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1、第9课 不等式与不等式组 1 1定义：定义：(1)用用 连接起来的式子叫做不等式；连接起来的式子叫做不等式；(2)使不等式成立的未知数的值叫做使不等式成立的未知数的值叫做 ；(3)一个含有未知数的不等式的解的全体，叫一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做做 ；(4)求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式程，叫做解不等式要点梳理要点梳理不等号不等号不等式的解不等式的解不等式的解集不等式的解集2不等式的基本性质：不等式的基本性质： (1)不等式两边都不等式两边都 同一个数或同一个整式，同一个数或同一个整式， 不等式仍然成立；若不等式仍然成立
2、；若ab，则，则acbc. (2)不等式两边都不等式两边都 同一个正数，不等式仍然同一个正数，不等式仍然 成立；若成立；若ab，c0，则，则acbc， . (3)不等式两边都不等式两边都 同一个负数，改变不等号同一个负数，改变不等号 的方向，改变后不等式仍能成立；若的方向，改变后不等式仍能成立；若ab，c0，则，则 acbc， b，得，得acbc B由由ab，得，得2ab，得，得ab D由由ab，得，得a2b，又，又20，得，得2a1在数轴上表示正确的是在数轴上表示正确的是() 解析：解析：x1不包括不包括1，可排除，可排除B、D，而，而A表示表示x1，故选，故选C.C3(2011潜江潜江)某
3、不等式组的解集在数轴上表示如图，则某不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是这个不等式组可能是() A. B. C. D. 解析：观察解集在数轴上的表示，可知解析：观察解集在数轴上的表示，可知x2且且x3.B4(2011苏州苏州)不等式组不等式组 的所有整数解之和是的所有整数解之和是() A9 B12 C13 D15 解析：解析： 解之，得解之，得3x6， 整数整数x3或或4或或5，其和为，其和为34512.B5(2011日照日照)若不等式若不等式2x4的解都能使关于的解都能使关于x的一次不等式的一次不等式(a1)xa5成立，则成立，则a的取值范围是的取值范围是() A1a7 Ba
4、7 Ca1或或a7 Da7 解析：由解析：由2x4得得x2； 由由(a1)xa5，得，得，x0，a1. 又又x2使使(a1)xa5成立，成立， 所以所以2 ，2(a1)a5，a7，故，故1a7.A题型一不等式的性质题型一不等式的性质【例【例 1】 若若ab0，则下列式子：，则下列式子：a11；abab； 中，正确的有中，正确的有() A1个个 B2个个 C3个个 D4个个 解析：解析：ab0，a1b11. 而而ab0， abab. 0. 正确的有正确的有、，应选，应选C.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析C探究提高探究提高 将一个不等式两边同时加上将一个不等式两边同时加上(或减去或减去)同一个
5、数，不等号方向同一个数，不等号方向肯定不变；将一个不等式两边同时乘以肯定不变；将一个不等式两边同时乘以(或除以或除以)同一个不确定同一个不确定的数，则需要进行分类讨论的数，则需要进行分类讨论知能迁移知能迁移1(1)若若ab，则下列各式中一定成立的是，则下列各式中一定成立的是() Aa1 Cab Dacbc 解析：解析：ab，a10 Bab0 Cab0 D|a|b|0 解析：解析：b0|a|，ab0正确，应选正确，应选C.C题型二一元一次不等式解法题型二一元一次不等式解法【例【例 2】解不等式】解不等式5x122(4x3)，并把它的解集在数轴上，并把它的解集在数轴上表示出表示出 解：解：5x12
