[工学]第一章 力和运动2.ppt

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1、工学工学第一章第一章 力和运动力和运动2 物理学的分支物理学的分支物理学物理学经典物理经典物理现代物理现代物理力学力学热学热学电磁学电磁学光学光学相对论相对论量子论量子论非线性非线性时间时间 t关关键键概概念念的的发发展展力学力学电磁学电磁学热学热学相对论相对论量子论量子论1600 1700 1800 1900b演绎法演绎法推理推理 演算演算b归纳法归纳法假设假设 模型模型b定性和半定量定性和半定量直觉直觉 想象力想象力 洞察力洞察力.物理学的研究方法物理学的研究方法大学物理与中学物理的区别大学物理与中学物理的区别教学内容教学内容 中学物理研究特殊性问题中学物理研究特殊性问题 大学物理研究一般

2、大学物理研究一般 性问题性问题数学工具数学工具 中学物理以初等数学和几何学为工具中学物理以初等数学和几何学为工具 大学物理以高等数学为工具大学物理以高等数学为工具学习方式学习方式 中学物理讲授内容和知识的消化全部在课内进行中学物理讲授内容和知识的消化全部在课内进行 大学物理课上以讲授知识为主，课下自已消化理大学物理课上以讲授知识为主，课下自已消化理解。解。 所以，大学课堂，教学内容多，进行速度所以，大学课堂，教学内容多，进行速度快，快， 作业数量少而精。作业数量少而精。力学力学物体位置随时间的变化物体位置随时间的变化力学力学运动学运动学动力学动力学（即在什么条件下，作什么样的运动）（即在什么条

3、件下，作什么样的运动）经典力学经典力学宏观宏观低速低速研究研究机械运动机械运动的规律的规律研究如何研究如何描述描述物体的机械运动物体的机械运动研究机械运动的研究机械运动的内在规律内在规律尺寸不太小尺寸不太小（与原子、分子比）（与原子、分子比）速度不太大速度不太大（与光速比与光速比）质点：质点：具有一定质量没有大小或形状的理想物体。具有一定质量没有大小或形状的理想物体。(1)理想模型理想模型 (为了简化问题为了简化问题)(2)条件条件 研究的问题中大小和形状不起显著作用研究的问题中大小和形状不起显著作用小小-质点质点 ?大大-不是质点不是质点? 地球地球 R-106 m 日地距离日地距离1011

4、m研究地球公转研究地球公转是质点是质点研究地球自转研究地球自转不是质点不是质点参考系：参考系：描述物体运动时，被选作参考的物体，称描述物体运动时，被选作参考的物体，称为参考系。为参考系。 要定量描述物体的位置与运动情况，就要运用要定量描述物体的位置与运动情况，就要运用数学手段，采用固定在参考系上的坐标系。数学手段，采用固定在参考系上的坐标系。 常用的坐标系有直角坐标系常用的坐标系有直角坐标系( (x x,y,z),y,z)，极坐标，极坐标系系( ( , , ) )，球坐标系，球坐标系( (R R, , , , ) )，柱坐标系，柱坐标系( (R R, , ,z ),z )。 x xy yz z

5、o oz z R R参考方向参考方向z zo o R Rx xy y 在运动轨道上任一点在运动轨道上任一点建立正交坐标系建立正交坐标系, ,其一根坐标轴其一根坐标轴沿轨道切线方向沿轨道切线方向, ,正方向为运动正方向为运动的前进方向；一根沿轨道法线的前进方向；一根沿轨道法线方向，正方向指向轨道内凹的方向，正方向指向轨道内凹的一侧。一侧。n显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。自然坐标系自然坐标系n切向单位矢量切向单位矢量法向单位矢量法向单位矢量n三、空间和时间三、空间和时间 x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t

