《2022年高中数学第二章《直线与平面的位置关系》知识点总结与练习 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学第二章《直线与平面的位置关系》知识点总结与练习 .pdf（32页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习必备欢迎下载第三节空间点、直线、平面间的位置关系知识能否忆起 一、平面的基本性质名称图示文字表示符号表示公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内Al，Bl，且 A ，B ? l? 公理 2过不在一条直线上的三点， 有且只有一个平面公理 3如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ，且 P ? l，且 Pl二、空间直线的位置关系1位置关系的分类共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行3等角定理空间中如果
2、两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4异面直线所成的角(或夹角 ) (1)定义：设 a，b 是两条异面直线， 经过空间中任一点O 作直线 a a，b b， 把 a与 b所成的锐角(或直角 )叫做异面直线a 与 b 所成的角(2)范围：0，2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 32 页学习必备欢迎下载三、直线与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数直线 l 在平面 内l? 无数个直线 l 与平面 相交l A 一个直线 l 与平面 平行l0 个四、平面与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数两个平面平
3、行 0 个两个平面相交 l 无数个 (这些公共点均在交线l 上) 1.三个公理的作用(1)公理1 的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内(2)公理 2 的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件(3)公理 3 的作用：判定两平面相交；作两相交平面的交线；证明多点共线2异面直线的有关问题(1)判定方法：反证法；利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图(2)所成的角的求法：平移法平面的基本性质及应用典题导入精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，
4、共 32 页学习必备欢迎下载例 1(2012 湘潭模拟 )如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中， E 为 AB 的中点， F为 A1A 的中点，求证： CE，D1F，DA 三线共点自主解答 EF 綊12CD1，直线D1F 和 CE 必相交设 D1FCEP， P D1F 且 D1F? 平面 AA1D1D， P平面AA1D1D. 又 P EC 且 CE? 平面 ABCD， P平面ABCD，即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点而平面 ABCD平面 AA1D1DAD. P AD. CE、D1F、DA 三线共点本例条件不变试证明E，C，D1，F 四点共面证明： E，F 分别是
5、 AB 和 AA1的中点， EF 綊12A1B.又 A1D1綊 B1C1綊 BC. 四边形 A1D1CB 为平行四边形 A1B CD1，从而 EF CD1. EF 与 CD1确定一个平面 E，C1，F，D 四点共面由题悟法1证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 32 页学习必备欢迎下载2证明点或线共面问题一般有以下两种途径：首先由所给条件中的部分线(或点 )确定一个平面，然后再证其余线(或点 )均在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再
6、证平面重合以题试法1(1)(2012江西模拟 )在空间中，下列命题正确的是() A对边相等的四边形一定是平面图形B四边相等的四边形一定是平面图形C有一组对边平行的四边形一定是平面图形D有一组对角相等的四边形一定是平面图形(2)对于四面体ABCD，下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)相对棱 AB 与 CD 所在直线异面；由顶点 A 作四面体的高，其垂足是BCD 三条高线的交点；若分别作ABC 和 ABD 的边 AB 上的高，则这两条高所在的直线异面；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点解析： (1)由 “两平行直线确定一个平面”知 C 正确(2)由四面体的概念可知，AB
7、与 CD 所在的直线为异面直线，故正确；由顶点 A 作四面体的高，只有当四面体ABCD 的对棱互相垂直时，其垂足是 BCD 的三条高线的交点，故错误； 当 DADB，CACB 时，这两条高线共面，故错误；设AB，BC，CD，DA 的中点依次为E，F，M，N，易证四边形EFMN 为平行四边形，所以 EM 与 FN 相交于一点， 易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点，故正确答案： (1)C(2)异面直线的判定典题导入例 2(2012 金华模拟 )在图中， G，N，M，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN 是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号) 精选学习资料 - -
