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1、2.2 等差数列等差数列(1)深化练习深化练习:例例.写出下面数列的通项公式写出下面数列的通项公式,使它的前面四项使它的前面四项分别是下列个数分别是下列个数(1)3,5,9,17,33 638,356,154,32)2( 225, 8 ,29, 2 ,21)3( 327,83,85, 1 ,23) 4(5)1, 11, 111, 1111(6)0.1, 0.11, 0.111, 0.1111(7) 2, 6, 12, 20, 30, 42,.22 等差数列等差数列10360,10288,10216,10144,10072)4(5.5 ,8 ,5.10,13,5.15,18)3(63,58,53
2、,48)2(,20,15,10,5 ,0)1(分析书上实例，观察下列四数列：分析书上实例，观察下列四数列：以上四个数列从第以上四个数列从第2 2项起，每一项与前一项的差项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数都等于同一个常数 (5) 2,2,2,2,2,(6)0,0,0,0,0,01.1.等差数列定义等差数列定义：一般地，如果一个数列从第：一般地，如果一个数列从第2 2项起，项起，每一项与它的前一项的差等于每一项与它的前一项的差等于同一个常数同一个常数，那么这，那么这个数列就叫做个数列就叫做等差数列。等差数列。 这个这个常数常数叫做等差数列的叫做等差数列的公差公差，公差用字母，公差用字母d d
3、表示表示 无关的数或式子）是与ndaann(1）且或2(1nNndaann2等差数列递推式等差数列递推式d可以取可以取任意实数任意实数，特别地，当，特别地，当d为为0时该数列为时该数列为常数列常数列等差数列的通项公式等差数列的通项公式 ：nana等差数列等差数列 的首项为的首项为a1,公差为公差为d,求求daa12daa23da21daa34da31dnaan) 1(1daadaadaadaann1342312dnaan) 1(1以上以上n-1式联加可得：式联加可得：这就是等差数列的这就是等差数列的通项公式通项公式Nn11223211)()()()(aaaaaaaaaannnnn当d0时，这是
4、关于n的一个一次函数。dmaam) 1(1dmaam) 1(1nadna) 1(1=dmnadndmamm)() 1() 1( 即得第二通项公式即得第二通项公式 nadmnam)( d=nmaanm提问提问：如果在：如果在 与与 中间插入一个数中间插入一个数A，使，使 ，A ，成等差数列，那么成等差数列，那么A应满足什么条件？应满足什么条件？ abab因为因为a a，A A，b b组成了一个等差数列，那么由定组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：义可以知道： A a = b - A2baA即即例如例如13, 13)2(8 , 2) 1 (53如果如果a，A，b组成了一个组成了一个等差数列等差
5、数列，那么A A 叫叫做做 a a 与与 b b 的的等差中项等差中项 等差中项等差中项例例1求等差数列求等差数列8，5，2，的第的第20项项.-401-401是不是等差数列是不是等差数列-5-5，-9-9，-13-13，的项？的项？如果是，是第几项？如果是，是第几项？ 例例2 在等差数列在等差数列 中，已知中，已知 ， ，求求, na105a3112anaada,201应用举例应用举例例例3 3某市出租车的计价标准为某市出租车的计价标准为1.21.2元元/km/km，起步价为，起步价为1010元，即最初的元，即最初的4km4km（不含（不含4 4千米）计费千米）计费1010元。如果元。如果某
6、人乘坐该市的出租车去往某人乘坐该市的出租车去往14km14km处的目的地，且一处的目的地，且一路畅通，等候时间为路畅通，等候时间为0 0，需要支付多少车费？，需要支付多少车费？令令 =11.2=11.2，表示到达，表示到达4km4km处的车费，处的车费， 1a解：述解：述公差公差d=1.2d=1.2 那么当出租车行至那么当出租车行至14km14km处时，处时，n=11n=11 需要支付车费需要支付车费 )(2 .232 . 1) 111(2 .1111元a例例4 4 已知数列已知数列 的通项公式为的通项公式为其中其中p p、q q为常数，且为常数，且p0p0，那么这个数列一定是等差，那么这个数
7、列一定是等差数列吗？数列吗？na, qpnan) 1)(1qnpqpnaannpqppnqpn(它是一个与它是一个与n n无关的数无关的数. .所以所以 是等差数列。是等差数列。na设问设问2：如果：如果p=0情况又是怎样的呢？情况又是怎样的呢？结论结论：常数数列也是等差数列。：常数数列也是等差数列。如：如：2，2，2，；7，7，7，设问设问1：这个数列的首项与公差是多少？：这个数列的首项与公差是多少？pdqpa,1 例例. .已知三个数成等差数列，其和已知三个数成等差数列，其和1515，其平方和，其平方和为为8383，求此三个数，求此三个数. . 则 ( (x- -d)+)+x+(+(x+
8、+d)=)=15 ( (x- -d) )2 2+ +x2 2+(+(x+ +d) )2 2= =83所求三个数分别为所求三个数分别为3 3，5 5，7 7或或7 7，5 5，3.3.解得解得x5 5，d d2.2.解：设此三个数分别为解：设此三个数分别为x- -d d，x，x+ +d d，思考思考：四个数成等差数列该如何假设？：四个数成等差数列该如何假设？在直角坐标系中，画出通项公式为在直角坐标系中，画出通项公式为的数列的图象。这个图象有什么特点？的数列的图象。这个图象有什么特点？并并画出函数画出函数y=3x-5y=3x-5的图象，比较两者的异同。的图象，比较两者的异同。 53 nan3.等差
9、数列的性质等差数列的性质(1)、在等差在等差数列中，若数列中，若m+n=p+q，则则:qpnmaaaa 但通常，但通常， 推不出推不出 m+n=p+q ， qpnmaaaa nmnmaaa 变式：变式：在等差数列中，若在等差数列中，若m+n=2p，则，则:pnmaaa2例例6. 等差数列等差数列an中，中，a1+a3+a5=12, a1a3a5=80 求通项求通项an 练习：练习：成等差数列的三个数之和为成等差数列的三个数之和为9，之积为之积为15，求这三个数，求这三个数例例5.等差数列等差数列an中，中，a7a9=16，a4=1, 求求 a12的值的值,（2）的等差数列的等差数列组成公差为组成公差为mdaaamkmkk,2（3）若若an,bn为等差，则为等差，则pan+qbn也为等差数列也为等差数列