6、 )ktzjtyitxtr)()()()( 直角坐标直角坐标 1 .运动学方程运动学方程: 自然坐标系自然坐标系)(tfs y( t ) r( t )P( t )0z( t )zy xx( t ) 运动方程的矢量式运动方程的矢量式 质点的位置随时间按一定质点的位置随时间按一定规律变化，位置用坐标表示为规律变化，位置用坐标表示为时间的函数，时间的函数，叫做叫做 运动方程运动方程。 注意运动方程与轨道方程区别注意运动方程与轨道方程区别x=Rcos ty=Rsin tx2+y2=R2轨迹方程轨迹方程2. 轨道方程轨道方程: 质点在空间运动所经过的路迹，质点在空间运动所经过的路迹，在运动方程中消去时间

7、在运动方程中消去时间 t .得到质点的轨迹方程。得到质点的轨迹方程。如如:(消去t)五五. .位置矢量（位矢）位置矢量（位矢）1.1.定义定义：由原点指向质点所在：由原点指向质点所在位置（场点）的有向线段。位置（场点）的有向线段。oPr 2.2.对直角坐标系：对直角坐标系：kzj yi xr大小：大小：222zyxr是矢量（矢量性）是矢量（矢量性）x z y z( t ) y( t )x( t ) r( t )P( t )0方向方向: :用方向用方向余弦表示余弦表示 六六. .位移位移-描述质点位置变化的物理量描述质点位置变化的物理量 r(t+t )r(t)rx y z 0S P1 P2（位矢

8、增量位矢增量） (位移矢量位移矢量)()(trttrr t时间内的时间内的位移位移kzj yixr 大小大小:P1P2间的直线距离间的直线距离方向方向: 由由P1 P2 路程路程 21pps曲线长曲线长 - 内质点在轨道上经过的路径长度内质点在轨道上经过的路径长度tr rr(1)r(2) 0r(2 ) . sr0 r0 sA(B)dsrd sr？位矢增量的大小位矢增量的大小(位移大小位移大小)位矢大小的增量位矢大小的增量 (1)位移与过程无关位移与过程无关S1 = S2ABrrr21注意区分注意区分、rr注意区分位移和路程注意区分位移和路程ABS21s 七七. . 速度速度速度速度是描述质点位

9、置随时间变化的快慢和方向的物是描述质点位置随时间变化的快慢和方向的物理量。理量。trv 1. 1.平均速度平均速度2.2.平均速率平均速率tvs平均速度是矢量，其方向与位移的方向相同。平均平均速度是矢量，其方向与位移的方向相同。平均速率是标量。平均速度的大小并不等于平均速率。速率是标量。平均速度的大小并不等于平均速率。例如质点沿闭合路径运动。例如质点沿闭合路径运动。r(t+t )r(t)rx y z 0S P1 P23.3.瞬时速度瞬时速度ttttt0)()(limrrv 当当 t t0 0时，时，P P2 2点向点向P P1 1点无限靠近。点无限靠近。tdd rtt0limr瞬时速度方向：瞬

10、时速度方向：r 的极限方向的极限方向即沿即沿P1点的切线并指向前进方向点的切线并指向前进方向r(t+t )r(t)rx y z 0S P1 P2dtrd kdtdzjdtdyidtdx kjizyx222zyx 速度的大小表示为速度的大小表示为速度的方向由下式决定速度的方向由下式决定vxV cosvvycosvvzcos直角坐标中直角坐标中的速度：的速度：描写沿轨道运动的快慢描写沿轨道运动的快慢瞬时速率瞬时速率:vdtdstsvt 0lim注意注意: 1. 速率即速度的大小是算术量，恒取正值速率即速度的大小是算术量，恒取正值tdrdtdrd. 2？vtdrdrvtdrdvv (t )v (t+

