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1、优秀学习资料欢迎下载第六章静电场中的导体与电介质6 1将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体 B 的电势将（）（A） 升高（B） 降低（C） 不会发生变化（ D） 无法确定分析与解不带电的导体 B 相对无穷远处为零电势。由于带正电的带电体A移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A）。6 2将一带负电的物体M靠近一不带电的导体N，在 N 的左端感应出正电荷， 右端感应出负电荷。若将导体 N 的左端接地 （如图所示） ，则（）（A） N上的负电荷入地（ B）N上的正电荷入地（C） N上的
2、所有电荷入地（ D）N上所有的感应电荷入地分析与解导体 N 接地表明导体N 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体 N在哪一端接地无关。因而正确答案为（A）。6 3如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d，参见附图。设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（）（A）dqVE04, 0（B）dqVdqE0204,4（C）0,0 VE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载（D）RqVdqE0204,4分析与解达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零
3、。点电荷q 在导体球表面感应等量异号的感应电荷q，导体球表面的感应电荷q 在球心O点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势。因而正确答案为（ A）。6 4根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和。下列推论正确的是( ) （A） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷（B） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零（C） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷（D） 介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关（E）
4、介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关分析与解电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关。因而正确答案为 （E）。6 5对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是（）（A） 电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/ 倍（B） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/ 倍精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 31 页优秀
5、学习资料欢迎下载（C） 在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/ 倍（D） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的倍分析与解电介质中的电场由自由电荷激发的电场与极化电荷激发的电场迭加而成， 由于极化电荷可能会改变电场中导体表面自由电荷的分布，由电介质中的高斯定理， 仅当电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，在电介质中任意高斯面S 有iiSSq001dd1SESE即E E/ ，因而正确答案为（A）。6 6不带电的导体球A 含有两个球形空腔，两空腔中心分别有一点电荷qb、qc，导体球外距导体球较远的r 处还有一个点电荷qd（如图所示）
6、。试求点电荷 qb、qc、qd 各受多大的电场力。分析与解根据导体静电平衡时电荷分布的规律，空腔内点电荷的电场线终止于空腔内表面感应电荷；导体球A 外表面的感应电荷近似均匀分布，因而近似可看作均匀带电球对点电荷qd的作用力。204rqqqFdcbd点电荷 qd与导体球 A 外表面感应电荷在球形空腔内激发的电场为零，点电荷qb、qc处于球形空腔的中心，空腔内表面感应电荷均匀分布，点电荷 qb、qc受到的作用力为零. 6 7一真空二极管，其主要构件是一个半径R5.0104m 的圆柱形阴极和一个套在阴极外，半径R4.5 103m 的同轴圆筒形阳极阳极电精选学习资料 - - - - - - - - -
