[理学]第四章功和能.ppt

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1、理学理学第四章功和能第四章功和能2上节回顾：上节回顾：PvmvmdtFIt102动量定理tdtFI0冲量0外FCvmPiiiii动量守恒定律动量守恒定律角动量角动量prL力矩力矩FrMM=0L=恒量恒量角动量守恒定律角动量守恒定律角动量定理角动量定理M=dL/dt3 4.1 功功 4.2 动能定理动能定理4.3 一对力的功一对力的功4.4 保守力保守力 4.5 势能（书势能（书4.5，4.6，4.7节）节）4.6 由势能求保守力（书由势能求保守力（书4.8节）节）4.7 功能原理，机械能守恒定律（书功能原理，机械能守恒定律（书4.9节）节） 4.8 守恒定律的意义（书守恒定律的意义（书4.10

2、节）节） 4.9 碰撞（书碰撞（书4.11节）节） 前言前言本章目录本章目录4前前 言言机械能守恒定律。机械能守恒定律。 功的计算是否依赖参考系？功的计算是否依赖参考系？ 势能是否与参考系的选择有关？势能是否与参考系的选择有关？ 机械能守恒是否与惯性系的选择有关？机械能守恒是否与惯性系的选择有关？ 摩擦生热是否与参考系选择有关？摩擦生热是否与参考系选择有关？本章讨论力本章讨论力对空间的积累效应对空间的积累效应 功、功、动能、动能、势能、势能、动能定理、动能定理、要求：要求：1.深入理解以上概念，深入理解以上概念，搞清它们是属于质点、搞清它们是属于质点、还是属于系统？还是属于系统？与参考系的选择

3、有无关系？与参考系的选择有无关系？2.搞清规律的内容、搞清规律的内容、 来源、来源、 对象、对象、适用条件、适用条件、与参考系的关系等。与参考系的关系等。如：如：5 4.1 功功（work）功：功：力和力所作用的质点（或质元）的位移的力和力所作用的质点（或质元）的位移的 Fdrm 12L )2()1()2()1(12ddrFWW 功依赖于参考系；功依赖于参考系； 功是标量，功是标量，rFdcos)2()1( 标量积。标量积。有正、负之分。有正、负之分。6例例1 1 一物体按规律一物体按规律 在媒质中在媒质中 作直线运动，式中作直线运动，式中 为常数，为常数， 为时间。为时间。 设媒质对物体的阻

4、力正比于速率的平方，设媒质对物体的阻力正比于速率的平方， 阻力系数为阻力系数为 ，试求物体由，试求物体由 运运 动到动到 时，阻力所作的功。时，阻力所作的功。解：解：2FFkv i 摩摩drdx cos1 dxdtv 33 6027LcAkc t dt 7233277kc L 3xct ctk0 x xL cosdAF dr 2Fkv 7例例2 2（ ）有一倔强系数为有一倔强系数为 的轻弹簧，原的轻弹簧，原 长为长为 ，将它吊在天花板上。当它下端，将它吊在天花板上。当它下端 挂一托盘平衡时，其长度变为挂一托盘平衡时，其长度变为 。然后。然后 在托盘中放一重物，弹簧长度变为在托盘中放一重物，弹簧

5、长度变为 。 则由则由 伸长至伸长至 的过程中，弹性力所的过程中，弹性力所 做的功做的功 A=？解：解：k0l1l2l1l2l2010llllAkxdx 22102012kllll 8例例3 3（ ）一质点在如图所示的坐标平面一质点在如图所示的坐标平面 内作圆周运动，有一力内作圆周运动，有一力 作用在质点上。在该质点从坐标原点运作用在质点上。在该质点从坐标原点运 动到动到 位置过程中，力对它所做位置过程中，力对它所做 的功为多少？的功为多少？BxyzAAF dxF dyF dz 0020dyFdxFRyx202002RFydyFR0()FFxiy j (0, 2 )RyxR9 4.2 动能定理

6、动能定理（kinetic energy theorem） 对质点，对质点，由牛顿第二定律，有由牛顿第二定律，有动能定理：动能定理：1212kkEEW 221vmEk 动能动能（对惯性系）（对惯性系） 对质点系，对质点系，有有动能定理：动能定理：12kkEEWW 内内外外（各质点位移不一定相同）。各质点位移不一定相同）。注意：注意：内力虽成对出现，内力虽成对出现， 但内力功的和不一定但内力功的和不一定为零为零10例例4 4（ ）试就质点受变力作用而且做一般试就质点受变力作用而且做一般 曲线运动的情况推导质点的动能定理。并曲线运动的情况推导质点的动能定理。并 说明定理的物理意义。说明定理的物理意义