8、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 32 页学习必备欢迎下载自主解答 图中，直线GH MN；图中， G，H，N 三点共面，但M?面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；图中，连接MG，GM HN，因此 GH 与 MN 共面；图中， G，M，N 共面，但H?面 GMN ，因此 GH 与 MN 异面所以图中GH 与 MN 异面答案 由题悟法1异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发， 经过严格的推理， 导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到2客观题中，也可用下
9、述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线以题试法2已知 m，n， l 为不同的直线， ，为不同的平面，有下面四个命题：m，n 为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l 与 m，n 都相交m，n 为异面直线，过空间任一点P，一定存在一个与直线m，n 都平行的平面 ， l，m? ，n? ，m，n 与 l 都斜交，则m 与 n 一定不垂直；m，n 是 内两相交直线，则与 相交的充要条件是m，n 至少有一条与相交则四个结论中正确的个数为() A1B2 C3 D 4 解析： 选 B错误，因为过直线m 存在一个与直线n 平行的平面，当点P 在这个平面内且不在直线m 上
10、时，就不满足结论；错误，因为过直线m 存在一个与直线n 平行的平面，当点P 在这个平面内时，就不满足结论；正确，否则，若mn，在直线m 上取一点作直线al，由 ，得 a n.从而有 n ，则 nl；正确异面直线所成角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 32 页学习必备欢迎下载典题导入例 3(2012 大纲全国卷 )已知正方体ABCDA1B1C1D1中， E，F 分别为 BB1，CC1的中点，那么异面直线AE 与 D1F 所成角的余弦值为_自主解答 连接 DF，则 AE DF， D1FD 即为异面直线AE 与 D1F 所成的角
11、设正方体棱长为a，则 D1Da，DF52a，D1F52a， cos D1FD52a252a2a2252a52a35. 答案 35由题悟法求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下：(1)一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角以题试法3(2012 唐山模拟 )四棱锥 PABCD 的所有侧棱长都为5，底面 ABCD 是边长为2 的正方形，则CD 与 P A 所成角的余弦值为() A.2 55B.55C.45D.35解析： 选 B
12、如图所示， 因为四边形ABCD 为正方形， 故 CDAB，则 CD 与 PA 所成的角即为AB 与 PA 所成的角 P AB，在PAB 内， PBPA5，AB2，利用余弦定理可知：cos P ABPA2AB2PB22PAAB54522555. 小题能否全取 1(教材习题改编)已知 a，b 是异面直线，直线c平行于直线a，那么 c 与 b() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 32 页学习必备欢迎下载A异面B相交C不可能平行D不可能相交解析： 选 C由已知直线c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若
13、 bc，则 ab.与 a， b是异面直线相矛盾2(2012 东北三校联考 )下列命题正确的个数为() 经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合A0 B1 C2 D 3 解析： 选 C错误，正确3已知空间中有三条线段AB，BC 和 CD，且 ABC BCD ，那么直线AB 与 CD 的位置关系是 () AABCDBAB 与 CD 异面CAB 与 CD 相交DABCD 或 AB 与 CD 异面或 AB 与 CD 相交解析： 选 D若三条线段共面，如果AB，BC，CD 构成等腰三角形，则直线AB 与 CD相交， 否
14、则直线 AB 与 CD 平行； 若不共面， 则直线 AB 与 CD 是异面直线4(教材习题改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中， E，F 分别是AB，AD 的中点，则异面直线B1C 与 EF 所成的角的大小为_解析： 连接 B1D1，D1C，则 B1D1 EF，故 D1B1C 为所求，又B1D1B1CD1C， D1B1C60 . 答案： 605 (教材习题改编 )平行六面体ABCD A1B1C1D1中既与 AB 共面又与CC1共面的棱的条数为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 32 页学习必备欢迎下载解析：
