtdW2欢迎下载精品学习资源22欢迎下载精品学习资源ln Sln SrTt WW N
8、rTt ,2Tt 欢迎下载精品学习资源TtTt222欢迎下载精品学习资源STStexp rTt WT2Wt 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源对数正态分布的概率密度函数：设的密度函数为 N ,2 ，e ，就欢迎下载精品学习资源1ln x2欢迎下载精品学习资源P xexpx0 2x220x0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源依据上述公式，得到标的资产ST 的密度函数如下欢迎下载精品学习资源Px1exp2Ttx0ln xrSt22Tt 222Ttx0x0欢迎下载精品学习资源在风险中性概率测度下，欧式看涨期权定价为：欢迎下载精品学习资源V S,t expr Tt EQmax0,STK x
9、2欢迎下载精品学习资源EQmax0,SK 1explnrSTt 22dx欢迎下载精品学习资源TK2Tt22Tt2欢迎下载精品学习资源Kexpln xr STt 22dx欢迎下载精品学习资源Kx2Tt22Tt欢迎下载精品学习资源接下来，求解以上风险中性期望；第一，对上式的右边第一个广义积分分别作变量替换欢迎下载精品学习资源ln xryS2Tt2欢迎下载精品学习资源Tt和uyTt ，可以得到欢迎下载精品学习资源1expln xrS2Tt 22dx欢迎下载精品学习资源K2Ttr T t 22 Ttu 212r T t ln S K2 rT t 212uT t2r T t 欢迎下载精品学习资源Seln
10、 Kr S2 T t 2eduSeeduSeN d1 22欢迎下载精品学习资源T t再对等式的右边的其次个无穷积分，令欢迎下载精品学习资源ln xuln Sr2Tt2欢迎下载精品学习资源Tt，可求得欢迎下载精品学习资源Kexpln xrS2Tt 22dx欢迎下载精品学习资源Kx2Tt22 Tt 2欢迎下载精品学习资源u2Ke2212 duKln Sln KrT t 2T t1u 2e 2 duKN d2欢迎下载精品学习资源ln Kln S r T t 22欢迎下载精品学习资源T t欢迎下载精品学习资源将以上的运算结果代入期望等式中，得到欧式看涨期权的价格公式为：欢迎下载精品学习资源V S,t
11、e r T t EQ max0,S K SN d Ke r T t N d 欢迎下载精品学习资源ln Srd1KT122Tt2欢迎下载精品学习资源其中，T t， d2d1Tt ；欢迎下载精品学习资源可以看出，对于欧式看涨期权的风险中性定价方法的结果与基于资产复制的偏微分方程定价方法的结果是一样的；基于风险中性的期权定价原理在于：任何资产在风险中性概率测度下，对于持有者来说都是风险偏好中性的，便可用风险中性概率求取期权的期望回报再将其进行无风险折现便 是初始时刻的期权价值；蒙特卡洛模拟方法就是一种基于风险中性原理的期权数值定价方法；2. 蒙特卡洛模拟方法及其效率欢迎下载精品学习资源假设所求量是随
12、机变量的数学期望E，那么近似欢迎下载精品学习资源确定 的蒙特卡洛方法是对进行 n 次重复抽样，产生独立欢迎下载精品学习资源同分布的随机变量序列1,1 n2 ,L,n ，并运算样本均值欢迎下载精品学习资源nn k 1k ；那么依据 Kolmogorov 强大数定律有欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源plimn n1；因此，当 n 充分大时，可用n 作为所求欢迎下载精品学习资源量 的估量值；由中心极限定理可得到估量的误差；设随机变量的方欢迎下载精品学习资源差 D2，对于规范正态分布的上2 分位数 Z2 ，有欢迎下载精品学习资源21Z 2tpnZ 2expdt1n2Z 22这说明，置信水平1对