11、t )xr(t+t )r(t) y z P2 P1 0v (t )v (t+t )八、加速度八、加速度-描述质点速度变化情况描述质点速度变化情况(大小大小.方向方向)1.速度增量速度增量)()(ttt 注意注意 的方向的方向2.平均加速度平均加速度ta 大小大小方向方向t 的方向的方向xr(t+t )r(t) y z P2 P1 0v (t )v (t+t )3. 瞬时加速度瞬时加速度令令 t 0dtdtat 0lim22dtrd 与a方向是否一致方向是否一致？其方向是其方向是0t时时v的极限方向的极限方向,指向曲线凹的一边指向曲线凹的一边. 加速度与速度的夹角大于加速度与速度的夹角大于909

12、0 ，速率减小。，速率减小。加速度与速度的夹角等于加速度与速度的夹角等于9090 ，速率不变。，速率不变。vggv加速度与速度的夹角小于加速度与速度的夹角小于900，速率增大。速率增大。v远日点远日点近日点近日点vvvvvvvaaaaaaaavakdtzdjdtydidtxdkdtdjdtdidtdazyx222222 kajaiaazyx 222zyxaaaaa 的极限方向的极限方向方向方向:大小大小:指向轨迹曲线凹的一面指向轨迹曲线凹的一面aax cosaay cosaaz cos22dtrddtvda a直角坐标中直角坐标中的加速度的加速度运动学中的两大类问题运动学中的两大类问题1.微分

13、法微分法 )(trr )(),(tat 已知已知 求任意时刻求任意时刻 dtrd 22dtrda 2.积分法积分法已知初始条件已知初始条件)()(,00ttaar 或及求任意时刻求任意时刻)(,tr dtda dtad tdtadt00 dtrd trrdtrdt00 tdtat00)( tdtrtr00)( 例题例题 一质点沿一质点沿x轴做直线运动轴做直线运动,其运动方程为其运动方程为)(25 . 432SIttx试求试求: 第第2 2秒内的平均速度；秒内的平均速度；第第2 2秒内的平均速率秒内的平均速率；第第2 2秒末的速度。秒末的速度。解：5 .2)1 (x21618)2(x5 . 0)

14、 1 ()2(xxxsmtxv/5 . 05 . 1, 0069212ttttv(回头时刻）回头时刻）375. 3)5 . 1 (2)5 . 1 (5 . 4)5 . 1 (32xmxxxxs25. 2375. 1875. 0)5 . 1 ()2() 1 ()5 . 1 (smttdtdxvt/624186922xX(1)X(1.5)X(2)smtsv/25. 2 一质点运动方程为一质点运动方程为 。求。求:轨道方程并轨道方程并画出其轨道；画出其轨道；2秒时质点的速度和加速度；秒时质点的速度和加速度；第第2秒内质点的平秒内质点的平均速度；均速度；何时质点的速度与其位矢相垂直；何时质点的速度与其

15、位矢相垂直；何时质点离坐标何时质点离坐标原点最近原点最近?最近距离是多少最近距离是多少?)()219(22SIjti tr 解：解：22192tytx 2xt 2192xy oxy1938jtijdtdyidtdxv42 jjdtdvidtdvdtvdayx4 )(8212 smjiv)(422 smja jijijirrr62)219(2)819(412 )(621 smjitrv 0)182(4)219(44)219(2)42(222 tttttjti tjtirv何时质点的速度与其位矢相垂直何时质点的速度与其位矢相垂直0 ji注意注意求解得求解得01 tst32 st33 （舍去）（舍去

16、）何时质点离坐标原点最近何时质点离坐标原点最近?最近距离是多少最近距离是多少?22222)219(4ttyxr 01 tst32 st33 （舍去）（舍去）得得0 dtdr求极值求极值190 r373 r1rmr37min oxy19380r0v3r3v例题：一人站在崖上例题：一人站在崖上, 用绳子通过一滑轮向岸边拉一条小船用绳子通过一滑轮向岸边拉一条小船, 如图如图, 假设崖高为假设崖高为h , 拉绳的速率为拉绳的速率为 , 求：船靠岸的速率求：船靠岸的速率 v 和加速度的大小和加速度的大小a 。0vhx0vl022vxhxdtdlxldtdxv 222hlx dtdlldtdxx22 )(