15、 如图，与AB 和 CC1都相交的棱有BC；与 AB 相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与 AB 平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合条件的棱共有5 条答案： 5 第四节直线、平面平行的判定及性质知识能否忆起 一、直线与平面平行1判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行a?b? ba? a2性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行aa? b? ab二、平面与平面平行1判定定理文字语言图形语言符号语言精选学习资料 - - - - - - - - - 名
16、师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 32 页学习必备欢迎下载判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a? b? a bPa b ? 2两平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 a b? a b1.平行问题的转化关系：线线判定判定性质线面判定性质面面性质2在解决线面、 面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”3辅助线
17、(面)是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有关平行性质的应用线面平行、面面平行的基本问题典题导入例 1(2011 福建高考 )如图，正方体ABCDA1B1C1D1中， AB2，点 E 为 AD 的中点，点F 在 CD 上若 EF平面 AB1C，则线段EF 的长度等于 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 32 页学习必备欢迎下载自主解答 因为直线EF平面AB1C，EF? 平面 ABCD，且平面AB1C平面 ABCDAC，所以 EF AC.又因为点E 是 DA 的中点，所以F 是 DC 的中点，由中位线
18、定理可得EF12AC.又因为在正方体ABCDA1B1C1D1中， AB2，所以 AC2 2.所以 EF2. 答案 2 本例条件变为“E 是 AD 中点， F，G，H，N 分别是 AA1，A1D1，DD1与 D1C1的中点，若 M 在四边形EFGH 及其内部运动”，则M 满足什么条件时，有MN平面 A1C1CA. 解： 如图， GN平面AA1C1C，EG平面AA1C1C，又 GN EGG，平面EGN平面AA1C1C. 当M 在线段 EG 上运动时，恒有MN平面AA1C1C. 由题悟法解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在
19、面外易忽视(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确以题试法1(1)(2012浙江高三调研 )已知直线l平面 ，P ，那么过点P 且平行于直线l 的直线() A只有一条，不在平面内B有无数条，不一定在平面内C只有一条，且在平面内D有无数条，一定在平面内解析： 选 C由直线l 与点 P 可确定一个平面 ，且平面 ，有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为 l ，所以 l m，故过点P 且平行于直线l 的直线只有一条，且在平面内精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共
20、 32 页学习必备欢迎下载(2)(2012潍坊模拟 )已知 m，n，l1，l2表示直线， ， 表示平面 若 m? ，n? ，l1? ，l2? ，l1l2M，则 的一个充分条件是() Am 且 l1Bm 且 nCm且 n l2Dml1且 nl2解析：选 D由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知 . 直线与平面平行的判定与性质典题导入例 2(2012 辽宁高考 )如图， 直三棱柱ABC ABC，BAC90 ，ABAC2，AA 1，点 M，N 分别为AB和 BC的中点(1)证明： MN平面 AACC；(2)求三棱锥A MNC 的体积 (锥
21、体体积公式V13Sh，其中 S为底面面积， h 为高 ) 自主解答 (1)证明：法一 ：连接 AB、AC，因为点 M，N分别是 AB 和 BC的中点，所以点 M 为 AB 的中点又因为点 N 为 BC的中点，所以 MN AC. 又 MN?平面 AACC，AC? 平面 AACC，因此 MN平面AACC. 法二： 取 AB的中点 P.连接 MP. 而点 M，N 分别为 AB与 BC 的中点， 所以 MP AA，PN AC . 所以 MP平面AACC，PN平面AACC.又 MP PNP，因此平面 MPN平面AACC.而 MN? 平面 MPN，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
22、总结 - - - - - - -第 11 页，共 32 页学习必备欢迎下载因此 MN平面AACC. (2)法一 ：连接BN，由题意得AN BC，平面ABC 平面BBCC BC，所以 AN平面 NBC. 又 AN12BC1，故 VAMNCVNAMC12VNABC12VANBC16. 法二 ：VAMNCVANBC VMNBC12VANBC16. 由题悟法利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有， 若没有， 则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线以题试法2(2012 淄博模拟 )如图，在棱长为2 的正方体AB