7、 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载势比阴极电势高300V，阴极与阳极的长度均为L 2.5 10m假设电子从阴极射出时的速度为零求：（）该电子到达阳极时所具有的动能和速率；（）电子刚从阳极射出时所受的力分析（1） 由于半径 R L，因此可将电极视作无限长圆柱面，阴极和阳极之间的电场具有轴对称性从阴极射出的电子在电场力作用下从静止开始加速，电子所获得的动能等于电场力所作的功，也即等于电子势能的减少由此，可求得电子到达阳极时的动能和速率（2） 计算阳极表面附近的电场强度，由 F qE 求出电子在阴极表面所受的电场力解（1） 电子到达阳极时，势能的减
8、少量为J108. 417eVEep由于电子的初始速度为零，故J108 .417epekekEEE因此电子到达阳极的速率为1-7sm1003.122meVmEekv（2） 两极间的电场强度为rreE02两极间的电势差精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载1200ln22d21RRerVRRrE负号表示阳极电势高于阴极电势阴极表面电场强度rrRRRVReeE12110ln2电子在阴极表面受力N1037.414reeEF这个力尽管很小，但作用在质量为.1 103kg 的电子上，电子获得的加速度可达重力加速
9、度的5 105倍6 8一导体球半径为R，外罩一半径为R2的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q，而内球的电势为V求此系统的电势和电场的分布分析若2004RQV，内球电势等于外球壳的电势，则外球壳内必定为等势体，电场强度处处为零，内球不带电若2004RQV，内球电势不等于外球壳电势，则外球壳内电场强度不为零，内球带电一般情况下，假设内导体球带电q，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布并由ppVlE d或电势叠加求出电势的分布最后将电场强度和电势用已知量 V0、Q、R、R2表示解根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称取同心球面为高斯面，由高斯定
10、理02/4dqrErrESE，根据不同半径的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载高斯面内的电荷分布，解得各区域内的电场分布为r R时，01rERrR2时，2024rqrErR2时，2024rqQrE由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布r R时，2010321144dddd2211RQRqVRRRRrrlElElElERrR2时，20032244ddd22RQrqVRRrrlElElErR2时，rQqVr034dlE3也可以从球面电势的叠加求电势的分布在导体球内（r R）20101
11、44RQRqV在导体球和球壳之间（RrR2）200244RQrqV在球壳外（ r R2）rQqV034由题意10200144RQRqVV得10200144RQRqVV代入电场、电势的分布得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载r R时，01E；01VVRrR2时，220120124rRQRrVRE；rRQRrrVRV2010124)(rR2时，2201220134)(rRQRRrVRE；rRQRRrVRV20120134)(6 9在一半径为 R6.0 cm 的金属球 A 外面套有一个同心的金属球壳B
12、已知球壳 B 的内、 外半径分别为 R28.0 cm，R310.0 cm设球 A 带有总电荷 QA3.0 10C，球壳 B 带有总电荷 QB2.0 10C （） 求球壳 B 内、外表面上所带的电荷以及球A 和球壳 B 的电势；（ 2） 将球壳B 接地然后断开，再把金属球A 接地，求金属球A 和球壳 B 内、外表面上所带的电荷以及球A 和球壳 B 的电势分析（）根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律，电荷QA均匀分布在球A 表面，球壳 B 内表面带电荷QA，外表面带电荷 QBQA，电荷在导体表面均匀分布图（），由带电球面电势的叠加可求得球 A 和球壳 B 的电势（ 2） 导体接地，表明导
13、体与大地等电势（大地电势通常取为零）球壳B 接地后，外表面的电荷与从大地流入的负电荷中和，球壳内表面带电QA图（）断开球壳B 的接地后，再将球A 接地，此时球 A 的电势为零电势的变化必将引起电荷的重新分布，以保持导体的静电平衡不失一般性可设此时球A 带电 qA，根据静电平衡时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载导体上电荷的分布规律，可知球壳 B 内表面感应qA，外表面带电 qAQA图（ c）此时球 A 的电势可表示为0444302010RQqRqRqVAAAAA由VA0 可解出球 A 所带的电荷
