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1、何为高观点下的数学教学 所谓高观点一般指用高等数学的观点、原理和方法，理解和解决中学数学问题。我们认为，只要处理问题所用观点、原理更具一般意义、认识更深刻、方法更简单，思想上高屋建瓴，理解起来更容易，就应该算是高观点。 高观点下的数学教学，应当更加关注数学教学内容的实质，变换数学知识的理解角度和表征方式，优化教材在课堂上的呈现方式，将数学的变化和教学的组织形式有机结合起来，创新更具实质意义的课堂教学模式。也就是说，应当更加重视对数学知识的整体把握，更重视数学思想，倡导知识本体，倡导教育数学，反对离开数学谈教学。 具体而言，教学中应更加重视对数学问题的定性把握，更加注重对问题的统一性、不变性、一
2、般性等的研究。反对技巧的堆砌，淡化具体的解题技巧。高观点下的数学教学.doc案案例：例：17.1.2 17.1.2 反比例函数的图象反比例函数的图象和性质和性质(1).ppt(1).ppt 目标？重点？难点？关键？如何把握？目标？重点？难点？关键？如何把握？ 画图像画图像如何列表？如何描点？如何连线？只在ppt上演示行吗？ 其他其他函数性质；几何画板反比例函数.gsp引入方式；xy=k；什么样的图像是双曲线？反比例函数的图像是一种特殊的双曲线（形状、位置）看看谁是双曲线几何画板是否双曲线1.gsp案例案例: :根与系数的关系根与系数的关系T:T:先让学生比赛解方程，再先让学生比赛解方程，再呈现
3、右表，要求学生仔细观呈现右表，要求学生仔细观察后提问：察后提问： 根与系数有何关系？根与系数有何关系？意外意外: :S S1 1: :什么叫关系？什么叫关系？（T T：这里指数量上的大小关系）：这里指数量上的大小关系）S S2 2: : 没关系！没关系！S S3 3: :求根公式就是根与系数的求根公式就是根与系数的关系！关系！（T T：是的：是的还有什么关系？）还有什么关系？）方程x1x2X2-5x+6=023X2+5x+6=0-2-3X2+5x-6=01-6X2-5x-6=0-16X2+x-6=02-3X2-x-6=0-23X2-7x+6=016X2+7x+6=0-1-6案例案例1 1：根与
4、系数的关系：根与系数的关系T:T:不妨算算两根之不妨算算两根之和、两根之积！和、两根之积！ S S4 4: :为什么要为什么要算和与积，而算和与积，而不算差与商呢？不算差与商呢？T:T:和与积具有交换和与积具有交换律，和与积的计算律，和与积的计算结果与系数具有较结果与系数具有较基本、简明、优美基本、简明、优美的关系。的关系。 S S5 5: :直接用求直接用求根公式即可。根公式即可。方程x1x2x1 x2x1 +x2X2-5x+6=023X2+5x+6=0-2-3X2+5x-6=01-6X2-5x-6=0-16X2+x-6=02-3X2-x-6=0-23X2-7x+6=016X2+7x+6=0
5、-1-6方程方程x1x2x1 x2x1 +x2X2-5/2x+1=0X2-5/2x-3/2=0X2-7/6x-1/2=0X2+7/3x+2/3=0方程方程x1x2x1 x2x1 +x22X2-5x+2=02X2-5x-3=06X2-7x-3=03X2+7x+2=0另两张表胎死腹中另两张表胎死腹中讨论讨论 1.该教学设计的优缺点。 2.学生为什么会提出不同的想法？ 3.根本问题出在哪里？ 4.探讨一下定理教学。 5.谈谈“我”对本节课的设计。根与系数关系的一种教学设计根与系数关系的一种教学设计 1.1.我们一起来玩个游戏：我们一起来玩个游戏： 大家自编一个二次项系数为大家自编一个二次项系数为1
6、1的一元二次方程，的一元二次方程，不要告诉任何人。不要告诉任何人。解出你的方程，再把你的解告诉解出你的方程，再把你的解告诉我。我马上就可以写出你的方程。信不信？谁先来我。我马上就可以写出你的方程。信不信？谁先来试一下？试一下？ 2.2.好！现在我们再放宽一下条件：系数不受限制。好！现在我们再放宽一下条件：系数不受限制。我一定可以写出一个和你的方程同解的一元二次方我一定可以写出一个和你的方程同解的一元二次方程！并且你若再告诉我程！并且你若再告诉我二次项系数二次项系数，我就可以完全，我就可以完全确定你的方程。信不信？再来试试！确定你的方程。信不信？再来试试！ 根与系数关系的一种教学设计根与系数关系