23、CD A1B1C1D1中， E，F 分别是 BD，BB1的中点(1)求证： EF平面 A1B1CD；(2)求证： EFAD1. 解： (1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，连接B1D，在平面 BB1D 内， E，F 分别为 BD，BB1的中点， EF B1D. 又 B1D? 平面 A1B1CD. EF?平面 A1B1CD， EF平面A1B1CD. (2) ABCDA1B1C1D1是正方体， AD1 A1D，AD1 A1B1. 又 A1DA1B1A1， AD1平面A1B1D. AD1 B1D. 又由 (1)知， EF B1D， EF AD1. 精选学习资料 - - - - - - - - -
24、 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 32 页学习必备欢迎下载平面与平面平行的判定与性质典题导入例 3如图， 已知 ABCD A1B1C1D1是棱长为3 的正方体， 点 E在 AA1上，点 F 在 CC1上，G 在 BB1上，且 AEFC1B1G1，H 是B1C1的中点(1)求证： E，B，F，D1四点共面；(2)求证：平面A1GH平面 BED1F. 自主解答 (1)在正方形AA1B1B 中， AEB1G1， BGA1E2， BG 綊 A1E. 四边形 A1GBE 是平行四边形 A1G BE. 又 C1F 綊 B1G，四边形 C1FGB1是平行四边形 FG 綊 C1B1綊
25、 D1A1. 四边形 A1GFD1是平行四边形 A1G 綊 D1F. D1F 綊 EB. 故 E，B，F， D1四点共面(2) H 是 B1C1的中点，B1H32. 又 B1G1，B1GB1H23. 又FCBC23，且FCB GB1H90 ， B1HG CBF. B1GH CFB FBG . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 32 页学习必备欢迎下载 HG FB. GH?面 FBED1，FB? 面 FBED1， GH面BED1F. 由(1)知 A1G BE，A1G?面 FBED1，BE? 面 FBED1， A1G面BED
26、1F. 且 HGA1GG，平面A1GH平面BED1F. 由题悟法常用的判断面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性( ， ? )；(3)利用线面垂直的性质(l ，l ? )以题试法3(2012 北京东城二模 )如图，矩形AMND 所在的平面与直角梯形 MBCN 所在的平面互相垂直，MBNC，MNMB. (1)求证：平面AMB平面 DNC；(2)若 MCCB，求证： BCAC. 证明： (1)因为 MB NC，MB?平面 DNC，NC? 平面 DNC，所以 MB平面DNC. 又因为四边形AMND 为矩形，所以MA DN. 又 MA?平面 DNC，DN? 平面 DNC.
27、所以 MA平面DNC. 又 MAMB M，且 MA，MB? 平面 AMB，所以平面 AMB平面DNC. (2)因为四边形AMND 是矩形，所以 AM MN. 因为平面 AMND 平面MBCN，且平面 AMND 平面 MBCNMN，所以 AM平面MBCN. 因为 BC? 平面 MBCN ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 32 页学习必备欢迎下载所以 AM BC. 因为 MC BC，MCAMM，所以 BC平面AMC. 因为 AC? 平面 AMC，所以 BC AC. 小题能否全取 1(教材习题改编)下列条件中，能作为两平面平
28、行的充分条件的是() A一个平面内的一条直线平行于另一个平面B一个平面内的两条直线平行于另一个平面C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析： 选 D由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故D 正确2已知直线a，b，平面 ，则以下三个命题：若 ab， b? ，则 a ；若 ab， a ，则 b ；若 a ，b ，则 ab. 其中真命题的个数是() A0B1 C2 D 3 解析： 选 A对于命题，若ab，b? ，则应有 a或 a? ，所以不正确；对于命题，若a b，a ，则应有b或 b? ，因此也不正确；对于命题
29、，若a ，b ，则应有 ab 或 a 与 b 相交或 a 与 b 异面，因此也不正确3(教材习题改编)若一直线上有相异三个点A，B，C 到平面 的距离相等，那么直线l 与平面 的位置关系是 () AlBlCl 与 相交且不垂直D l或 l? 解析： 选 D由于 l 上有三个相异点到平面的距离相等，则l 与 可以平行， l? 时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 32 页学习必备欢迎下载也成立4平面 平面 ，a? ，b? ，则直线a，b 的位置关系是 _解析： 由 可知， a， b的位置关系是平行或异面答案： 平行或异面5
30、(2012 衡阳质检 )在正方体ABCDA1B1C1D1中， E 是 DD1的中点，则 BD1与平面 ACE的位置关系为 _解析： 如图连接 AC， BD 交于 O 点，连接 OE， 因为 OE BD1，而 OE? 平面 ACE，BD1?平面 ACE，所以 BD1平面ACE. 答案： 平行第五节直线、平面垂直的判定与性质知识能否忆起 一、直线与平面垂直1直线和平面垂直的定义直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面 互相垂直2直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直a，b? abOlalb?