13、应的渐近置信区间是欢迎下载精品学习资源nZ 2；实际上，由此可确定蒙特卡洛方法的概率n欢迎下载精品学习资源化误差边界，其误差为Z 2，误差收敛速度是nOn1 2 ；欢迎下载精品学习资源不难看出， 蒙特卡洛方法的误差是由和 n 打算的； 在对同一个进行抽样的前提下，如想将精度提高一位数字，要么固定，将 n 增大 100 倍；要么固定 n 将减小 10 倍；欢迎下载精品学习资源如两个随机变量1,2 的数学期望E 1 E 2 ， 12 ，欢迎下载精品学习资源那么无论从 1 或 2 中抽样均可得到的蒙特卡洛估量值；比较其误差，设获得i 的一个抽样所需的机时为ti ，那么在时欢迎下载精品学习资源间 T内
14、生成的抽样数niTt，如使12，就需使欢迎下载精品学习资源in 1n21t12 t2 ；因而，如要提高蒙特卡罗方法的效率，不能单纯考虑增加模拟的次数n 或是减小方差2 ，应当在减小方差的2同时兼顾抽取一个样本所耗费的机时，使方差与机时 t 的乘积尽量的小；3. 蒙特卡洛模拟方法为期权定价的实现步骤期权定价的蒙特卡洛方法的理论依据是风险中性定价原理：在风险中性测度下，期权价格能够表示为其到期回报欢迎下载精品学习资源的贴现的期望值，即PEQ exprT f S , S ,L , S ，其中欢迎下载精品学习资源12T欢迎下载精品学习资源的 EQ表示风险中性期望，r 为无风险利率， T 为期权的到期欢
15、迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源执行时刻， 益；f S1 , S2 ,L, ST 是关于标的资产价格路径的预期收欢迎下载精品学习资源由此可知，运算期权价格即就是运算一个期望值，蒙特卡洛方法便是用于估量期望值，因此可以得到期权定价的蒙特卡洛方法；一般地，期权定价的蒙特卡洛模拟方法包含以下几步（以欧式看涨期权为例） :l 在风险中性测度下模拟标的资产的价格路径欢迎下载精品学习资源将时间区间 0, T 分成 n 个子区间 0t0的资产价格过程的离散形式是t1t 2LtnT ，标欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 r12 tt tt z欢迎下载精品学习资源i1iS j tS j t e2i
16、 1ii 1iiziN，0,1欢迎下载精品学习资源(2) 运算在这条路径下期权的到期回报，并依据无风险利率求得回报的贴现jjCexp rT max 0, STK(3) 重复前两步，得到大量期权回报贴现值的抽样样本4求样本均值，得到期权价格的蒙特卡洛模拟值m欢迎下载精品学习资源exp1 mrT max 0, S jK欢迎下载精品学习资源TCCjj 1MCm j 1mT另外，我们仍可以得到蒙特卡洛模拟值与真值的概率化误差边界，这也是蒙特卡洛方法为期权定价的优势之一；欢迎下载精品学习资源由 于 C jexprT max0,S jK， m条 路 径 的 收 益 均 值 为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精
17、品学习资源1 mjCmeanC， m 条路径的方差为Cvar1C j2Cmean ，就可欢迎下载精品学习资源mm i 1m1 i 1欢迎下载精品学习资源得 95% 的置信区间为 C1.96C var, C1.96C var ；欢迎下载精品学习资源meanmeanmm例 1：假设无红利的股票A，初始价格为￥ 6，价格过程听从几何布朗运动，年预期收益率为10%，收益率的波动率为每年 25%，时间步长为 0.01 年（ 1 年为 100 时间步），给定数据， S06,0.1,0.25 ，以及 d 100，用蒙特卡洛方法模拟资产的价格路径如下：12欢迎下载精品学习资源S A tt 0.1S t e0.