17、0dtdlv 解：解：200)(xlxxlvvxldtddtdva )/()(2000200 xlxlvxvvxlvxvv 322032220 xhvxlxv 例题：一物体作直线运动，初速度为零，初加速度为例题：一物体作直线运动，初速度为零，初加速度为 , 出发后经过时间间隔出发后经过时间间隔2秒，加速度均匀增加秒，加速度均匀增加 , 求经过求经过 t 秒后物体的速度和离开出发点的距离。秒后物体的速度和离开出发点的距离。0a0a解：加速度：解：加速度：taaa 00 2000000200tatadttaaadtdvvttvv 3020020006220tatadttatavdtxtt )2(s

18、 dtavddtvda vdtdxdtdxv 例题：列车沿一水平直线运动，刹车后列车的加例题：列车沿一水平直线运动，刹车后列车的加速度速度 a = - kv，k为一正常数，刹车时的车速为为一正常数，刹车时的车速为 v0，求，求刹车后列车最多能行进多远？刹车后列车最多能行进多远？解：（方法一）解：（方法一）kvdtdva 一一维维情情况况：kdtvdv tvvkdtvdv00积积分分：又因为：又因为：dtdxv dtevdxkttxo00）（积积分分得得：ktekvx 10kvxt0max 时时得得：ktvv0lnktevv 0得：得：（方法二）（方法二）kvdxdvvdtdxdxdvdtdva

19、 即即dvk1dx 积分得积分得dvk1dx0vx00max kvx0max 一运动质点在某瞬时处于一运动质点在某瞬时处于 的端点的端点处，其速度的大小为处，其速度的大小为22)dtdy()dtdx()A( dtrd)B(dtdr)C(dtrd)D()y, x(r解：（解：（1 1）vvdtrd 故故(B)(B)错错（2 2）由图知）由图知dtdrdtdsdtrdv 1r2r12rrrddr dsrrrd12 故故(C)(C)、（、（D)D)错错（3 3）(A)(A)对。对。 一质点沿一质点沿X X轴作直线运动，其轴作直线运动，其v - tv - t曲线如图所曲线如图所示，如示，如t = 0t

20、 = 0时，质点位于坐标原点，则时，质点位于坐标原点，则t = 4.5st = 4.5s时，时，质点在质点在X X轴上的位置为轴上的位置为（A)0 (B)5m (C)2m (D)-2m (E)-5mA)0 (B)5m (C)2m (D)-2m (E)-5m解：对直线运动求位移时有解：对直线运动求位移时有vdtdx 积分得积分得 21tt12vdtxx为曲线与横轴所围的面积，上正下负。为曲线与横轴所围的面积，上正下负。带有正负号。带有正负号。v021 ) s/m(v) s ( t125 . 2345 . 4结果结果2 2米米 dtdsvv ),(ntene dtdvdtdvvdtda ndndd

21、 nRvndtdsRnRdtRdndtddtd 1 1.2 圆周运动和一般曲线运动圆周运动和一般曲线运动nRvdtdva2 naanRvdtdvvdtdan 2)( 称切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢；称切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢； 称法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的快慢。称法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的快慢。 anaanaaoo22naaa aan1tan 两组单位矢量两组单位矢量 ？kji与与n的区别是什么？的区别是什么？加速度加速度的大小的大小和方向和方向 在一般平面曲线运动中，曲率半径在一般平面曲线运动中，曲率半径 R是变化是变化的，通常用的，通