14、 qA，再由带电球面电势的叠加，可求出球A 和球壳 B 的电势解（）由分析可知，球A 的外表面带电3.0 10C，球壳 B 内表面带电 3.0 10C，外表面带电 5.0 10C由电势的叠加， 球A 和球壳 B 的电势分别为V106 .54443302010RQQRQRqVAAAAAV105 .44330RQQVBAB（2） 将球壳 B 接地后断开，再把球A 接地，设球 A 带电 qA，球 A 和球壳B的电势为0444302010RqQRqRqVAAAAA304RqQVAAB解得C1012.2831322121RRRRRRQRRqAA即球 A 外表面带电 2.12 10C，由分析可推得球壳B
15、内表面带电2.12 10C，外表面带电-0.9 10C另外球 A 和球壳 B 的电势分别为0AV27.2910 VBV导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有的静电平衡，导体表面的电荷将重新分布，以建立新的静电平衡6 10两块带电量分别为Q、 Q2的导体平板平行相对放置（如图所示） ，假设导体平板面积为S，两块导体平板间距为d，并且 S d试证明（）相向的两面电荷面密度大小相等符号相反；（2） 相背的两面电荷面密度大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载小相等符号相同分析导体平板间距 d S
16、，忽略边缘效应， 导体板近似可以当作无限大带电平板处理。取如图（）所示的圆柱面为高斯面，高斯面的侧面与电场强度 E 平行，电场强度通量为零；高斯面的两个端面在导体内部，因导体内电场强度为零，因而电场强度通量也为零，由高斯定理0/d0SqSE得0q上式表明处于静电平衡的平行导体板，相对两个面带等量异号电荷再利用叠加原理，导体板上四个带电面在导体内任意一点激发的合电场强度必须为零，因而平行导体板外侧两个面带等量同号电荷证明（）设两块导体平板表面的电荷面密度分别为、2、3、4，取如图（）所示的圆柱面为高斯面，高斯面由侧面S和两个端面 S2、 S3构成，由分析可知0/d0SqSE得0, 03232SS
17、q精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载相向的两面电荷面密度大小相等符号相反（2） 由电场的叠加原理，取水平向右为参考正方向，导体内P点的电场强度为0, 022224104030201相背的两面电荷面密度大小相等符号相同6 11将带电量为 Q 的导体板 A 从远处移至不带电的导体板B 附近，如图（）所示，两导体板几何形状完全相同，面积均为S，移近后两导体板距离为 d（dS）（）忽略边缘效应求两导体板间的电势差；（2） 若将 B 接地，结果又将如何？分析由习题 6 0 可知，导体板达到静电平衡时，相对
18、两个面带等量异号电荷； 相背两个面带等量同号电荷再由电荷守恒可以求出导体各表面的电荷分布，进一步求出电场分布和导体间的电势差导体板 B 接地后电势为零，B 的外侧表面不带电，根据导体板相背两个面带等量同号电荷可知，A 的外侧表面也不再带电，由电荷守恒可以求出导体各表面的电荷分布，进一步求出电场分布和导体间的电势差解（）如图（）所示，依照题意和导体板达到静电平衡时的电荷分布规律可得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载QS21QS43041032解得SQ24321两导体板间电场强度为SQE02；方向
19、为 A 指向 B两导体板间的电势差为SQdUAB02（2） 如图（ c）所示，导体板B 接地后电势为零041SQ32两导体板间电场强度为SQE0；方向为 A 指向 B两导体板间的电势差为SQdUAB06 12如图所示球形金属腔带电量为Q 0，内半径为，外半径为 b，腔内距球心 O 为r 处有一点电荷 q，求球心的电势分析导体球达到静电平衡时，内表面感应电荷q，外表面感应电荷q；内表面感应电荷不均匀分布，外表面感应电荷均匀分布球心O 点的电势由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载点电荷 q、导体表
20、面的感应电荷共同决定在带电面上任意取一电荷元，电荷元在球心产生的电势RqV04dd由于 R 为常量，因而无论球面电荷如何分布，半径为R的带电球面在球心产生的电势为RqRqVs0044d由电势的叠加可以求得球心的电势解导体球内表面感应电荷q，外表面感应电荷q；依照分析， 球心的电势为bQqaqrqV0004446 13在真空中，将半径为R 的金属球接地，与球心O 相距为 r（r R）处放置一点电荷q，不计接地导线上电荷的影响求金属球表面上的感应电荷总量分析金属球为等势体，金属球上任一点的电势V 等于点电荷 q 和金属球表面感应电荷q 在球心激发的电势之和在球面上任意取一电荷元q ，电荷元可以视为
21、点电荷，金属球表面的感应电荷在点O 激发的电势为sRqV04d点O 总电势为VrqV004而接地金属球的电势V00，由此可解出感应电荷q 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载解金属球接地，其球心的电势0d4144d40000ssqRrqRqrqV感应电荷总量qrRqqd6 14地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100 km，试估算地球电离层系统的电容设地球与电离层之间为真空解由于地球半径 R16.37106m；电离层半径 R21.00105m R16.47 106m，根据球形电容器的
