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1、1.3 1.3 二项式定理二项式定理1.3.1 1.3.1 二项式定理二项式定理引入课题引入课题今天是星期一，试问今天是星期一，试问220072007天之后是星期天之后是星期几呢？几呢？引入课题引入课题 1.( 1.(ab) )2 2和和( (ab) )3 3展开后分别等于展开后分别等于什么？什么？ (ab)2 2a2 22 2abb2 2，(ab)3 3a3 33 3a2 2b3 3ab2 2b3 3. 2. 2.对于对于ab，( (ab b) )2 2，( (ab b) )3 3，( (ab b) )4 4，( (ab b) )5 5等代数式，数学上统等代数式，数学上统称为称为二项式二项式
2、，其一般形式为，其一般形式为( (ab b) )n n（nNnN*）. .由于在许多代数问题中需要由于在许多代数问题中需要将它展开，因此，研究将它展开，因此，研究( (ab b) )n n展开后的展开后的表达式的一般结构，就是一个具有重要表达式的一般结构，就是一个具有重要意义的课题意义的课题. .探究（一）：探究（一）：二项式定理二项式定理 问题问题1 1：将将( (ab b) )2 2( (ab b)()(ab b) )按多按多项式乘法法则展开，每个括号内各取一项式乘法法则展开，每个括号内各取一个数相乘得到展开式中的一项，根据分个数相乘得到展开式中的一项，根据分步计数原理，在合并同类项之前共
3、有多步计数原理，在合并同类项之前共有多少项？其中不取少项？其中不取b b，取一个，取一个b b和一个和一个a，取，取二个二个b b的项数用组合数分别怎样表示？由的项数用组合数分别怎样表示？由此可得此可得( (ab b) )2 2的展开式是什么？的展开式是什么？20212 2222()abC aC abC b+=+问题问题2 2：类似地，将类似地，将( (ab b) )3 3( (ab b) ) ( (ab b)()(ab b) )按多项式乘法法则按多项式乘法法则展开，在合并同类项之前共有多少项？展开，在合并同类项之前共有多少项？其中不取其中不取b b，取一个，取一个b b和二个和二个a，取二个
4、，取二个b b和一个和一个a，取三个，取三个b b的项数用组合数分别的项数用组合数分别怎样表示？由此可得怎样表示？由此可得( (ab b) )3 3的展开式是的展开式是什么？什么？3031222333333()abC aC a bC abC b+=+问题问题3 3：在在( (ab b) )4 4( (ab b)()(ab b)()(ab b)()(ab b) )的展开式中，有哪几种形式的的展开式中，有哪几种形式的项？合并同类项之后各项的系数分别是项？合并同类项之后各项的系数分别是什么组合数？由此可得什么组合数？由此可得( (ab b) )4 4的展开式的展开式是什么？是什么？40 41 32
5、2 2334 444444()abC aC ab C abC abC b+=+问题问题4 4：根据归纳推理，你能猜测出根据归纳推理，你能猜测出 ( (ab b) )n n(nN(nN*) )的展开式是什么吗？的展开式是什么吗？ 01122 211()nnnnnnnnnnnnnabC aC abC abCabC b-+=+L问题问题5 5：如何证明这个猜想？如何证明这个猜想？ (a+b)n是n个(a+b)相乘， 每个（a+b）在相乘时有两种选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能得到展开式的一项。对于每一项an-kbk ，它是由n-k个(a+b)选了a， k个(a+b)选了b得到
6、的，它出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个b的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理。由分步计数原理可知展开式共有2n项 （包括同类项），其中每一项都是an-kbk的形式，k=0，1，n；定理的证明定理的证明011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 问题问题6 6：公式公式叫做叫做二项式定理二项式定理，等式右边叫做二项展，等式右边叫做二项展开式，其中各项的系数开式，其中各项的系数 (k(k0 0，1 1，2 2，n)n)叫做叫做二项式系数二项式系数，那么二项展，那么二项展开式在结构上有哪些基本特征？开式在结构上有哪些基本特征
7、？011()nnnk n k kn nnnnnabC aC a bC a bC b-+=+LLknC 共有共有n n1 1项；字母项；字母a的最高次数为的最高次数为n n且按降幂且按降幂排列；字母排列；字母b b的最高次数为的最高次数为n n且按升幂排列；且按升幂排列；各项中各项中a与与b b的指数幂之和都是的指数幂之和都是n n；各项的二项；各项的二项式系数依次为式系数依次为 ，且与，且与a，b b无关无关. .012,nnnnnCCCCL问题问题7 7：根据二项式定理，根据二项式定理，(1(1x)x)n n ( (nNnN*) )等于什么？等于什么？0122( 1)nkknnnnnnnxC
8、C xC xC xC x+=+LL问题问题8 8：( (ab b) )n n(nN(nN*) )的展开式是什么？的展开式是什么？01122 2()( 1)nnnnnn nnnnnabC aC abC abC b-=-+-+ -L探究（二）：探究（二）：二项展开式的通项二项展开式的通项问题问题1 1：在二项展开式中，用在二项展开式中，用T Tk k表示从左表示从左到右第到右第k k项，那么项，那么T Tk k和和T Tk k1 1分别等于什么？分别等于什么？ 111knkkknTCab- +-=1knkkknTC ab-+=问题问题2 2：在在( (ab b) )n n的二项展开式中，的二项展开
9、式中， 叫做叫做二项展开式的通二项展开式的通项项，那么，那么( (ab b) )n n的二项展开式的通项是的二项展开式的通项是什么？什么？1knkkknTC ab-+=1( 1)kknkkknTC ab-+=-问题问题3 3：(2(2x x3 3y y) )2020的二项展开式的通项的二项展开式的通项是什么？是什么？20120(2 )(3 )kkkkTCxy-+=问题问题4 4：(1(12x)2x)7 7的展开式中第的展开式中第4 4项的二项的二项式系数和系数分别是什么？项式系数和系数分别是什么？ 二项式系数：二项式系数： ，系数：系数： . . 3735C=378280C=经典范例经典范例
10、例例1 1 求求 的展开式的展开式. .61(2)xx-32236012164192240160 xxxxxx-+-+-+ 例例2 2 求求 的展开式中的展开式中x x3 3的的系数系数. .91()xx-84 84 例例3 3 已知已知 的展开式中的展开式中第第5 5项与第项与第3 3项的二项式系数之比为项的二项式系数之比为14143 3，求展开式中所有的有理项求展开式中所有的有理项. .331()2nxx-245.4x63,8-245,64x课堂小结课堂小结 1. 1.二项式定理是以公式的形式给出的二项式定理是以公式的形式给出的一个恒等式，其中一个恒等式，其中n n是正整数，是正整数，a，
11、b b可以可以任意取值，也可以是代数式任意取值，也可以是代数式. . 2.( 2.(ab b) )n n的展开式统一规定按的展开式统一规定按a的的 降幂排列，各项的系数与降幂排列，各项的系数与a，b b的取值有的取值有关，各项的二项式系数与关，各项的二项式系数与a，b b的取值无的取值无关关. . 3. 3.二项展开式的通项二项展开式的通项是研究二项展开式问题的重要工具，但是研究二项展开式问题的重要工具，但需注意通项是表示二项展开式中的第需注意通项是表示二项展开式中的第 k k1 1项项. .对于求展开式中某些特定的项，对于求展开式中某些特定的项，一般要分析通项中字母的幂指数来解决一般要分析通项中字母的幂指数来解决. .1knkkknTC ab-+=作业：作业：P37P37习题习题1.3A1.3A组：组：2 2，3 3，4 4，5. 5.