6、2(4x3)， 5x128x6, 5x8x612， 3x6， x2. 在数轴表示如下：在数轴表示如下：探究提高探究提高 整个解一元一次不等式的过程与解一元一次方程极为相似，整个解一元一次不等式的过程与解一元一次方程极为相似，只是最后一步把系数化为只是最后一步把系数化为1时，需要看清未知数的系数是正数时，需要看清未知数的系数是正数还是负数，如果是正数，不等号方向不变；如果是负数，不等还是负数，如果是正数，不等号方向不变；如果是负数，不等号方向改变号方向改变知能迁移知能迁移2解不等式，并把解集在数轴上表示出来：解不等式，并把解集在数轴上表示出来： 1 2x5. 解：解： 1 2x5， 3(x1)2
7、x14x10， 3x32x14x10， 3xx4x11032，2x10， x5.题型三一元一次不等式组的解法题型三一元一次不等式组的解法【例【例3】解不等式组】解不等式组 并写出该不等式并写出该不等式组的整数解组的整数解 解题示范解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：由解：由得得x1， 22分分 由由得得x2， 44分分 2x1，整数，整数x1或或0或或1. 55分分 答：原不等式组的整数解是答：原不等式组的整数解是1,0,1. 66分分 探究提高探究提高 求不等式组的解集，不管组成这个不等式组的不等式有几求不等式组的解集，不管组成这个不等式组的不等式有几个
8、，都要先分别求解每一个不等式，再利用口诀个，都要先分别求解每一个不等式，再利用口诀“两大取其两大取其大，两小取其小，大小取其中，无中不相容大，两小取其小，大小取其中，无中不相容”或利用数轴求或利用数轴求出它们的公共解集，还要确定其中的特殊解出它们的公共解集，还要确定其中的特殊解知能迁移知能迁移3 (1)解不等式组解不等式组 并把它的解表示在数轴集上并把它的解表示在数轴集上 解：解： 3x2.(2)解不等式：解不等式：1 6. 解：解：1 6， 32x118，22x19，1x9.5.(3)已知关于已知关于x的不等式组只有四个整数解，求实数的不等式组只有四个整数解，求实数a的取值范围的取值范围 解
9、：原不等式组的解集是解：原不等式组的解集是ax2，四个整数解指，四个整数解指1,0,1,2, 30. 解：解：x29(x3)(x3)，(x3)(x3)0. 由有理数的乘法法则由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正两数相乘，同号得正”，得，得 (1) (2) 解不等式组解不等式组(1)，得，得x3， 解不等式组解不等式组(2)，得，得x0的解集为的解集为x3或或x0的解集为的解集为x3或或x3. 问题：求分式不等式问题：求分式不等式 0的解集的解集解：解： 0， 或或 解不等式组解不等式组，无解；解不等式组，无解；解不等式组得得 x . 即不等式即不等式 0的解集是的解集是 x .探究提高探究提
10、高 本题应用有理数的乘除法法则本题应用有理数的乘除法法则“两数相乘除，同号得正，两数相乘除，同号得正，异号得负异号得负”分类讨论因式、分子、分母的正负，列出不等分类讨论因式、分子、分母的正负，列出不等式组，解出不等式组，即得原不等式的解集这里也体现了式组，解出不等式组，即得原不等式的解集这里也体现了转化的数学思想转化的数学思想知能迁移知能迁移4(1)已知方程组已知方程组 的解满足不等式的解满足不等式4x5y9，求，求a的取值范围的取值范围 解：解： 又又4x5y9， 4(5a)5(a5)9， 20a5a259, 25a34，a .(2)设关于设关于x的不等式组的不等式组 无解，求无解，求m的取
11、值范围的取值范围 解：解： 不等式组无解，不等式组无解， ，3(m2)2(2m1)， 3m64m2, 3m4m26， m8，m8.5 5明确不等式组解集的意义明确不等式组解集的意义试题已知关于试题已知关于x的不等式组的不等式组 的整数解共有的整数解共有5个，个，求求a的取值范围的取值范围学生答案展示学生答案展示 解：由不等式组解：由不等式组 得得 又因为不等式组有又因为不等式组有5个整数解，个整数解， 所以所以ax2，这，这5个整数解应是个整数解应是3,2,1,0,1， 所以所以a3.易错警示易错警示剖析剖析 本题主要考查学生是否会利用逆向思维法解决含有待定字母本题主要考查学生是否会利用逆向思