22、常用 来表示。来表示。naanvdtdvvdtdan 2)(匀速圆周运动匀速圆周运动 RvaadtdvCvn2,0,0,抛体运动抛体运动2021gtytvxgtvvvyx0222022tgvyxdtdvat2vanyxyxyx 2322)(如果已知)(xfy yy 232)1 (讨论讨论anata质点沿固定的圆形轨道，质点沿固定的圆形轨道， 若速率若速率 v 均匀增加，均匀增加，at 、an、a以及加速度与速度间的夹角中哪些量随时间变化？以及加速度与速度间的夹角中哪些量随时间变化？Rvan2 dtdvat tnaatg 变化变化 (v均匀均匀)不变不变变化变化变化变化22ntaaa 角量：角量

23、： 角位置：角位置： 角位移：角位移：角速度：角速度： 角加速度：角加速度： S ， 对应对应avr 线量：线量： S R RtRtstt lim00limvRx0S lim0dtdtt Rt 220limdtddtdtt 二、二、 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述 圆周运动中线量和角量圆周运动中线量和角量 之间的关系之间的关系 Rv RdtRddtdva )(22 RvRvan 2、切向加速度与角加速度、切向加速度与角加速度3、法向加速度与角速度、法向加速度与角速度1、线速度与角速度、线速度与角速度质点作匀变速圆周运动时，其角量的变化规律与质点作匀变速圆周运动时，其角量的变化规律与匀变速

24、直线运动中线量的规律相似，表示如下：匀变速直线运动中线量的规律相似，表示如下：200 21tt t 0 02022 角量的单位为角量的单位为 rad, rad/s , rad/s2。 一质点沿半径一质点沿半径 的圆周运动，其运动方程为的圆周运动，其运动方程为 ，式中，式中t t以以s s计，计， 以以radrad计。求：计。求：在在 时，质点的切向和法向时，质点的切向和法向加速度各是多少？加速度各是多少？ 时，质点的总加速度方向和半径成时，质点的总加速度方向和半径成 角。角。mR1 . 0 342t ? st2 045解：解：212tdtd tdtd24 st2 时时12248212 srad

25、 2248224 srad 28 . 4481 . 0 smRat 2224 .230481 . 0 smRan 因角速度和角加速度都大于零，质点加速运动因角速度和角加速度都大于零，质点加速运动 Otanaa0451450 tnaatgtnaa RR 2tt24)12(22 613 tradt67. 26142423 bbtvdtddtdvaot 切向加速度切向加速度 22RbtvRvaon 法向加速度法向加速度btvbttvdtddtdsvoo 221解：解： 由题意，可得该点的速率为由题意，可得该点的速率为 402222222)(1btvbRRRbtvbaaaont 加速度大小加速度大小加

26、速度的方向加速度的方向 Rbbtvarctg20)( 求该点在求该点在t时刻的加速度，时刻的加速度， t为何值时，该点的切向加速度与为何值时，该点的切向加速度与法向加速度的大小相等？已知飞轮的半径为法向加速度的大小相等？已知飞轮的半径为R , 、b是正的常量是正的常量 2021bttvs 飞轮边缘上一点所经过的路程与时间的关系为飞轮边缘上一点所经过的路程与时间的关系为 0vRbtvb20)( )(0btvbR bbRvt/ )(0 ROnataav求求:它的轨道方程；它的轨道方程；速度和加速度；速度和加速度；加速度的加速度的切向和法向分量；切向和法向分量；轨道曲率半径轨道曲率半径 与函数的关系

27、与函数的关系,在原点在原点(x=0,y=0 )处曲率的值处曲率的值.022 dtxdax122 dtydayja 221xy 解解: :由质点的运动方程可得由质点的运动方程可得 这就是质点的轨道方程这就是质点的轨道方程, ,它是一条抛物线它是一条抛物线1 dydxvxtdtdyvy j tiv 一个质点的运动方程为一个质点的运动方程为221ty tx 因为因为 2221tvvvvyx 21ttdtdvat 222ntaaa 222221111tttaaatn 2van 由于由于 2322221111tttavn 所以有所以有0 x在原点处在原点处 ,0 xt必有必有1 值为的值为的110222