22、电容公式，可得F1058.44212210RRRRC6 15两线输电线，其导线半径为3.26 mm，两线中心相距0.50 m，导线位于地面上空很高处，因而大地影响可以忽略求输电线单位长度的电容解由教材第六章6 4 节例 3 可知两输电线的电势差RRdUln0因此，输电线单位长度的电容RdRRdUCln/ln/00代入数据F1052. 512C6 16电容式计算机键盘的每一个键下面连接一小块金属片，金属片与底板上的另一块金属片间保持一定空气间隙，构成一小电容器（如图）。当按下按键时电容发生变化，通过与之相连的电子线路向计算机发出该键相应的代码信号。 假设金属片面积为50.0 mm2，两金属片之间
23、的距离是0.600 mm。如果电路能检测出的电容变化量是0.250 pF，试问按键需要按下多大的距离才能给出必要的信号？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载分析按下按键时两金属片之间的距离变小，电容增大， 由电容的变化量可以求得按键按下的最小距离：解按下按键时电容的变化量为0011ddSC按键按下的最小距离为mm152.000min200minSCdCdddd6 17盖革米勒管可用来测量电离辐射该管的基本结构如图所示，一半径为 R1的长直导线作为一个电极，半径为R2的同轴圆柱筒为另一个电极它们之
24、间充以相对电容率 1 的气体当电离粒子通过气体时，能使其电离若两极间有电势差时，极间有电流，从而可测出电离粒子的数量如以 E1 表示半径为 R1 的长直导线附近的电场强度（1） 求两极间电势差的关系式；（2） 若E1 2.0 106Vm1，R10.30 mm，R220.0 mm，两极间的电势差为多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载分析两极间的电场可以近似认为是无限长同轴带电圆柱体间的电场，由于电荷在圆柱面上均匀分布，电场分布为轴对称由高斯定理不难求得两极间的电场强度， 并利用电场强度与电势
25、差的积分关系21dRRUlE求出两极间的电势差解（1） 由上述分析，利用高斯定理可得LrLE012，则两极间的电场强度rE02导线表面（ r R1）的电场强度1012RE两极间的电势差212112110lnd2dRRRRRRERrrUrE（2） 当6112.0 10 V mE，R10.30 mm， R2 20.0 mm 时，V1052.23U6 18一片二氧化钛晶片，其面积为1.0 cm2，厚度为 0.10 mm把平行精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载平板电容器的两极板紧贴在晶片两侧.（1）
26、求电容器的电容；（2） 当在电容器的两极间加上12 V电压时，极板上的电荷为多少？此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？（3） 求电容器内的电场强度解（1） 查表可知二氧化钛的相对电容率r173，故充满此介质的平板电容器的电容F1053.190dSCr（2） 电容器加上 U 12 V 的电压时，极板上的电荷C1084.18CUQ极板上自由电荷面密度为2-80mC1084.1SQ晶片表面极化电荷密度2-400mC1083. 111r（3） 晶片内的电场强度为1-5mV102 .1dUE6 19如图所示，半径R 0.10 m 的导体球带有电荷Q 1.0 10C，导体外有两层均匀介质，一层介质的r
27、5.0，厚度 d 0.10 m，另一层介质为空气，充满其余空间求：（1） 离球心为 r 5cm、15 cm、25 cm 处的D 和E；（ 2） 离球心为 r 5 cm、15 cm、25 cm 处的 V；（ 3） 极化电荷面密度 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载分析带电球上的自由电荷均匀分布在导体球表面，电介质的极化电荷也均匀分布在介质的球形界面上，因而介质中的电场是球对称分布的任取同心球面为高斯面，电位移矢量D 的通量与自由电荷分布有关，因此，在高斯面上 D 呈均匀对称分布，由高斯定理0dq
28、SD可得 D（r）再由r0/DE可得 E（r）介质内电势的分布，可由电势和电场强度的积分关系rVlEd求得， 或者由电势叠加原理求得极化电荷分布在均匀介质的表面，其极化电荷面密度ap解（1） 取半径为 r 的同心球面为高斯面，由高斯定理得r R0421rD01D；01ER r R dQrD224精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载224 rQD；2024rQErr R dQrD234234 rQD；2034rQEr将不同的 r 值代入上述关系式，可得r 5 cm、15 cm 和25 cm 时的电