7、。推导： 方法一：书 P181182方法二：BABAAF dr BAd vmv dtdt ()BxxyyzzAm v dvv dvv dv BABAAmv dv 11222111()xyzxyzvvvxxyyzzvvvmv dvv dvv dv 22211122mvmv 物理意义：物理意义：合外力对质点所做的功等于质点合外力对质点所做的功等于质点 动能的增量动能的增量12例例5 5（ ）一质点在二恒力作用下，位移为一质点在二恒力作用下，位移为: ,在此过程中，动能增量在此过程中，动能增量为为24J，已知其中一恒力，已知其中一恒力 则另一恒力所作的功则另一恒力所作的功 = ？解：解：iKBKAA

8、EE 2A24)83(3122A)(122JA )(2121dyFdxFxxyyyx2438 ()rij SI 1123 ()Fij SI 134.3 一对力的功一对力的功一一. 一对力：一对力：2211dddrfrfW 对对)d(d122rrf )d(122rrf 21dr：m2相对相对m1 的的212drf 分别作用在两个物体上的大小相等、分别作用在两个物体上的大小相等、 它们通常是它们通常是作用力与反作用力，作用力与反作用力，但也可不是。但也可不是。元位移。元位移。 yB2xB1 A1z A2o m1m2 r2r1方向相反的力。方向相反的力。二二. 一对力的功一对力的功 f1 f2r21

9、dr1dr214(1)表示初位形，即表示初位形，即 m1在在A1，m2在在A2；)d(d)2()1(121)2()1(21212 rfrfW对对 (2)表示末位形，即表示末位形，即 m1在在B1，m2在在B2 。况下，况下，1.W对对 与参考系选取无关。与参考系选取无关。说明：说明：2.一对滑动摩擦力的功恒小于零。一对滑动摩擦力的功恒小于零。（摩擦生热是（摩擦生热是一对一对滑动摩擦力作功的结果）滑动摩擦力作功的结果）3.在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情一对力的功必为零。一对力的功必为零。15NNv1Mv12光滑光滑m21v21v 不垂直于不垂直于N0

10、 NW2v 不不垂垂直直于于N 0 NW1212d,rNN v 即即0 NNWWW对对 例如：例如： 164.4 保守力保守力（conservative force） 一一. 定义定义这样的力称为这样的力称为保守力。保守力。(2)(1)L2L1r f m2d rL=L1+L2 m1 )2()1()2()1(ddrfrfL1L2 )2()1()1()2(ddrfrfL1L20d Lrf若若 为保守力，为保守力，f如果如果一对力的功与相对移动的路径无关，一对力的功与相对移动的路径无关，而只决定于相互作用物体的始末相对位置，而只决定于相互作用物体的始末相对位置，则：则：（此式也可作为（此式也可作为保

11、守力的定义）保守力的定义）17二二. 几种保守力几种保守力1.万有引力万有引力 rerGMmrd2)2()1( rrGMmrrd212 12rGMmrGMm 任何中心力任何中心力 都是保守力。都是保守力。rerf)(mrM f )2()1(12drfW对对d r(2)(1)r2r1rererrdd 182. 弹力弹力ikxf 一维运动时一维运动时x 对自然长度的增加量，对自然长度的增加量，k 弹簧的弹簧的劲度劲度（stiffness）。）。3. 重力重力gmP 重力并不是地球表面附近的万有引力。重力并不是地球表面附近的万有引力。三三. 非保守力非保守力 作功与路径有关的力作功与路径有关的力称为

12、称为非保守力。非保守力。 例如：例如： 摩擦力（耗散力）：摩擦力（耗散力）： 一对滑动摩擦力作功恒为负；一对滑动摩擦力作功恒为负； 爆炸力：爆炸力：作功为正。作功为正。19 4.5 势能势能（potential energy） 利用保守力的功与路径无关的特点，可引入利用保守力的功与路径无关的特点，可引入一一. 系统的势能系统的势能 Ep1221保保WEEEppp 其势能的减少其势能的减少(增量的负值增量的负值)等于保守内力的功。等于保守内力的功。若规定系统在位形（若规定系统在位形（0）的势能为零，）的势能为零， 则：则： )0()1(1drfEp保保“势能势能” 的概念。的概念。定义：定义：系

13、统由位形系统由位形(1)变到位形变到位形(2)的过程中，的过程中，20说明：说明：零点的选择与参考系的选择相混淆。零点的选择与参考系的选择相混淆。二二. 几种势能几种势能1.万有引力势能万有引力势能CrGMmrEp )(令令 ， 0)( pE rGMmrEp )(有有则则 C = 0，1.势能属于相互作用的系统；势能属于相互作用的系统；2.势能不依赖于参考系的选择，势能不依赖于参考系的选择，不要将势能不要将势能212.重力势能重力势能CmghhEp )(令令， 0)0( pEmghhEp )( 3.弹性势能弹性势能 CkxxEp 221)( 221)(kxxEp 令令 ，0)0( pE有有有有