31、l推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面aba? b3直线与平面垂直的性质定理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 32 页学习必备欢迎下载文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab? ab二、平面与平面垂直1平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直l? l? 2平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 l? ala? l1.在证明线面
32、垂直、面面垂直时， 一定要注意判定定理成立的条件同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：2在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理3几个常用的结论：(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直垂直关系的基本问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 32 页学习必备欢迎下载典题导入例 1(2012 襄州模拟 )若 m，n 为两条不重合的直线， ，为两个不重合的平面，给出下列命题
33、：若m，n都平行于平面 ，则 m，n 一定不是相交直线；若m、n 都垂直于平面 ，则 m，n 一定是平行直线；已知 ，互相垂直， m，n 互相垂直，若m ，则 n ； m， n 在平面 内的射影互相垂直， 则 m， n 互相垂直其中的假命题的序号是_自主解答 显然错误，因为平面 平面 ，平面内的所有直线都平行 ，所以 内的两条相交直线可同时平行于 ；正确；如图1 所示，若 l，且 n l，当 m 时，m n，但 n ，所以错误；如图2 显然当 m n时， m 不垂直于n，所以错误答案 由题悟法解决此类问题常用的方法有：依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断； 否定命题时只需举
34、一个反例寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选以题试法1(2012 长春模拟 )设 a， b 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列四个命题：若 ab， a ，b? ，则 b ；若 a ，a ，则 ；若 a ， ，则 a或 a? ；若 a b，a ，b ，则 . 其中正确命题的个数为() A1B2 C3 D 4 解析： 选 D对于，由b 不在平面内知，直线b 或者平行于平面 ，或者与平面相交，若直线b 与平面 相交，则直线b 与直线 a 不可能垂直，这与已知“ab”相矛盾，因此正确对于，由a知，在平面内必存在直线a1a，又 a ，所以有a1 ，所以 ，正确对于，若直线a 与平面
35、相交于点 A，过点 A 作平面 、的交线的垂线 m，则 m ，又 ，则有 am，这与“直线a、m 有公共点A”相矛盾，因此正确对于，过空间一点O 分别向平面 、引垂线 a1、b1，则有 aa1，bb1，又 ab，所以 a1b1，所以 ，因此正确综上所述，其中正确命题的个数为4. 直线与平面垂直的判定与性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 32 页学习必备欢迎下载典题导入例 2(2012 广东高考 )如图所示， 在四棱锥PABCD 中，AB平面 PAD，ABCD，PDAD，E 是 PB 的中点， F 是 DC上的点且 DF
36、 12AB，PH 为 PAD 中 AD 边上的高(1)证明： PH平面 ABCD；(2)若 PH1，AD2，FC 1，求三棱锥EBCF 的体积；(3)证明： EF平面 PAB. 自主解答 (1)证明：因为AB平面PAD，PH? 平面 PAD，所以 PH AB. 因为 PH 为 P AD 中 AD 边上的高，所以PH AD. 因为 PH ?平面 ABCD，AB ADA，AB， AD? 平面 ABCD，所以 PH 平面ABCD. (2)如图，连接BH，取 BH 的中点 G，连接 EG. 因为 E 是 PB 的中点，所以 EG PH，且 EG12PH 12. 因为 PH 平面ABCD，所以 EG平面