29、位移和电场强度的大小，其方向均沿径向朝外r15 cm，该点在导体球内，则01rD；01rEr215 cm，该点在介质层内，5.0，则2822mC105.342rQDr；12220mV100 .842rQErrr325 cm，该点在空气层内，空气中0，则2823mC103 .143rQDr；12220mV104 .143rQEr（2） 取无穷远处电势为零，由电势与电场强度的积分关系得r325 cm，V3604d0r331rQVrEr215 cm，V480444dd0020r3222dRQdRQrQVrrdRdRrErEr15 cm，V540444dd000321dRQdRQRQVrrdRRdRr
30、ErE（3） 均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的电容率 0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载极化电荷可忽略故在介质外表面；20411dRQEPrrnrn282mC106.141dRQPrrn在介质内表面：20411RQEPrrnrn282mC104.641RQPrrn介质球壳内、 外表面的极化电荷面密度虽然不同，但是两表面极化电荷的总量还是等量异号6 20人体的某些细胞壁两侧带有等量的异号电荷。设某细胞壁厚为5.2 109m，两表面所带面电荷密度为5.2 10 3Cm2，内表面为正
31、电荷如果细胞壁物质的相对电容率为6.0，求（ 1） 细胞壁内的电场强度；（2） 细胞壁两表面间的电势差解（1） 细胞壁内的电场强度V/m108.960rE； 方向指向细胞外（2） 细胞壁两表面间的电势差V101.52EdU6 21 一平板电容器，充电后极板上电荷面密度为0 4.5 10-5C m-2现将两极板与电源断开，然后再把相对电容率为2.0 的电介质插入两极板之间此时电介质中的D、E 和P 各为多少？分析平板电容器极板上自由电荷均匀分布，电场强度和电位移矢量都是常精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 31 页优秀学习资
32、料欢迎下载矢量充电后断开电源，在介质插入前后，导体板上自由电荷保持不变取图所示的圆柱面为高斯面，由介质中的高斯定理可求得电位移矢量D，再根据r0DE，EDF0可求得电场强度E 和电极化强度矢量P解由分析可知，介质中的电位移矢量的大小250mC105. 4SQD介质中的电场强度和极化强度的大小分别为16r0mV105.2DE150mC103.2EDPD、P、E方向相同，均由正极板指向负极板（图中垂直向下）6 22在一半径为 R1的长直导线外，套有氯丁橡胶绝缘护套，护套外半径为 R2，相对电容率为 设沿轴线单位长度上，导线的电荷密度为 试求介质层内的D、E 和 P分析将长直带电导线视作无限长，自由
33、电荷均匀分布在导线表面在绝缘介质层的内、外表面分别出现极化电荷，这些电荷在内外表面呈均匀分布，所以电场是轴对称分布取同轴柱面为高斯面，由介质中的高斯定理可得电精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载位移矢量 D 的分布在介质中0rDE，0PDE，可进一步求得电场强度 E 和电极化强度矢量P 的分布解由介质中的高斯定理，有LrLDd2SD得rreD2在均匀各向同性介质中rrreDE002rrr-eE-DP21106 23如图所示，球形电极浮在相对电容率为r3.0 的油槽中 .球的一半浸没在油中，另一半
34、在空气中.已知电极所带净电荷Q02.0 106C.问球的上、下部分各有多少电荷？分析由于导体球一半浸在油中，电荷在导体球上已不再是均匀分布，电场分布不再呈球对称，因此， 不能简单地由高斯定理求电场和电荷的分布我们可以将导体球理解为两个分别悬浮在油和空气中的半球形孤立电容器，静电平衡时导体球上的电荷分布使导体成为等势体，故可将导体球等效为两个半球电容并联，其相对无限远处的电势均为V，且2211CQCQV（1）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载另外导体球上的电荷总量保持不变，应有021QQQ（2）
35、因而可解得 Q1、Q2解将导体球看作两个分别悬浮在油和空气中的半球形孤立电容器，上半球在空气中，电容为RC012下半球在油中，电容为RCr022由分析中式（1）和式（ 2）可解得C105.0116002111QQCCCQrC105 .116002122QQCCCQrr由于导体球周围部分区域充满介质，球上电荷均匀分布的状态将改变可以证明， 此时介质中的电场强度与真空中的电场强度也不再满足rEE0的关系事实上，只有当电介质均匀充满整个电场，并且自由电荷分布不变时，才满足rEE06 24有两块相距为 0.50 的薄金属板 A、B 构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒内，金属盒上、下两壁与A、B 分别