12、维法解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解，此例错在忽视了在的一元一次不等式组的特解，此例错在忽视了在ax2中有中有5个个整数解时，整数解时，a虽不唯一，但也有一定限制，虽不唯一，但也有一定限制，a的取值范围在的取值范围在3与与4之间的任一处，其中包括之间的任一处，其中包括3但不包括但不包括4，所以在确定，所以在确定a的的取值范围时扩大了解的范围取值范围时扩大了解的范围正解正解 由由 得得 又因不等式组有又因不等式组有5个整数解，个整数解， 所以所以ax2.则知这则知这5个整数解应是个整数解应是3,2,1,0,1， 所以所以a的取值范围是的取值范围是4a3.批阅笔记批阅笔记 本题主要考查逆向
13、思维，一定要明确不等式组解集的意义，本题主要考查逆向思维，一定要明确不等式组解集的意义，可画数轴直观理解，如下图：可画数轴直观理解，如下图： 注意，包括注意，包括4则不等式组有则不等式组有6个整数解了个整数解了方法与技巧方法与技巧1. 可以对照一元一次方程来学习一元一次不等式，比较它们之间可以对照一元一次方程来学习一元一次不等式，比较它们之间的共同点和不同之处有助于准确掌握概念，有助于花较少的精的共同点和不同之处有助于准确掌握概念，有助于花较少的精力较好地掌握解题技能力较好地掌握解题技能2. 解一元一次不等式的全部过程，与解一元一次方程相比，只是解一元一次不等式的全部过程，与解一元一次方程相比
14、，只是最后一个步骤上有所变化所以，在熟练了解一元一次方程的最后一个步骤上有所变化所以，在熟练了解一元一次方程的基础上，解好一元一次不等式的关键是集中精力，细心完成好基础上，解好一元一次不等式的关键是集中精力，细心完成好最后一步最后一步用未知数的系数去除不等式的两边在这一步的用未知数的系数去除不等式的两边在这一步的思考上，应分三步：由思考上，应分三步：由(未知数未知数)系数的正负，确定原不等号的方系数的正负，确定原不等号的方向是否改变；由不等号两边的符号，确定商的符号；弄清谁除向是否改变；由不等号两边的符号，确定商的符号；弄清谁除谁，而不弄错商的绝对值谁，而不弄错商的绝对值思想方法思想方法 感悟
15、提高感悟提高3. 对于解得的一元一次不等式对于解得的一元一次不等式(组组)的解集是否正确，可以用以的解集是否正确，可以用以下方法检验：第一步，把解集的端点值分别代入原不等式的下方法检验：第一步，把解集的端点值分别代入原不等式的左边和右边，两边计算出来的数值应当相等；第二步，在所左边和右边，两边计算出来的数值应当相等；第二步，在所得解集中选一个，在代入原不等式的左边或右边后，计算比得解集中选一个，在代入原不等式的左边或右边后，计算比较简便的数，代入原不等式，原不等式应当成立较简便的数，代入原不等式，原不等式应当成立失误与防范失误与防范1. 解一元一次不等式的一般步骤是：解一元一次不等式的一般步骤
16、是：(1)去分母；去分母；(2)去括号；去括号；(3)移移项；项；(4)合并同类项；合并同类项；(5)系数化为系数化为1.首先在去分母时，容易漏乘首先在去分母时，容易漏乘了不含分母的项，其次是在最后一步利用不等式性质将系数化了不含分母的项，其次是在最后一步利用不等式性质将系数化为为1时，不等式的两边同时乘以时，不等式的两边同时乘以(或除以或除以)了相同的负数，不等号了相同的负数，不等号的方向没有改变，这些都是常见的错误的方向没有改变，这些都是常见的错误2. 解不等式组，需要先解出每一个不等式的解，最后找出它们的解不等式组，需要先解出每一个不等式的解，最后找出它们的公共部分解不等式在作变形时，一定要使用同解变形，不然公共部分解不等式在作变形时，一定要使用同解变形，不然就会出错就会出错3. “”、“”分别表示分别表示“大于或等于大于或等于”、“小于或等于小于或等于”的意思，的意思，二者只要其中一项成立，则由二者只要其中一项成立，则由“”、“”连接的不等式即成立，连接的不等式即成立，它们都包括后面连接的数它们都包括后面连接的数“非负整数非负整数”即即“不是负整数不是负整数”，包含了包含了0和正整数，此时和正整数，此时0易被忽略，从而造成漏解易被忽略，从而造成漏解完成考点跟踪训练 9