18、250.010.250.01i2欢迎下载精品学习资源Monte Carlo Price Path Simulation6.256.26.15欢迎下载精品学习资源ecrPi6.055.956.16欢迎下载精品学习资源5.95.855.85.750102030405060708090100Period（ 1）Monte Carlo Price Path Simulation6.66.4欢迎下载精品学习资源ecrPi6.265.8欢迎下载精品学习资源5.65.45.20102030405060708090100Period（ 2）图（ 1）蒙特卡洛方法模拟股票 A 价格路径，图（ 2）蒙特卡洛方法模
19、拟股票 B 价格路径；如无红利的股票 B、C、D ，其价格均为￥ 6，股票 B 的期望收益率为 0.1，波动率为 0.6；股票 C 的期望收益率为 0.5，波动率为 0.25；股票 D 的期望收益率为 0.5，波动率为 0.6， 分别用蒙特卡洛方法模拟该三种股票在一年内的价格路径如下：欢迎下载精品学习资源iSB tt S t e0.11 0.6 2 0.010.60.012i欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源SC tt S t e0.510.2522 0.010.250.01欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源SD tt S t e0.51 0.6 2 0.010.60.012i欢迎
20、下载精品学习资源Monte Carlo Price Path Simulation6.16.05欢迎下载精品学习资源ecirP65.95欢迎下载精品学习资源5.95.850102030405060708090100Period（ 3）Monte Carlo Price Path Simulation76.86.6欢迎下载精品学习资源ecirP6.46.2欢迎下载精品学习资源65.85.6欢迎下载精品学习资源5.40102030405060708090100Period（ 4）欢迎下载精品学习资源图（ 3）蒙特卡洛方法模拟股票C 价格路径，图（ 4）蒙特卡洛方法模拟股票D 价格路径；从图中可以看
21、出， 股票 C 和股票 D 的价格上升速度较快， 而股票 B 和股票 D 的价格波动比较大；这是与股票C 和股票 D 价格的期望收益率较高，股票B 和股票 D 价格的波动率较高相对应的；欢迎下载精品学习资源欧式看涨期权S06, K2, r0.1 ,0.25, T1 ，通过欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源Black-Scholes 公式运算得的精确值为C4.1903 ，蒙特卡洛模欢迎下载精品学习资源拟的价格为 C4.1787，其蒙特卡洛模拟图如下：欢迎下载精品学习资源5.45.2European Call Option Price EstimationMonte Carlo欢迎下载精品学
22、习资源欢迎下载精品学习资源itsnoitam E54.84.64.4欢迎下载精品学习资源4.243.800.511.522.533.54logN（5）上述同样的条件，路径由100 逐步增加到 1000000 条， 对应地分别得到的期权价值的模拟值和置信区间，结果如下表所示：各种路径下蒙特卡洛方法模拟的95%置信区间N模拟值置信区间1004.31464.0112,4.61805004.22624.0962,4.356310004.22134.1287,4.313920004.16334.0984,4.228150004.16954.1280,4.2111100004.17874.1490,4.2
23、083500004.19604.1826,4.20941000004.18864.1791,4.198010000004.19144.1884,4.19444. 蒙特卡洛模拟方法为我国权证定价权证是一种合同，权证投资者在商定时间内有权按商定价格向发行人购入或者出售合同规定的标的证券；权证发行人可以是标的证券的发行人或其之外的第三方；权证主要具有价格发觉和风险经管的功能，它是一种有效的风险经管和资源配置工具；现选取我国认股权证中的五粮YGC1 、马钢 CWB1 、伊欢迎下载精品学习资源利 CWB1 为例，以 2006 年的价格作为样本区间模拟认股权证的价值，并将这些权证的蒙特卡洛模拟价值和由wi
24、nd数据库给出的理论值进行比较；本例采纳一年期短期利率2.52%作为无风险利率，用这些权证的正股股票价格序列来运算波动率；欢迎下载精品学习资源现实中用等时间间隔观测股票价格序列Si i0,1, 2,Ln ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源股票投资的连续复利收益率uiln Si/ Si1 ，（ i1,2,Ln ），就 ui欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源的样本规范差1nin1 i 1uu 2；假如用日数据运算波动率，欢迎下载精品学习资源就年度波动率按下式运算：年度波动率日波动率 * （每年的交易日数） 1/2将时间区间取为2006 年 12 月 1 日 2006 年 12 月 2
25、9 日， 就由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes模型的精确值和市场价格比较的结果如下：蒙特卡洛方法对五粮 YGC1 认股权证的模拟（51.15%）日期实际值蒙特卡洛模拟值理论值日期实际值蒙特卡洛模拟值理论值12-110.16410.0669.82112-1812.10013.52413.35112-410.12010.35710.12112-1912.08013.57413.40112-59.88010.63010.40112-2012.21013.77113.60112-69.39510.38610.15112-2111.90013.37613.20112-79.14