7、的一种教学设计 3.3.这不是魔术，没有搞鬼，没有欺骗。大这不是魔术，没有搞鬼，没有欺骗。大家认真想一想，谁来告诉我谜底？家认真想一想，谁来告诉我谜底？ （系数决定方程的根，反过来呢？）（系数决定方程的根，反过来呢？） （探究过程略）（探究过程略） 4.（结果出来后）（结果出来后）好！大家再来玩玩本节课好！大家再来玩玩本节课开头的游戏。同桌之间，一个说出二次项开头的游戏。同桌之间，一个说出二次项系数及两根，另一个尽快写出方程，二人系数及两根，另一个尽快写出方程，二人共同验证。共同验证。韦达定理、判别式、求根公式、配方法韦达定理、判别式、求根公式、配方法 韦达定理是代数基本定理的直接结果。韦达定
8、理是代数基本定理的直接结果。 配方法是解决二次问题的基本方法。判别配方法是解决二次问题的基本方法。判别式、求根公式都是配方的结果。式、求根公式都是配方的结果。 判别式相当于一个完全平方式。判别式相当于一个完全平方式。 （判别式非负（判别式非负是是一元二次方程有实根一元二次方程有实根的的必要条件）必要条件） 先用韦达定理构造一元二次方程，再用判先用韦达定理构造一元二次方程，再用判别式得到不等式，实质上相当于二数差的别式得到不等式，实质上相当于二数差的平方非负，亦即相当于用基本不等式。平方非负，亦即相当于用基本不等式。汽水瓶问题汽水瓶问题 若每若每3 3个空汽水瓶能换来个空汽水瓶能换来1 1瓶汽水
9、，几名同学瓶汽水，几名同学买了买了1010瓶汽水，他们最多可喝到多少瓶汽水？瓶汽水，他们最多可喝到多少瓶汽水？若要喝若要喝3030瓶汽水，只需买多少瓶即可？瓶汽水，只需买多少瓶即可？ 若每若每5 5个空汽水瓶能换来个空汽水瓶能换来2 2瓶汽水，几名同学瓶汽水，几名同学买了买了1212瓶汽水，他们最多可喝到多少瓶汽水？瓶汽水，他们最多可喝到多少瓶汽水？若要喝若要喝3030瓶汽水，只需买多少瓶即可？瓶汽水，只需买多少瓶即可？ 若每若每m m个空汽水瓶能换来个空汽水瓶能换来n n瓶汽水，几名同学瓶汽水，几名同学买了买了p p瓶汽水，他们最多可喝到多少瓶汽水？瓶汽水，他们最多可喝到多少瓶汽水？若要喝若
10、要喝q q瓶汽水，只需买多少瓶即可？瓶汽水，只需买多少瓶即可？几则小学案例汽水瓶问题 看透问题的实质看透问题的实质 高观点不一定要用高等数学知识高观点不一定要用高等数学知识 形式化、符号化（字母化、图形化）、抽象化、一形式化、符号化（字母化、图形化）、抽象化、一般化般化数学化数学化（史宁中：抽象，推理，模型）（史宁中：抽象，推理，模型） 转化与化归转化与化归 类比（为迁移而教）类比（为迁移而教） 思想方法思想方法往往比知识更重要（联想往往比知识更重要（联想 “ “7 7桥问题桥问题” ” ） 从算术到代数从算术到代数气死鲁班（现代小木匠可以轻松气死鲁班（现代小木匠可以轻松地干鲁班的高难度技术活
11、）地干鲁班的高难度技术活）几个小问题1以下两图中各有多少对同位角？ （1） （2）2.比地球赤道长1米的铁丝圈套在地球上，空隙约有多大？比乒乓球周长（即过球心的截面圆的周长）长1米的铁丝圈套在乒乓球上呢？哪个空隙大一些？ （空隙指同心圆的半径差）3.求证：33.5；4.让所有棱长都相等的一个正四棱锥与一个正四面体的一个面完全重合，则所得几何体有几个面？几何画板正四面体与正四棱锥.gsp几个小问题5.5.判断正误：判断正误：（1 1） （2 2） （3 3） 6.6.平面内有四个点，两两相连后得平面内有四个点，两两相连后得6 6条线段，欲使这条线段，欲使这6 6条线条线段的长度只取两个值，如正方