28、2 yxaaaa轨道曲率半径轨道曲率半径 与函数的关系与函数的关系,在原点在原点(x=0,y=0 )处曲率的值处曲率的值.221tytx 01)1 ()(2322322 tyxyxyx22322211)1(1tttvan1-3 常见力和基本力常见力和基本力一、常见力一、常见力 common force1、重、重 力：力： ( Weight) 地球表面附近的物体受到地球的地球表面附近的物体受到地球的吸引作用。属于万有引力，重力加速度为：吸引作用。属于万有引力，重力加速度为： g2、弹性力：、弹性力： (Elastic force) 物体由于形变后要恢复原状，物体由于形变后要恢复原状，而产生的力。

29、（压力、支承力、张力、弹性回复力等）而产生的力。（压力、支承力、张力、弹性回复力等）3、摩擦力：、摩擦力： (Frictional force) 相互接触的物体在沿接触面相互接触的物体在沿接触面相对运动时，或有相对运动趋势时，在接触面之间产生一相对运动时，或有相对运动趋势时，在接触面之间产生一对阻止相对运动的力。（静摩擦力、动摩擦力、滑动摩擦对阻止相对运动的力。（静摩擦力、动摩擦力、滑动摩擦力、滚动摩擦力等）力、滚动摩擦力等） 二、基本力二、基本力 1、万有引力：、万有引力：(Gravitation) 任何物体与物体之间都存在着相互任何物体与物体之间都存在着相互吸引的力，这种力称为万有引力。吸

30、引的力，这种力称为万有引力。 万有引力定律万有引力定律：2210rmmGF 力的强度（力的强度（N）作用程（）作用程（m)1721010 01034 01021541010 4、弱、弱 力：力： ( weak nuclear force) 微观领域中的一种短程力，存在于强微观领域中的一种短程力，存在于强子和轻子（电子、中微子、子和轻子（电子、中微子、 子等）之间。子等）之间。2、电磁力、电磁力: (Electromagnetic force) 存在于静止电荷以及运动电荷之间存在于静止电荷以及运动电荷之间的电性力和磁性力，统称为电磁力。在的电性力和磁性力，统称为电磁力。在微观领域中，有些不带电的

31、中性粒子也微观领域中，有些不带电的中性粒子也参与电磁相互作用。参与电磁相互作用。3、强、强 力：力： (Strong nuclear force) 在微观领域中的一种短程力，存在于在微观领域中的一种短程力，存在于强子（核子、介子和超子）之间，强子（核子、介子和超子）之间，两质子间力2211/1067. 6kgmNG1.4 1.4 牛顿运动定律牛顿运动定律 一、牛顿第一定律一、牛顿第一定律 Newtons First Law 1、牛顿第一定律、牛顿第一定律 （惯性定律（惯性定律 the law of inertia） 表述表述1： 任何质点都将保持静止或匀速直线运动状任何质点都将保持静止或匀速直

32、线运动状态，直到其它物体对它作用的力迫使它改变这种态，直到其它物体对它作用的力迫使它改变这种状态；状态； 表述表述2： 任何质点，只要其它物体作用于它的所有任何质点，只要其它物体作用于它的所有力的合力为零，则该质点就保持静止或匀速直线力的合力为零，则该质点就保持静止或匀速直线运动状态不变。运动状态不变。2、力、力 Force 物体间的相互作用是多方面的（如电、光、热物体间的相互作用是多方面的（如电、光、热等），力是从一个方面反映了这种相互作用。任等），力是从一个方面反映了这种相互作用。任何力一定有施力物体和受力物体。何力一定有施力物体和受力物体。力是改变物体力是改变物体运动状态的根源。运动状态

