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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果第 6 章 真空中的静电场 习题及答案1. 电荷为q 和2q的两个点电荷分别置于x1m和x1m处；一试验电荷置于x轴上何处,它受到的合力等于零？解：依据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以肯定,只有试验电荷 q 位于点电荷 q 的右侧,它受到的合力才可能为 0 ,所以2 qq 0 qq 02 24 0 x 1 4 0 x 1故 x 3 2 22. 电量都是 q 的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点；试问：1 在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平稳 即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都
2、为零 .2 这种平稳与三角形的边长有无关系 . 解： 1 以 A 处点电荷为讨论对象,由力平稳知,q 为负电荷,所以21 q 1 q q24 0 a 2 cos 304 0 3 a 23故 q 3 q32 与三角形边长无关；3. 如下列图, 半径为 R 、电荷线密度为1的一个匀称带电圆环,在其轴线上放一长为l 、电荷线密度为2的匀称带电直线段,该线段的一端处于圆环中心处；求该直线段受到的电场力；解：先求匀称带电圆环在其轴线上产生的场强；在带电圆环上取dqy 1dl, dq 在带x 电圆环轴线上x 处产生的场强大小为R 1dE40dqR22 x2依据电荷分布的对称性知,EyEz0dExdEcos
3、410x2xdq32O l 2 Rz 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 式中：为 dq 到场点的连线与多练出技巧巧思出硕果x 轴负向的夹角；Ex40xxR232dqx2x2x12R1R40x2R23220R232下面求直线段受到的电场力；在直线段上取dq2dx, dq 受到的电场力大小为dFExdq12Rx2x2dx20R32方向沿 x 轴正方向；直线段受到的电场力大小为FdFR12Rlx22x32dx02R20121l211/220RR方向沿 x 轴正方向；4. 一个半径为 R 的匀称带电半圆环,电荷线密度为；求
4、：（1）圆心处 O 点的场强；（2）将此带电半圆环弯成一个整圆后,圆心处 O 点场强；解：（1）在半圆环上取 dq d l Rd,它在 O 点产生场强大小为dE dq2 d,方向沿半径向外4 0 R 4 0 R依据电荷分布的对称性知,E y 0dEx dE sin sin d4 0 REx 0 4 0 R sin d2 0 R故 E E x,方向沿 x 轴正向；2 0 R（2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后,由电荷分布的对称性可知,圆心处电场强度为零；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5如下列图,真空中一长为多练出
5、技巧巧思出硕果q ,试求在直杆延长线上L 的匀称带电细直杆,总电量为距杆的一端距离为d 的 P 点的电场强度；dqdxqdx, dq 在P点产生的场解：建立图示坐标系；在匀称带电细直杆上取L强大小为故dE4dq42dx2,方向沿 x 轴负方向；L q d P O 0x20xP 点场强大小为dLdxx E PdEd40xq40ddL方向沿 x 轴负方向；6. 一半径为R的匀称带电半球面,其电荷面密度为,求球心处电场强度的大小；解：建立图示坐标系；将匀称带电半球面看成很多匀称带电细圆环,应用场强叠加原理求解；在半球面上取宽度为dl 的细圆环,其带电量dqdS2rdlx 2R sind,dq 在 O
6、 点产生场强大小为（参见教材中匀称带电圆环r dl 轴线上的场强公式）dE40xdqr232O R x2,方向沿x轴负方向名师归纳总结 利用几何关系,xRcos,rRsin统一积分变量,得第 3 页,共 10 页dE40xdqr232x2410Rcos22 Rsind3 R20sincosd由于全部的细圆环在在O 点产生的场强方向均沿为x 轴负方向,所以球心处电场强度的大- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果小为EdE200/2sincosd40方向沿 x 轴负方向；7. 一“ 无限大” 平面,中部有一半径为R 的圆孔,设平面上匀称带