37、ABCD. 因为 AB平面P AD ，AD? 平面 PAD，所以 AB AD. 所以底面 ABCD 为直角梯形所以 VEBCF13SBCF EG1312 FC AD EG212. (3)证明：取PA 中点 M，连接 MD， ME. 因为 E 是 PB 的中点，所以ME 綊12AB. 又因为 DF 綊12AB，所以 ME 綊 DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF MD. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 32 页学习必备欢迎下载因为 PD AD，所以 MD P A. 因为 AB平面P AD ，所以 MD AB
38、. 因为 PAABA，所以 MD平面 PAB，所以 EF平面PAB. 由题悟法证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理(2)利用判定定理的推论(ab，a ? b )(3)利用面面平行的性质(a ， ? a )(4)利用面面垂直的性质当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面以题试法2(2012 启东模拟 )如图所示， 已知 PA矩形 ABCD 所在平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点(1)求证： MNCD；(2)若 PDA45 ，求证： MN平面 PCD . 证明： (1)连接 AC， AN，BN， PA平面 ABCD， PA AC，在 Rt PAC 中， N
39、 为 PC 中点，AN12PC. PA平面 ABCD， PA BC，又 BC AB，PAAB A， BC平面PAB. BC PB. 从而在 Rt PBC 中， BN 为斜边 PC 上的中线， BN12PC. ANBN. ABN 为等腰三角形，又M 为 AB 的中点，MN AB，又 AB CD， MN CD. (2)连接 PM，MC， PDA45 ， PA AD， APAD. 四边形 ABCD 为矩形，ADBC， APBC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 32 页学习必备欢迎下载又 M 为 AB 的中点，AMBM. 而
40、 PAM CBM 90 ， PAM CBM . PMCM. 又 N 为 PC 的中点， MN PC. 由(1)知， MN CD，PCCDC， MN平面PCD . 面面垂直的判定与性质典题导入例 3(2012 江苏高考 )如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中， A1B1A1C1，D，E 分别是棱BC，CC1上的点 (点 D 不同于点C)，且 ADDE，F 为 B1C1的中点求证： (1)平面 ADE平面 BCC1B1；(2)直线 A1F平面 ADE. 自主解答 (1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，又 AD? 平面 ABC，所以 CC1 AD. 又因为 AD DE，CC1
41、，DE? 平面 BCC1B1，CC1 DEE，所以 AD 平面BCC1B1.又 AD? 平面 ADE，所以平面 ADE 平面BCC1B1. (2)因为 A1B1A1C1，F 为 B1C1的中点，所以 A1F B1C1. 因为 CC1平面A1B1C1，且 A1F? 平面 A1B1C1，所以 CC1 A1F. 又因为 CC1，B1C1? 平面 BCC1B1，CC1B1C1 C1，所以 A1F平面BCC1B1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 32 页学习必备欢迎下载由(1)知 AD平面BCC1B1，所以 A1F AD. 又
42、 AD? 平面 ADE ，A1F?平面 ADE，所以 A1F平面ADE. 由题悟法1判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定义(2)面面垂直的判定定理(a ，a? ? )2在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直转化方法： 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直， 然后进一步转化为线线垂直以题试法3(2012 泸州一模 )如图， 在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形， BAD60 ，Q 为 AD 的中点(1)若 PAPD，求证：平面PQB平面 PAD；(2)若点 M 在线段 PC 上，且 PMtPC(t0)，试确定实数t 的值，使得 PA平面 MQB.