33、的根源。3、惯性、惯性 inertia 任何物体都具有保持运动状态不变的顽固性任何物体都具有保持运动状态不变的顽固性 惯性，惯性是物质最基本的特性之一，量度惯惯性，惯性是物质最基本的特性之一，量度惯性大小的量称为质量。性大小的量称为质量。惯性是保持物体运动状态惯性是保持物体运动状态的根源。的根源。二、牛顿第二定律二、牛顿第二定律 Newtons Second Law3、瞬时性、矢量性、瞬时性、矢量性Instantaneity VectordtvdmamF 2、力的叠加原理、力的叠加原理The principle of superposition of force1、数学表达式、数学表达式Mat

34、hs ExpressionamamFRiiii 4、分量形式、分量形式components22dtxdmdtdvmFFxiixx 22dtydmdtdvmFFyiiyy 22dtzdmdtdvmFFziizz dtdvmmaFFii 2 vmmaFFniinn 对于平面曲线运动，可用切向和法向的投影式对于平面曲线运动，可用切向和法向的投影式二、牛顿第二定律的微分形式二、牛顿第二定律的微分形式 differential form vmpdtFpdFdtpd 或或2、牛顿第二定律的微分形式、牛顿第二定律的微分形式1 、动量的定义、动量的定义momentum三、牛顿第三定律三、牛顿第三定律 Newt

35、ons Third Law 1、牛顿第三定律的陈述、牛顿第三定律的陈述 作用力与反作用力是作用在两个不同的物体上，大作用力与反作用力是作用在两个不同的物体上，大小相等，方向相反，且在同一直线上，小相等，方向相反，且在同一直线上，同时出现同时同时出现同时消失，属于同种类型的力消失，属于同种类型的力。2、牛顿第三定律的数学表达式、牛顿第三定律的数学表达式BAABFF 牛顿运动定律的应用牛顿运动定律的应用Applications of Newtons Laws of motion 一、牛顿运动定律的适用范围一、牛顿运动定律的适用范围1、牛顿力学只适用于在惯性系内，解决低速运动问题牛顿力学只适用于在惯

36、性系内，解决低速运动问题 （何谓（何谓高速？高速？ ）（ 可与光速相比，可与光速相比， 相对论）相对论）2、牛顿力学只适用于宏观问题牛顿力学只适用于宏观问题 （何谓微观？）（何谓微观？）（ 分子、原子、电子、原子核等，量子力学）分子、原子、电子、原子核等，量子力学）二、应用牛顿定律求解质点动力学问题的一般步骤二、应用牛顿定律求解质点动力学问题的一般步骤1、选取研究对象（学会用隔离体法）选取研究对象（学会用隔离体法）2、分析受力情况画出受力图（找出全部力）、分析受力情况画出受力图（找出全部力）3、选取坐标系选取坐标系4、列方程求解列方程求解5、讨论讨论 一质量为一质量为 的物体沿的物体沿x轴运动

37、，已知轴运动，已知 时物体的位时物体的位置置 ，速度，速度 ，如果不计摩擦，试问：，如果不计摩擦，试问：在在 的作用下，物体移动了的作用下，物体移动了3米时，它的速度是多少？加速度是多少？米时，它的速度是多少？加速度是多少？在在 的作用下，物体移动了的作用下，物体移动了3秒钟时，它的速度是秒钟时，它的速度是多少？加速度是多少？多少？加速度是多少？kgm6 0 t00 x00 vNxF)43( NtF)43( 解：解：dtdvmmaF dxdvmvdxdxdtdvm vdvdxx6)43( 3006)43(vvdvdxx13 smv643xmFa 25 . 2 3 smamx时时合理合理所以所以

