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1、北师大版教材 （必修 1 必修 5 及选修 2-1）常用公式及知识点记忆检测（必修1必 修5 及选 修2 - 1 ）目录必修 13 必修 27 必修 310 必修 413 必修 518 选秀 2-1 22 后记28 必修 1 集合1. 集合的基本运算；2. .集合的包含关系:；3. 识记重要结论：ABAAB;ABAAB; UUUABCCAC B;UUUABCCAC B4对常用集合的元素的认识2340Ax xx中的元素是方程2340 xx的解，A即方程的解集；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 30 页260Bx xx中的元素
2、是不等式260 xx的解，B即不等式的解集；221,05Cy yxxx中的元素是函数221,05yxxx的函数值，C即函数的值域；22log21Dx yxx中的元素是函数22log21yxx的自变量，D即函数的定义域；,23Mx yyx中的元素可看成是关于, x y的方程的解集，也可看成以方程23yx的解为坐标的点，M为点的集合，是一条直线。5. 集合12,na aa的子集个数共有2n个；真子集有2n1 个；非空子集有2n1 个；非空的真子集有2n2 个. 6. 方程0)(xf在),(21kk上有且只有一个实根, 与0)()(21kfkf不等价 , 前者是后者的一个必要而不是充分条件. 特别地
3、 , 方程)0(02acbxax有且只有一个实根在),(21kk内 , 等价于0)()(21kfkf, 或0)(1kf且22211kkabk, 或0)(2kf且22122kabkk. 7. 闭区间上的二次函数的最值问题：二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在abx2处及区间的两 端 点 处 取 得 ， 具 体 如 下 ： (1)当a0时 ， 若qpabx,2， 则m i nma x()() ,()m a x() ,()2bfxffxfpfqa；qpabx,2，max( )max( ),( )f xf pf q，min( )min( ),( )f xf pf q. (2
4、) 当 a0 和 x0 和 x0)或向右 (0)或向下 (b1 输出 y 结束N 输入 y Y y=4x x1 N Y 图开始s=0 i=2 s=s+i2 i=i+2 i=100 输出 s 结束是否图开始S1=0,i=1 11ssii=4 输出 S 结束是否图输入14,xxS1=S1+xii=i+1 开始S=0,k=1 11ssk kk 0 时，有22xaxaaxa；22xaxaxa或xa5. 理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：| |abab，,a bR；6. 0AxByC或0( 其中 A、B不同时为 0). 所表示的平面区域设直线:0lAxByC，则0AxB
5、yC或0所表示的平面区域是：若0C, 则用原点0,0O试，结果适合不等式，表示原点所在的平面区域就是。否则， 边界的另一区域才是；若0C，则用点1,0或者0,1试，方法同上。选修 2-1 常用逻辑用语1. 真值表（表1）非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大射线小线段-3 -1 1 5 - - - 同真为真同假为假真假相对2.常见结论的否定形式（见表2）是 0， （0，1） 、 （1，0）试非 0， （0、0）试精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
6、23 页，共 30 页12. 四种命题的相互关系如下图所示13. 充要条件（1）若pq，则说p是q的充分条件，同时q是p的必要条件（2）充要条件：若pq，且qp，则p是q的充要条件 . 另外： 如果条件最终都可化为数字范围，则可转化为集合的包含关系来刻画，二者逻辑关系一目了然。设Ax p x，Bx q x，若A B，则p是q的充分不必要条件；若BA, 则p是q的必要不充分条件；若AB，则p是q的充要条件。空间向量与立体几何1. 空间向量的直角坐标运算律（1）若123(,)aa aa，123(,)bb b b，112233/,()abab ab abR；00212121zzyyxxbaba。大于
7、不大于至少有n个至多有（1n）个小于不小于至多有n个至少有（1n）个对所有x，成立存在某x， 不成立p或qp且q对任何x，不成立存在某x，成立p且qp或q原命题“pq若 则”逆命题“qp若 则”否命题“pq若则”逆否命题“qp若则”互逆互逆互否互否为互逆否互为逆否一个命题一种形式两样说法交换位置同时否定小充分大必要等充要精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 30 页DClABlPOA夹角：1 12233222222123123cos| |a ba ba ba ba babaaabbb( 规定：ba,0)模长公式：222123
8、|aa aaaa，222123|bb bbbb2. 若111(,)A x y z，222(,)B xyz，如下图，则212121(,)ABxx yy zz. 3. 直线的方向向量：我们把直线l 上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l 的方向向量 . 4. 平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面则称这个向量垂直于平面，记作n，如果n，那么向量n叫做平面 的法向量。5. 用向量描述空间线面关系：设空间两条直线21,ll的方向向量分别为21, ee， 两个平面21,的法向量分别为21,nn，则由如下结论空间线面关系平行垂直1l与2l21/ ee21ee1l与111ne11/ ne1
9、与221/ nn21nn6. 法向量在求面面角中的应用：原理：一个二面角的平面角1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角2相等或互补。7. 法向量在求线面角中的应用：原理：设平面的斜线l与平面所的角为1，斜线l与平面的法向量所成角2，则1与2互余或与2的补角互余。8. 利用向量求二面角的大小。方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）如图：二面角-l- 的大小为，A，Bl，AC ，BD, ACl，BDl则= 方法二： 先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角。如右图：已知二面角-l