7、电,电荷面密度为,如下列图；试求通过小孔中心 O 并与平面垂直的直线上各点的场强；解：应用补偿法和场强叠加原理求解；如把半径为 R 的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成,挖去圆孔的带电平面等效为一个完整的“ 无限大” 带电平面和一个电荷面密度为的半径为 R 的带电圆盘,由场强叠加原理知,P 点的场强等效于“ 无限大” 带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的矢量和；“ 无限大” 带电平面在 P 点产生的场强大小为E 1,方向沿 x 轴正方向2 0半径为 R 、电荷面密度 盘轴线上的场强公式）的圆盘在 P 点产生的场强大小为（参见教材中匀称带电圆故E220 122 Rxx2,方向沿 x 轴负方向R
8、P x P 点的场强大小为E20xx2O x EE 12 R方向沿 x 轴正方向；8. 1 点电荷 q 位于一边长为 a 的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电场强度通量；2 假如该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上,这时穿过立方体各面的电场强度通量是多少 . 解：（1）由高斯定理s E d S q 求解；立方体六个面,当 q 在立方体中心时,每个面0上电通量相等,所以通过各面电通量为名师归纳总结 qq 处于边长2a的立方体中第 4 页,共 10 页e60（2）电荷在顶点时,将立方体延长为边长2a的立方体,使心,就通过边长2 a的正方形各面的电通量eq0q0,假如它包含q
9、所6对于边长 a 的正方形,假如它不包含q 所在的顶点,就e24- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在顶点,就e0；多练出技巧巧思出硕果9. 两个无限大的平行平面都匀称带电,电荷的面密度分别为1和2,试求空间各处场强；1E 12解：如下列图,电荷面密度为1的平面产生的场强大小为E2E21,方向垂直于该平面指向外侧0电荷面密度为2的平面产生的场强大小为E22,方向垂直于该平面指向外侧0由场强叠加原理得两面之间,E E 1 E 2 1 1 2 ,方向垂直于平面对右2 011面左侧,E E 1 E 2 1 2 ,方向垂直于平面对左2 02面右侧,E E 1 E
10、 2 1 1 2 ,方向垂直于平面对右2 010. 如下列图,一球壳体的内外半径分别为 R 和 R ,电荷匀称地分布在壳体内,电荷体密度为（0 ）；试求各区域的电场强度分布；解 ： 电 场 具 有 球 对 称 分 布 , 以 r 为 半 径 作 同 心 球 面 为 高 斯 面 ； 由 高 斯 定 理S Ed S1Eqi得21iq04r0名师归纳总结 当rR 1时,iq0,所以4r34R 13,所以第 5 页,共 10 页当E0R 1rR 2时,qi33Er3R 1330r2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当rR2时,qi4R 23多练出技巧巧思出硕果
11、4R 13,所以33ER 230rR 13R 和R （R2R 1）,如大球面的3211. 有两个匀称带电的同心带电球面,半径分别为面电荷密度为,且大球面外的电场强度为零；求：（1）小球面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场强度；S E解 : （ 1 ）电场具有球对称分布,以 r 为半径作同心球面为高斯面；由高斯定理d S 1 q i 得0E4r21iq0当rR2时,E0,qi42R 2244R 120,所以R 1（R 2 R 12（2）当r时,iq0,所以R 22,所以E0当R 1rR 2时,qi4R 1E（R 2 r20负号表示场强方向沿径向指向球心；12. 一厚度为 d 的无限大的带电
12、平板,平板内匀称带电,其体电荷密度为,求板内外的场强；解：电场分布具有面对称性,取同轴闭合圆柱面为高斯面,圆柱面与平板垂直,设两底面圆到平板中心的距离均为x ,底面圆的面积为S ；由高斯定理S Ed S1q i得S EdSESES01iq00当xd时（平板内部） ,qi2 xS,所以2Ex0名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当xd（平板外部） ,qi多练出技巧巧思出硕果dS,所以2E2d013. 半径为 R 的无限长直圆柱体匀称带电,体电荷密度为,求其场强分布；解：电场分布具有轴对称性,取同轴闭合圆柱面为高斯面,圆