12、形，你还能画出多少个段的长度只取两个值，如正方形，你还能画出多少个具有这种独特性质的其他不同图形？具有这种独特性质的其他不同图形？几何画板几何画板44点点6 6线段线段2 2长度长度.gsp.gsp7 7如图如图 ，试从某一点出发，一笔画出四条线段，试从某一点出发，一笔画出四条线段，经过所有的点。经过所有的点。 8.8.等周定理等周定理的证明。的证明。 ;19.0;19.019.0几个小问题9.红墨水800ml置于甲烧杯中，蓝墨水400ml置于乙烧杯中，用一只容积为50ml的小烧杯，从 甲杯中盛满一小烧杯红墨水倒入乙杯中，这时， （1）当乙杯中红墨水、蓝墨水混合均匀后，仍用这个小烧杯，盛满50
13、ml混合液，倒入甲杯中； （2）未等乙杯中红、蓝墨水混合均匀，即用小烧杯，从乙杯中，盛满50ml液体，倒入甲杯中。问：分别在这两种情况下，最后甲杯中混入的蓝墨水多，还是乙杯中混入的红墨水多？ 一张奇特的数表 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 2 3 6 7 10 11 14 15 18 19 22 23 26 27 30 31 4 5 6 7 12 13 14 15 20 21 22 23 28 29 30 31 8 9 10 11 12 13 14 15 24 25 26 27 28 29 30 3116 17 18 19 20 21 22
14、 23 24 25 26 27 28 29 30 31 鸡兔同笼问题的原始解法 今有鸡、兔共33只，共剁腿80条。问鸡兔各有几只？ 列表： 鸡数 兔 数 腿数 33 0 66 32 1 68 31 2 70 0 33 132需要全部列出来吗？需要列多少行？能看出规律吗？单腿鸡、双脚兔的巧妙解法，所有学生都能理解吗？牛吃草问题小学生真的能理解吗？ 有A、B、C三块草地。大小分别为4亩、 8亩、10亩，草的质量、厚度、长势完全相同。 A草地可供12头牛吃6周， B草地可供20头牛吃12周， C草地可供25头牛吃几周？ 几个假设：1.每亩地每天的长草量相同。 2.每头牛每天的吃草量相同。3.“供x头
15、牛吃y周” 是指将这块地的老草并新草全部吃完。 农村孩子做这类题并不比城市孩子容易。 还有每天均匀减少的问题，学生也颇感困难。统计与概率领域“公说公有理，婆说婆有理公说公有理，婆说婆有理” 仔细观察下面的表格，然后画出合适的图形，仔细观察下面的表格，然后画出合适的图形，并作出合理的解释。并作出合理的解释。19901990年年19911991年年19921992年年备注备注股东红利股东红利5 5万万7 75 5万万1010万万5 5个股东个股东工资总额工资总额1010万万12125 5万万1515万万100100名工人名工人“公说公有理，婆说婆有理公说公有理，婆说婆有理”355.113结论结论1
16、:1:增长幅度相同,公平合理 结论结论2:2:工资涨幅太低结论结论3:3:工资太低，涨幅也低股东股东红利红利5 5万万7 75 5万万1010万万5 5个股东个股东工资工资总额总额1010万万12125 5万万1515万万100100名工人名工人统计学中的案例与问题 男人坏还是女人坏？ “甜+甜”与“淡+淡”（及格率、录取率、药效）； 如何调查在超市中偷拿货物者所占比例？图表中的花招图表中的花招为什么要学统计？ 学会用数据说话 收集数据，从数据中获取信息 各种图表或统计量旨在准确反映信息这是关键！（怎样绘图、怎样计算并非最重要的） 作为未来主人的中学生，必须具有统计的意识与思想！概率教学问题
17、玩过赌钱游戏吗？三张卡片游戏；高尔顿钉板游戏 怎么理解中彩票的概率？ 如何理解“掷100次硬币50次正面朝上”的概率？ 三门游戏（山羊还是汽车？）为什么选这个题目1关于高效课堂的讨论关于高效课堂的讨论 什么是高效课堂？ 高效课堂应具备哪些基本特征？ 如何落实？ 如何评价？ 从哪个角度来认识？为什么选这个题目2对教育和教学的基本认识对教育和教学的基本认识 教育不是万能的！教育会改变人，但这种改变很有限，基本不会改变智力差异。 教育就是激励激励与唤醒唤醒激励雄心壮志，唤醒动力。激发潜能和兴趣；唤醒求知欲望和探索精神！激励追求真善美，唤醒良知和爱心！ 教育最直接的成果往往是良好习惯的养成和思想认识、