10、- ，在 内取一点P，ykiB(b1,b2,b3)A(a1,a2,a3)Ojxza3a2a1PAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 30 页过 P作 PO ，及 PAl, 连AO，则AO l成立，PAO就是二面角的平面角用向量可求出 |PA| 及|PO| ，然后解三角形PAO 求出PAO。方法三：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的补角。如右图 P为二面角 -l- 内一点， 作 PA， PB，则APB与二面角的平面角互补。圆 锥曲线与方程1. 椭圆定义：120212MFMFa 2a | F F |（）；2221111
11、F BOFOB（即222cba，注意11Rt FOB）设P是椭圆上任意一点，且12F PF，则有22212122cos2PFPFPFPFc. 下表是椭圆的标准方程及几何性质。标准方程22221(0)xyabab22221(0)xyabba图形范围|x| a,|y| b |x| b,|y| a 对称性关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称顶点坐标0,0ba、，00ba， 、 ，焦点坐标0c，0c，半长轴长半轴椭长为a，短半轴长为bx y F1 F2 O A1 A2B2B1 F1 F2 y x O B1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
12、第 26 页，共 30 页（ 1 ） 椭 圆22221(0)xyabab焦 半 径 公 式 ：21()aPFexcae x，)(22xcaePFaex；（2）椭圆的的内外部：点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab；点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab；椭圆22221(0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bC. 焦距焦距为2cabc、 、关系222abc离心率cea22211bbeoreaa分母较大者的分子是谁，焦点就在谁轴上精选学习资料 - - - - - - - - - 名
13、师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 30 页2. 双曲线定义：1212MF |-| MF= 2a 2a| F F |0， 222111 1AOO BAB（即222cba，注意11Rt AOB，其中11AB、为同一象限内的实顶点、虚顶点，O为坐标原点。 ）设M是双曲线上任意一点，且12F MF，则有22212122cos2MFMFMFMFc设P是双曲线上任意一点，有122PFPFa（当且仅当点P落在顶点时取到等号。 ）下表是其标准方程及几何意义。 (1)双曲 线22221(0,0)xyabab的 焦 半 径 公 式：21| ()|aPFe xc，22| ()|aPFexc;
14、标准方程22221(0)xyabab、22221(0)yxabab、图形范围xa或者xaya或者ya对称性关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称顶点坐标0a，0a，焦点坐标0c，0c，半长轴实半轴长为a，虚半轴长为b焦距焦距为2cabc、 、关系222acb离心率cea22211bbeoreaa渐近线byxaayxb平方项为正者的分子是谁，焦点就在谁轴上xyF2F1MyxoF2F1M精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 30 页(2) 双曲线的内外部：点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部22
15、00221xyab；点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab; 双曲线22221(0,0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc. 3. 抛物线022ppxy的焦点弦（过焦点的弦）为AB，1122,A x yB xy，则有如下结论：焦半径公式：12pAFx；焦点弦长pxxpxpxAB212122；通径长为2 p；212y yp，2124px x. 抛物线的内外部：点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的内部22(0)ypx p；点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的外部22(0)ypx p；抛物线
16、pxy220p上的动点可设为P),2(2ypy，可简化计算。 抛物线的切线方程：抛物线pxy22上一点00(,)P xy处的切线方程是00()y yp xx；抛物线22(0)ypx p与直线0AxByC相切的条件是22pBAC. . 抛物线：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点轨迹。下表是其标准方程及图形方程焦点准线图形22ypx0pF,02p2pxOFxy220ypx pF,02p2pxOFxy四 大 方 程 四条规律： 一 次 项 是啥， 对称轴是啥轴；一次项系数的正负，代表开口方向的上下或右左； 焦点坐标一个是 0， 另一非0 ， 且 刚 好 是一次项系数的14； 准线方程的数值刚
17、好是焦点的非0 坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 30 页22xpy0pF0,2p2pyOFyx220 xpy pF0,2p2pyOFyx4. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()ABxxyy或2222112(1)()1|ABkxxkxx22121212211()41|kxxx xyyk（弦端点A),(),(2211yxByx，由方程0)y,x(Fbkxy消去y 得到02cbxax，0,k为直线的斜率）; 中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为221AxBy；处理椭圆、 双曲线、 抛物线的弦中
18、点问题常用代点相减法，设 A),(),(2211yxByx为椭圆22221(0)xyabab上不同两点，00,Mxx是AB中点，则22ABOMbkka；对于双曲线22221(0)xyabab、，类似可得：22ABOMbkka；对于抛物线22ypx0p有122ABpkyy. 5. 圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线( , )0F x y关于点00(,)P xy成中心对称的曲线是00(2- ,2)0Fx xyy. （2 ）曲 线(,)0Fxy关于 直线0AxByC成轴对 称的曲 线是22222 ()2 ()(,)0A AxByCB AxByCF xyABAB（其中这里的,x y跟,0F x y的相同）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 30 页