14、224.6 由势能求保守力由势能求保守力一一. 由势能函数求保守力由势能函数求保守力dl f保保 ml f保保l =f保保 cos pElfdd 保保plElfdd 保保lEfpldd 保保 ，例例如如弹弹性性势势能能221kxEp 所以有：所以有：kxkxxfx )21(dd2 则则可可得得弹弹性性力力23通常通常 EP 可以是几个坐标的函数，可以是几个坐标的函数，lEfpl 保保，保保xEfpx ， ),(zyxEEpp 若若则有：则有：）（保保kzEjyEixEfppp pE grad EP 的的梯度梯度（gradient）zEfpz 保保，保保yEfpy pE grad此时有：此时有：

15、24zkyjxi 引引入入算算符符pEf 保保二二 . 由势能曲线求保守力由势能曲线求保守力rEp r0Or斜率斜率 = 0斜率斜率 0斜率斜率 0例：双原子分子势能曲线例：双原子分子势能曲线是引力。是引力。是斥力。是斥力。则有则有斜率斜率 0， r 0 ， fr r0 ：斜率斜率 = 0 ， fr = 0。r = r0 ：254.7 功能原理，机械能守恒定律功能原理，机械能守恒定律 一一. 功能原理功能原理（work-energy theorem）对质点系有：对质点系有：12kkEEWW 内内外外内内非非内内保保内内WWW ）（）（内内非非外外1122pkpkEEEEWW 引入系统的引入系统

16、的机械能机械能pkEEE 功能功能原理原理12EEWW 内内非非外外（积分形式）（积分形式）EWWddd 内非内非外外（微分形式）（微分形式）内内非非WEEpp )(1226二二. 机械能守恒定律机械能守恒定律 （ law of conservation of mechanical energy）在只有保守内力作功时，系统的机械能不变。在只有保守内力作功时，系统的机械能不变。常常量量，则则且且若若内内非非外外 EWW 0d0d即即 机械能守恒定律机械能守恒定律显然，显然，孤立的保守系统机械能守恒。孤立的保守系统机械能守恒。内保内保时，时，当当WEEEpk 0W保内保内 027三三. 普遍的能量

17、守恒定律普遍的能量守恒定律 如果考虑各种物理现象，计及各种能量，如果考虑各种物理现象，计及各种能量，则则 一个孤立系统不管经历何种变化，一个孤立系统不管经历何种变化， 系统所有能量的总和保持不变。系统所有能量的总和保持不变。 普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律 机械运动范围内的体现。机械运动范围内的体现。机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在 保守内力作功保守内力作功是系统是系统势能势能与与动能动能相互相互转化转化的手段和度量。的手段和度量。28四四.守恒定律联合应用举例守恒定律联合应用举例 例例1已知：已知：m = 0.2kg， M=2kg， v = 4.

18、9m/s 。求：求：hmax = ? 解：解：m + M + 地球：地球：W外外= 0，W内非内非 = 0 ， 当当 h= h max 时，时，M 与与 m有相同的水平速度有相同的水平速度 。V取地面取地面 Ep = 0，有：，有：)1()(2121max22mghEVMmEmpMpM v故机械能守恒。故机械能守恒。mvM光滑光滑 光滑光滑 hmax29gMmh211max2v 分析结果的合理性：分析结果的合理性： 量纲对。量纲对。gh22maxv 代入数据：代入数据：m11. 18 . 929 . 422 . 0112max h， 0Mm正确。正确。，2max21vmmgh 由由(1)、(2

19、) 得：得：m + M： 水平方向水平方向F外外= 0，故水平方向动量守恒，故水平方向动量守恒 mv =（m+M）V(2)30 4.9 碰撞碰撞（Collision）（书（书4.11节）节）碰撞）等规律对问题求解。碰撞）等规律对问题求解。碰撞过程一般都十分复杂，难于对过程的碰撞过程一般都十分复杂，难于对过程的细节进行分析。细节进行分析。但是通常我们只关心物体在但是通常我们只关心物体在碰撞前后运动状态的变化，碰撞前后运动状态的变化，而在碰撞中相对于而在碰撞中相对于内力（往往是冲击力）来说，内力（往往是冲击力）来说， 外力又往往可以外力又往往可以忽略。忽略。因而碰撞中我们就可以利用动量守恒、因而碰