13、柱面高为 l ,底面圆半径为 r ,应用高斯定理求解；1 当rR时,S Ed SE2 rl1q ir2 ,所以0qi2 当rRErR2 ,所以20时,q iER220r14.一半径为 R 的匀称带电圆盘,电荷面密度为 心 O 点的电势；,设无穷远处为电势零点,求圆盘中解：取半径为 r 、 dr 的细圆环dqdS2rdr,就 dq 在 O 点产生的电势为drdV4dqr020圆盘中心 O 点的电势为是VdVR20dr2R0015. 真空中两个半径都为R 的共轴圆环,相距为l ；两圆环匀称带电,电荷线密度分别和；取两环的轴线为x轴,坐标原点 O 离两环中心的距离均为l ,如下列图； 求 2x 轴上
14、任一点的电势；设无穷远处为电势零点；解：在右边带电圆环上取dq ,它在 x 轴上任一点 P 产生的的电势为名师归纳总结 dVdq22 R第 7 页,共 10 页40xl/2 右边带电圆环在P 产生的的电势为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - VdV40多练出技巧R巧思出硕果12dqxl/2 2R2 22 0 x l / 2 R同理,左边带电圆环在 P 产生的电势为RV2 0 x l / 2 2 R 2由电势叠加原理知,P 的电势为V V V2 R0 x l / 12 2 R 2 x l / 12 2R 2 16. 真空中一半径为 R 的球形区域内匀称分布
15、着体电荷密度为 的正电荷,该区域内a 点离球心的距离为 1R, b 点离球心的距离为 2 R；求 a 、 b 两点间的电势差 U ab3 3解：电场分布具有轴对称性,以 O 为球心、作半径为 r 的同心球面为高斯面；由高斯定1理S E d S q i 得0当 r R 时,E 4 r 2 1 4 r 3,所以0 3rE3 0a 、 b 两点间的电势差为U ab bE d r 2 R / 3 r dr R 2a R / 3 3 0 18 017瘦长圆柱形电容器由同轴的内、外圆柱面构成, 其半径分别为 a 和 a 3 ,两圆柱面间为真空；电容器充电后内、外两圆柱面之间的电势差为 U ；求：（1）内圆
16、柱面上单位长度所带的电量；（2）在离轴线距离 r 2 处的电场强度大小；解：（1）电场分布具有轴对称性,取同轴闭合圆柱面为高斯面,圆柱面高为 l ,底面圆半径为 r ,应用高斯定理求解；名师归纳总结 内、外两圆柱面之间,S Ed SE2 rl1q i第 8 页,共 10 页l,所以0qi- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - E20r多练出技巧巧思出硕果内、外两圆柱面之间的电势差为U3 aEd r3a20rdr20ln3aa内圆柱面上单位长度所带的电量为20U2R,ln3（2）将代人场强大小的表达式得,ErU3ln在离轴线距离r2a处的电场强度大小为EU32
17、aln18. 如下列图, 在 A ,B 两点处放有电量分别为+q ,- q 的点电荷, AB 间距离为现将另一正试验点电荷q 从 O 点经过半圆弧移到C 点,求移动过程中电场力作的功；解： O 点的电势为VO4q0R4q00RC 点的电势为VC4q3 R4qR6q0R00电场力作的功为Aq0 V OV Cq oqQ0）,圆环的圆心为6 0R19如下列图,匀称带电的细圆环半径为R ,所带电量为Q （O ,一质量为 m ,带电量为 q （q0）的粒子位于圆环轴线上的P 点处, P 点离 O 点的距离为 d ；求：（1）粒子所受的电场力F 的大小和方向；当粒子运动到无（2）该带电粒子在电场力F 的作
18、用下从 P 点由静止开头沿轴线运动,穷远处时的速度为多大？解：（1）匀称带电的细圆环在 线上的场强公式）P 点处产生的场强大小为（参见教材中匀称带电圆环轴名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - E x410R2多练出技巧巧思出硕果Qd232,方向沿 OP 向右d粒子所受的电场力的大小FqEx40qQdd232,方向沿 OP 向右R2（2）在细圆环上取dq , dq 在 P 点产生的电势为dV4dqdq0r40R2d2P 点的电势为VdV401d2dq2 RQ由动能定理得,A402 Rd220q V01m2qQ名师归纳总结 20mR2d2第 10 页,共 10 页- - - - - - -