36、相距 0.25 mm，金属板面积为 30 mm 40 mm。求（ 1） 被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍；（2） 若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载分析薄金属板 A、B 与金属盒一起构成三个电容器，其等效电路图如图（）所示，由于两导体间距离较小，电容器可视为平板电容器，通过分析等效电路图可以求得A、B 间的电容。解（1） 由等效电路图可知13232123CCCCCCCC由于电容器可以视作平板电容器，且32122ddd，故13
37、22CCC，因此 A、 B 间的总电容12CC（2） 若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，相当于C2 （或者 C3 ）极板短接，其电容为零，则总电容13CC6 25在A 点和 B 点之间有 5 个电容器，其连接如图所示（1） 求A、B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载两点之间的等效电容；（ 2） 若A、B 之间的电势差为12 V，求UAC、UCD和UDB解（1） 由电容器的串、并联，6 26有一个空气平板电容器，极板面积为 S，间距为 d现将该电容器接在端电压为 U 的电源上充电，当（1
38、） 充足电后； （2） 然后平行插入一块面积相同、厚度为 （d）、相对电容率为的电介质板；（3） 将上述电介质换为同样大小的导体板分别求电容器的电容C，极板上的电荷Q和极板间的电场强度E分析电源对电容器充电，电容器极板间的电势差等于电源端电压U插入电介质后， 由于介质界面出现极化电荷，极化电荷在介质中激发的电场与原电容器极板上自由电荷激发的电场方向相反，介质内的电场减弱由于极板间的距离 d 不变，因而与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，以维持电势差不变，并有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下
39、载SQdSQUr00相类似的原因， 在平板电容器极板之间，若平行地插入一块导体板，由于极板上的自由电荷和插入导体板上的感应电荷在导体板内激发的电场相互抵消，与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，使间隙中的电场E 增强，以维持两极板间的电势差不变，并有dSQU0解（1） 空气平板电容器的电容dSC00充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为UdSQ00dUE/0（2） 插入电介质后，电容器的电容C1为dSSQdSQQCrrr0001/故有dSUUCQrr011介质内电场强度dUSQErr011空气中电场强度（3） 插入导体达到静电平衡后，导体为等势体， 其电容和极板上的电荷分别为dSC02dU
40、SQErr011精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载UdSQ02导体中电场强度02E空气中电场强度dUE2无论是插入介质还是插入导体，由于电容器的导体极板与电源相连，在维持电势差不变的同时都从电源获得了电荷，自由电荷分布的变化同样使得介质内的电场强度不再等于E0/6 27为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度 （待测材料可视作相对电容率为 的电介质），通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置，其中A，B为平板电容器的导体极板，d0为两极板间的距离试说明检测原理，并推出直接测量量电容C 与间接测量量
41、厚度d 之间的函数关系如果要检测钢板等金属材料的厚度，结果又将如何？分析导体极板 A、B 和待测物体构成一有介质的平板电容器，关于电容C与材料的厚度的关系，可参见题6 26 的分析解由分析可知，该装置的电容为ddSCrr0则介质的厚度为CSdCSCddrrrrrrr1110000如果待测材料是金属导体，其等效电容为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载ddSC00导体材料的厚度CSdd00实时地测量 A、B 间的电容量 C，根据上述关系式就可以间接地测出材料的厚度通常智能化的仪表可以实时地显示出待
42、测材料的厚度6 28利用电容传感器测量油料液面高度其原理如图所示，导体圆管A与储油罐 B 相连， 圆管的内径为 D，管中心同轴插入一根外径为d 的导体棒C，d、D 均远小于管长 L 并且相互绝缘试证明：当导体圆管与导体棒之间接以电压为U 的电源时， 圆管上的电荷与液面高度成正比（油料的相对电容率为 ）分析由于d、D L，导体 A、C 构成圆柱形电容器，可视为一个长 X（X为液面高度）的介质电容器C1和一个长 L X 的空气电容器C2的并联，它们的电容值均随X 而改变因此其等效电容C C1 C2也是 X 的函数由于 Q CU，在电压一定时，电荷Q 仅随 C 而变化，求出 Q 与液面高度 X 的函