20、撞中我们就可以利用动量守恒、角动量守恒角动量守恒和碰撞前后总动能不变（对弹性和碰撞前后总动能不变（对弹性书上的例题要认真阅读。书上的例题要认真阅读。31例例6 6（ ）半径为半径为R、质量为、质量为M、表面光滑、表面光滑 的半球，放在光滑的水平面上，在其正的半球，放在光滑的水平面上，在其正 上方放置一质量为上方放置一质量为m的小滑块，当小滑的小滑块，当小滑 块从顶端无初速地下滑，在如图所示的块从顶端无初速地下滑，在如图所示的 角位置处，开始脱离半球，试求：角位置处，开始脱离半球，试求： （1） 角满足的关系式角满足的关系式 （2）分别讨论）分别讨论 和和 时时 的取值的取值1mM1mMcos

21、M m32（1） 角满足的关系式角满足的关系式解：解： 当当m脱离脱离M时，时， ，mMM所受合外力所受合外力M的加速度的加速度2cos/mgmvR 0N 0F 合合外外0Ma 选选M为参照系，为参照系， 为为m相对于相对于M的速度的速度.v33（m+M）水平水平方向动量守恒：方向动量守恒：(m+M+地球地球)机械能守恒机械能守恒( cos)0m vVMV (1cos )mgR 212mmV 地地212MMV 地地212mmV地地212MMV地地212MV 221( cos)( sin )2m vVv342cos/mgmvR ( cos)0m vVMV (1cos )mgR 212MV 221

22、( cos)( sin )2m vVv35 结果：（1）（2）（舍掉）（舍掉）即：即：M一下滑出，一下滑出，m竖直落地竖直落地3cos3cos20mmM 1mM2cos3 1mM3cos3cos20 cos1 cos2 当：当：当：当：36例例7（ ）一质量为）一质量为m的小球从内壁为半球形的的小球从内壁为半球形的 容器边缘无摩擦地滑下，容器质量为容器边缘无摩擦地滑下，容器质量为M，内，内 壁半径为壁半径为R，放在光滑的水平面上，如图所，放在光滑的水平面上，如图所 示。开始小球与容器都处于静止状态，有人示。开始小球与容器都处于静止状态，有人 为了求出小球自容器边缘为了求出小球自容器边缘B滑至底

23、部滑至底部A处时，处时， 容器对小球的作用力，列出了如下方程容器对小球的作用力，列出了如下方程RmVmgN/21mgRmVMV21222121021MVmVBAoMm37 式中式中 和和 分别为小球到达分别为小球到达A处时小球和处时小球和容器对地的速度。试指出上述方程中哪个是容器对地的速度。试指出上述方程中哪个是错的，错在何处？说明原因并改正之。错的，错在何处？说明原因并改正之。2V1V 第第一一式错。式错。因为小球沿球形内壁滑下时，它相对于容因为小球沿球形内壁滑下时，它相对于容器作圆周运动，由于小球下滑，容器同时器作圆周运动，由于小球下滑，容器同时在桌面上滑动，在桌面上滑动，小球相对桌面小球

24、相对桌面作曲线运动，作曲线运动，轨迹不是圆周轨迹不是圆周。此人列的。此人列的第一式中的第一式中的R应是应是小球的轨迹在小球的轨迹在A A点时的曲率半径，而不是圆点时的曲率半径，而不是圆的半径的半径R R，此式错了。此式错了。38 正确解法是：正确解法是：选选容器容器为参照系，小球相对容器作圆周为参照系，小球相对容器作圆周运动，在小球落至运动，在小球落至A处这一时刻，处这一时刻，容器容器无竖直方向（法向）加速度，竖直方向无竖直方向（法向）加速度，竖直方向惯性力等于零。因此惯性力等于零。因此RmVmgN/2 121211VVVVV021MVmVmgRmVMV2122212139练习（练习（ ）如图

25、所示，一个质量为如图所示，一个质量为M=4kg 表面光滑的圆弧形凹槽，半径表面光滑的圆弧形凹槽，半径R=0.2m， 静止放在光滑的水平地面上。槽的静止放在光滑的水平地面上。槽的A端端 与圆弧中心与圆弧中心O在同一水平面上，在同一水平面上，B端和端和 O的连线与竖直线夹角为的连线与竖直线夹角为 ，有，有 一质量为一质量为m=1kg的小滑块自的小滑块自A端从静止端从静止 开始沿槽面下滑，求：滑块由开始沿槽面下滑，求：滑块由B端滑出端滑出 时，槽相对地面的速度。时，槽相对地面的速度。 6040oAB41练习（）解答2221221)sin(21)cos(2121cosVmVVmMVmgR0)cos(121VVmMVxxVVV122cos水平方向：设凹槽对地速度为V1向右，小滑块相对凹槽速度为V2 ,相对地速度为V2。1V2V2V122VVV42)/(cos1cos2cos21MmmRgMmmVsmV/144. 0143作业：作业：P226 230 4.4 4.5 4.8 4.10 4.20 第四章结束第四章结束