26、79.9989.75112-2211.42012.68712.50112-89.0509.7859.53112-2512.03813.74213.57112-119.8509.2258.95112-2611.97813.40613.23112-129.82510.60010.37112-2713.00114.36414.20112-139.76610.26010.02112-2813.05014.61214.45112-1410.58911.33211.12112-2914.50016.19816.05112-1510.84912.02811.831欢迎下载精品学习资源蒙特卡洛方法对马钢 CW
27、B1 认股权证的模拟（53.91% ）欢迎下载精品学习资源模拟值模拟值12-11.1431.2440.56912-181.7751.7091.05212-41.2091.1880.51712-191.8031.7091.05212-51.2411.2230.54912-201.7301.7561.10312-61.3491.2230.54912-211.6411.7091.05212-71.6331.4160.74312-221.7001.5420.77812-81.7501.6180.95212-251.7071.4530.84812-111.9191.4160.74312-261.8351
28、.5201.05212-121.8741.6180.95212-271.7761.7091.05212-131.7941.7481.09412-281.6441.8111.16312-141.7941.6330.96912-291.7081.7481.09412-151.8301.6330.969日期实际值蒙特卡洛理论值日期实际值蒙特卡洛理论值欢迎下载精品学习资源蒙特卡洛方法对伊利 CWB1 认股权证的模拟（62.03%）日期实际值蒙特卡洛模拟值理论值日期实际值蒙特卡洛模拟值理论值12-113.32413.53312.62912-1814.76014.81813.98812-413.25013
29、.94713.06912-1915.47915.54114.74812-513.29613.95713.07912-2015.48716.63015.88812-612.91113.95713.07912-2115.59416.44915.69812-712.85313.28812.36912-2215.16816.57315.82812-812.73412.76311.80912-2516.61615.81715.03812-1112.92012.57611.60912-2616.61917.75417.05812-1214.05912.94111.99912-2717.67317.8791
30、7.18812-1313.52814.10813.23912-2817.67319.72619.09812-1414.28113.81512.92912-2917.67319.72619.09812-1514.34914.61913.778从表可看出，由蒙特卡洛方法模拟的认购权证价格的模拟值比由 Black-Scholes 公式运算的理论值更接近实际值；为了更直观的比较，由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes 模型的精确值和市场价格比较的结果如下图；欢迎下载精品学习资源其中 SJ 代表实际值， MC 代表蒙特卡洛方法求得的模拟值，BS 代表由 Black-Scholes
31、公式运算出的理论值；1716SJMC15BS14131211109814710131619五粮 YGC1 价格模拟比较图2.5SJMC2BS1.510.5014710131619马钢 CWB1 价格模拟比较图21SJ20MC19BS18171615141312111014710131619伊利 CWB1 价格模拟比较图从图中明显看出，五粮YGC1 和伊利 CWB1 的模拟结果比较好， 蒙特卡洛模拟值和 Black-Scholes 模型的理论值均与实际值吻合； 而马钢 CWB1 的实证结果不抱负， 但是三种结果的走势图有共同的趋势；从比较分析中发觉蒙特卡洛方法模拟的价格比 Black-Schol
32、es 模型更接近实际价格； 对于这些认股权证价格的模拟结果的好坏，受诸多因素影响，主要与欢迎下载精品学习资源选取的波动率和中国权证市场的进展特点有关等等；隐含波动率及其数值运算方法隐含波动率是一个在市场上无法观看到的波动率，是通过 Black-Scholes 期权定价公式运算出来的波动率；由于我们无法给出它的解读解，因此，只能借助于数值运算给出近似解；下面介绍牛顿迭代法运算隐含波动率；牛顿迭代法是牛顿在17 世纪提出的一种在实数域上近似求解方程根的方法；欢迎下载精品学习资源步骤 1. 将函数f x 在点x0 邻近绽开成泰勒级数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f xf x f x xx
33、f x0 xx 2L欢迎下载精品学习资源2.0000欢迎下载精品学习资源步骤 2. 取泰勒级数的前两项作为f xf x0 f x0 xx0 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源假设 f x0 0 ，求解方程f xf x0f x0 xx0 0 ，并令其解为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x ，得 xxf x0，这样得到迭代公式x 1xf xn ，经欢迎下载精品学习资源110f x0 nnf xn 欢迎下载精品学习资源过 n 次迭代后，可以求出f x0 的近似解；依据牛顿迭代法，隐含波动率的运算步骤如下：Mar1. 假设其他变量保持不变，认为函数欢迎下载精品学习资源f SNd Ke r T t N d C是隐含波动率的一元函数，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源12其中的CMar是市场上观看到的期权价格；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2. 求函数f 的导数f CST1e2 2d12欢迎下载精品学习资源3. 由迭代公式i 1f i if i 运算波动率，直至f i 欢迎下载精品学习资源（ 是期望达到的精度） ；此外，为了运算隐含波动率，经济学家和理财专家曾做过种种努力试图查找一个运算波动率的公式；如Brenner 和Subrahmanyam 于 1988 年， Chance 于 1993 年分别提出运算隐含波动率的公式，虽