18、思维方式的改变 教学重要的是教学生学会学习，学会做人，学会做事，学会思考魔鬼正点醉人.doc为什么选这个题目3对数学教育和数学教学的基本认识对数学教育和数学教学的基本认识 数学课重要不仅仅是因为数学对人类作用重大数学课重要不仅仅是因为数学对人类作用重大!也不仅仅也不仅仅是因为数学在各类考试中所占分值较大！是因为数学在各类考试中所占分值较大！ 数学对普通人到底有多大用处？除了分数、文凭，数学还数学对普通人到底有多大用处？除了分数、文凭，数学还有什么用？有什么用？ 有没有人人必须学习的数学？有没有人人必须学习的数学？应当承认，有不适合学习数学的学生！ 没有数学感觉的人坐在数学课堂上是挥霍与浪费，数
19、学天没有数学感觉的人坐在数学课堂上是挥霍与浪费，数学天赋超常的人也是赋超常的人也是。天赋是物质条件。不应该无视这一物质基础。 中小学开设数学课最根本的目的是什么？中小学开设数学课最根本的目的是什么？（6+3+3=12年的数学课，旨在给学生什么东西？）为什么选这个题目 教育的问题非教育界所能解决。教育的问题非教育界所能解决。 任何民族都不缺乏聪明人，也不缺乏天才。 个人机遇、社会体制、传统文化等制约着天才的成就。 中国人缺乏的不是聪明和才气，而是好奇心以好奇心以及对科学真理的追求，缺乏的是理性精神与科及对科学真理的追求，缺乏的是理性精神与科学思想！学思想！ 中国没有科学的土壤，中国不会诞生伽利略
20、、布鲁诺、达尔文、牛顿。不妨和德国人对比一下：食品、医疗、厂矿设备、产品质量、处事方式为什么选这个题目4对教学改革的基本认识对教学改革的基本认识 数学在学生心中的形象数学在学生心中的形象丑八怪丑八怪+恐怖分子恐怖分子 改革是唯一出路改革是唯一出路不改革死路一条。不改革死路一条。 改革的方法不唯一改革的方法不唯一有许多选择。有许多选择。 改革的难度很大改革的难度很大超乎想象。超乎想象。 一条定律如果管理者提出两条要求，并对结果给予严厉的奖惩，当一种要求难以给出严格的判别，而另一种要求可以给出明确的界定，则前者将必定受到完全的忽视。 改革的道路很漫长改革的道路很漫长相当长，直至永远。相当长，直至永
21、远。 考试与教改本无矛盾考试与教改本无矛盾问题在于社会体制与传问题在于社会体制与传统文化！统一考试终究会取消统文化！统一考试终究会取消为什么选这个题目 数学、数学课程以及数学教学中总有一些不会与时数学、数学课程以及数学教学中总有一些不会与时俱进的永恒的东西，这些永恒的东西才是最本质的，俱进的永恒的东西，这些永恒的东西才是最本质的，也是数学教育所应该永远追求的。也是数学教育所应该永远追求的。 只有认识到这一点，你才有可能较好地把握你的教只有认识到这一点，你才有可能较好地把握你的教学，才会冷静面对各种矛盾。否则只能学，才会冷静面对各种矛盾。否则只能毁毁人不倦人不倦 有良心的教师不能光想考试！考试只
22、是副产品！有良心的教师不能光想考试！考试只是副产品！ 名师之名，不在名，而在名师之名，不在名，而在明明！明什么？明明德！明！明什么？明明德！明师道！师道！把握自己的教学 不同的老师教的是不一样的数学 高观点下才能把握好自己的教学，把握好教学才能走出应试教育的泥沼 一流的数学教学应当是散文式的教散文式的教学学形散而神不散形散而神不散 顾泠沅：我有两句话，第一句：教师事关重大；第二句：改革最终发生在课堂上，这个课堂既是教学的小课堂，也是整个社会的大课堂。教育信条教育信条王尚志 认真一点，结果就会好一些认真一点，结果就会好一些 过程好了，结果不会差过程好了，结果不会差 学生主动了结果会更好学生主动了结果会更好 认准了方向的事就要坚持认准了方向的事就要坚持一道作业题一道作业题 请就以下两件熟悉的事情写一篇文章：请就以下两件熟悉的事情写一篇文章： 1.华罗庚在剑桥大学做访问学者，哈代要求他两年时间拿一个博士学位，被他婉拒。理由是，他顾不得读博士，他要看更多的书。结果他成了新中国最伟大的数学家，至今无人能够超越。 2.比尔盖茨来不及读完哈佛大学的本科，便忙着创业去了，结果，他很快成为全球首富，他的微软公司至今仍在领跑世界！ 字数、题材不限，交作业时间、方式不限字数、题材不限，交作业时间、方式不限欢迎指正欢迎指正