43、解： (1)因为 PAPD，Q 为 AD 的中点，所以PQ AD. 连接 BD ，因为四边形ABCD 为菱形，BAD 60 ，所以 ABBD. 所以 BQ AD. 因为 BQ? 平面 PQB，PQ? 平面 PQB，BQPQQ，所以 AD 平面PQB. 因为 AD ? 平面 PAD，所以平面PQB平面P AD. (2)当 t13时， P A平面MQB. 证明如下：连接 AC，设 ACBQ O，连接 OM.在 AOQ 与 COB 中，因为 AD BC，所以OQA OBC， OAQ OCB. 所以AOQ COB.所以AOOCAQCB12.所以AOAC13，即OCAC23. 精选学习资料 - - -
44、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 32 页学习必备欢迎下载由 PM13PC，知CMCP23，所以CMCPOCAC，所以 AP OM. 因为 OM? 平面 MQB，PA?平面 MQB，所以 PA平面MQB. 小题能否全取 1(教材习题改编)已知平面 ， ，直线 l，若 ， l，则 () A垂直于平面 的平面一定平行于平面B垂直于直线l 的直线一定垂直于平面C垂直于平面 的平面一定平行于直线lD垂直于直线l 的平面一定与平面 、都垂直解析： 选 DA 中平面可与平行或相交，不正确B 中直线可与垂直或斜交，不正确C 中平面可与直线l 平行或相交，不正确
45、2.(2012厦门模拟 )如图， O 为正方体ABCD A1B1C1D1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B1O 垂直的是 () AA1DBAA1CA1D1DA1C1解析： 选 D易知 A1C1平面 BB1D1D. 又 B1O? 平面 BB1D1D， A1C1B1O. 3 已知 ， 是两个不同的平面， m， n 是两条不重合的直线， 则下列命题中正确的是() A若 m ， n，则 mnB若 m ， mn，则 nC若 m ， n ， ，则 mnD若 ， n，m n，则 m解析： 选 C对于选项A，若 m ， n，则 mn，或 m，n 是异面直线，所以A错误；对于选项B，n 可能在平面内，所以
46、 B 错误；对于选项D，m 与 的位置关系还可以是 m? ， m ，或 m 与 斜交，所以D 错误；由面面垂直的性质可知C 正确4.如图， 已知 PA平面 ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_解析： 由线面垂直知，图中直角三角形为4 个答案： 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 32 页学习必备欢迎下载5(教材习题改编)如图，已知六棱锥PABCDEF 的底面是正六边形， P A平面 ABC，PA2AB.则下列命题正确的有_P AAD；平面 ABC平面 PBC；直线BC平面 PAE；直线 PD 与平面 ABC 所
47、成角为30 . 解析： 由 PA平面 ABC， PA AD，故正确；中两平面不垂直，中 AD 与平面 P AE 相交， BC AD，故不正确；中PD 与平面 ABC 所成角为45 . 答案： 高考真题（19） （2012安徽）如图，长方体1111DCBAABCD中，底面1111DCBA是正方形， O 是 BD 的中点， E 是棱1AA上任意一点。（）证明：1BDEC；（）如果AB=2,AE=2,AE=2,1ECOE, 求1AA的长. 19.（） 本题考察空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判定，利用勾股定理求线段的长等基础知识和基本技能，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力
48、 . （）证明：连接 AC，A1B1.由底面是正方形知，BDAC.因为 AA1平面 ABCD，BD平面 ABCD, 所以 AA1BD. 又由 AA1AC=A, 所以 BD平面 AA1C1C.再由EC1平面AA1C1C知，BDEC1. 第 （19）题图（）解： 设 AA1的长是 h，连接 OC1. 在 RtOAE 中， AE=2，AO=2故222(2)(2)4OE. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 32 页学习必备欢迎下载在 RtEA1C1中，1112,2 2AEhAC，故2221(2)(2 2)ECh.在 RtOCC1
49、中,2OC,1CCh，2221( 2)OCh. 因为1OEEC，所以221OEECOC，即22224(2)(22)(2)hh，解得3 2h，所以1AA的长为3 2. （18） （2013 安徽 ）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2 的菱形，60BAD.已知2,6PBPDPA. （）证明：PCBD（）若E为PA的中点，求三菱锥PBCE的体积 . 【解析】（1）证明：连接,BD AC交于O点PBPDP OB D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 32 页学习必备欢迎下载又ABCD是菱形BDAC而ACPOOBD面PA
50、CBDPC(2) 由（ 1）BD面PAC45sin3262121PACPECSS=32236111132322PBECBPECPECVVSBO【考点定位】考查空间直线与直线，直线与平面的位置，.三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间观念，推理论证能力和运算能力. （19） （2011 安徽）如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，1OA，2OD，OAB ，OAC ，ODE，ODF 都是正三角形。（）证明直线BCEF；（）求棱锥FOBED的体积 . （19） （本小题满分13 分）本题考查空间直线与直线，直线与平面， 平面与平面的位置关系，空间直线平行的证