43、数关系，即可得证证由分析知，导体A、C 构成一组柱形电容器，它们的电容分别为dDXCrln201精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载dDXLCrln201其总电容XdDXLdDXCCCrrln2ln20021其中dDLln20；dDLrln20UXaUCUQ即导体管上所带电荷Q 与液面高度 X 成正比，油罐与电容器联通两液面等高，测出电荷Q 即可确定油罐的液面高度6 29有一电容为 0.50 F 的平行平板电容器，两极板间被厚度为0.01 mm的聚四氟乙烯薄膜所隔开，（1） 求该电容器的额定电压
44、；（2） 求电容器存贮的最大能量分析通过查表可知聚四氟乙烯的击穿电场强度Eb1. 9 107Vm，电容器中的电场强度EEb， 由此可以求得电容器的最大电势差和电容器存贮的最大能量解（1） 电容器两极板间的电势差V190maxdEUb（2） 电容器存贮的最大能量J1003.92132maxCUWe6 30半径为 0.10 cm 的长直导线，外面套有内半径为1.0 cm 的共轴导体圆筒，导线与圆筒间为空气略去边缘效应，求：（1） 导线表面最大电荷面密度；（2） 沿轴线单位长度的最大电场能量分析如果设长直导线上单位长度所带电荷为， 导线表面附近的电场强度002RE查表可以得知空气的击穿电场强度Eb3
45、.0 106（Vm），只有当空气中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载的电场强度 EEb空气才不会被击穿，由于在导线表面附近电场强度最大，因而可以求出 的极限值再求得电场能量密度，并通过同轴圆柱形体元内电场能量的积分求得单位长度的最大电场强度解（1） 导线表面最大电荷面密度250maxmC1066.2bE显然导线表面最大电荷面密度与导线半径无关（2） 由上述分析得bER10max2，此时导线与圆筒之间各点的电场强度为12102RrRrRrEm0E(其他 ) 22210202121rEREwbmm
46、沿轴线单位长度的最大电场能量rrERrrwWRRbmd1d221221014122210mJ1076.5lnRRERWbm6 31一空气平板电容器，空气层厚1.5 cm，两极间电压为40 k V，该电容器会被击穿吗？现将一厚度为0.30 cm 的玻璃板插入此电容器，并与两极平行，若该玻璃的相对电容率为7.0，击穿电场强度为10 V m1则此时电容器会被击穿吗？分析在未插入玻璃板时， 不难求出空气中的电场强度小于空气的击穿电场强度，电容器不会被击穿插入玻璃后，由习题6 26 可知，若电容器与电源相连， 则极板间的电势差维持不变，电容器将会从电源获取电荷此时空气间隙中的电场强度将会增大若它大于空气
47、的击穿电场强度，则电容器的空气层将首先被击穿此时40 k V 电压全部加在玻璃板两侧，玻璃内的电场强度如也大于玻璃击穿电场强度的值，则玻璃也将被击穿整个电容器被击穿解未插入玻璃时，电容器内的电场强度为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载16mV107 .2/dUE因空气的击穿电场强度16mV100.3bE，bEE，故电容器不会被击穿插入玻璃后，由习题6 26 可知，空气间隙中的电场强度16mV102 .3dVErr此时，因bEE，空气层被击穿，击穿后40 k V 电压全部加在玻璃板两侧，此时玻璃
48、板内的电场强度17mV103.1/VE由于玻璃的击穿电场强度110V mbEM，bEE，故玻璃也将相继被击穿，电容器完全被击穿6 32某介质的相对电容率2.8r，击穿电场强度为6118 10 V m，如果用它来作平板电容器的电介质，要制作电容为 0.047 F ，而耐压为 4.0kV的电容器，它的极板面积至少要多大解介质内电场强度16mV1018bEE电容耐压 Um4.0 k V ，因而电容器极板间最小距离m1022.2/4bmEUd要制作电容为0.047 F 的平板电容器，其极板面积210m42.0CdS显然，这么大的面积平铺开来所占据的空间太大了，通常将平板电容器卷叠成筒状后再封装6 33
49、一平行板空气电容器，极板面积为S，极板间距为 d，充电至带电 Q后与电源断开，然后用外力缓缓地把两极板间距拉开到2d求：（1） 电容器能量的改变； （2） 此过程中外力所作的功，并讨论此过程中的功能转换关系分析在将电容器两极板拉开的过程中，由于导体极板上的电荷保持不变，极板间的电场强度亦不变，但电场所占有的空间增大，系统总的电场能量增精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 31 页优秀学习资料欢迎下载加了根据功能原理， 所增加的能量应该等于拉开过程中外力克服两极板间的静电引力所作的功解（1） 极板间的电场为均匀场，且电场强度保持不变，因此，电场的能量密度为20220221SQEwe在外力作用下极板间距从d 被拉开到 2d，电场占有空间的体积，也由 V 增加到2V，此时电场能量增加SdQVwWee022（2） 两导体极板带等量异号电荷，外力F 将其缓缓拉开时， 应有 F Fe，则外力所作的功为SdQQEd02e2ArF外力克服静电引力所作的功等于静电场能量的增加精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 31 页