38、考虑到考虑到 3 0 0 10 smvav同理同理643tmFa 25 . 2 , 3 smast时时当当dttdv643 13023005 . 43121643 smttdttdvvv例题例题:计算一小球在水中竖直沉降的速度计算一小球在水中竖直沉降的速度 ，已知小球质量为，水，已知小球质量为，水对小球的浮力为对小球的浮力为B，水对小球运动的粘性力为，水对小球运动的粘性力为， 式中式中K是一常量是一常量。解解 ：受力分析受力分析： GBR 即：令：令：分离变量得：分离变量得：设初速为设初速为0，积分得：积分得：00）（KTKTT时时，T632.0K时时TK时时可可认认为为 （收尾速度）（收尾速

39、度）积分：积分： 利用：利用： 解：浮力解：浮力B是个变力：是个变力：xsgB lsgmgG sgxlxsglsgBGF)( dtdvlssgxldtdvmF )(:,即即vdxdvdtdxdxdvdtdv lvvdvlgdxxl00)( 例题例题1-13： 有一密度为有一密度为 的细棒，长度为的细棒，长度为l, 其上端用细线悬着，下端紧贴着密度为其上端用细线悬着，下端紧贴着密度为 的液体的液体表面，现将悬线剪断，求细棒在恰好全部没入液体中表面，现将悬线剪断，求细棒在恰好全部没入液体中时的沉降速度，设液体没有粘性。时的沉降速度，设液体没有粘性。 细棒的重力：细棒的重力：棒所受合外力：棒所受合外

40、力：由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：vdxdvlgxl )(则上式为则上式为:22222vllggl 得得:2)2(vgl glv 2例题例题:质量为质量为m的质点的质点,可沿半径为可沿半径为R的圆环内壁运动的圆环内壁运动,整个圆环水平地固定在一光滑桌面上整个圆环水平地固定在一光滑桌面上,已知质点与环已知质点与环壁的摩擦系数为壁的摩擦系数为 ,质点开始运动的速率为质点开始运动的速率为 ,求此后求此后任一时刻质点的速率及从任一时刻质点的速率及从A点开始所经过的路程点开始所经过的路程.0v解解:受力分析如图受力分析如图RvmNFn2 dtdvmfFrt RvmNfr2 dtdvvR 2 tvvvd

41、vdtR020 011vvtR tvRRvv 00 讨论讨论: 逐渐减小逐渐减小, 时时 ,然而如果然而如果 较大而较大而R又较小又较小,那么在不太长的时间内使那么在不太长的时间内使 )(tv t0v0v 时间时间t内经过的路程内经过的路程) 1ln( 00000RtvRtvRdtRvvdtstt 切向切向法向法向0vrfNA o例题例题:一链条总长为一链条总长为L,放在水平桌面上放在水平桌面上,其中一端下垂其中一端下垂,长为长为a,假定开始时链条静止假定开始时链条静止,链条与桌面间滑动摩擦系链条与桌面间滑动摩擦系数为数为 ,求链条刚离开桌面时的速度求链条刚离开桌面时的速度. 解解:以桌边为坐

42、标原点以桌边为坐标原点,设下垂部分设下垂部分长度长度(不是下降的距离不是下降的距离)为为x,则桌面上则桌面上部分长度部分长度L-x。设质量线密度为。设质量线密度为 ,则则任意时刻整个链条在切向所受的合任意时刻整个链条在切向所受的合力为力为 gxLxg)( 切向方向的动力学方程为切向方向的动力学方程为dtdvLgxLxg )(oxL-aaxTxg aL-xTfaxaTxg axLgxLT)()( 以局部为研究对象以局部为研究对象dxvdvdtdxdxdvdtdv 统一变量统一变量分离变量分离变量dxvdvLxLggx )( dxgxgLgxLvdv) ( 两端积分两端积分 dxgLgxLvdvL

43、av )1( 0 )( 2)()1(2121222aLgLaLgLv )( 2)()1(22aLgLaLgv L-aaox dxgLaagxLvdvaLv )()1(00 dtdvL )()( gxaLgxax 一质量为一质量为2kg的质点，在的质点，在xy平面上运动，受到外力平面上运动，受到外力 )(2442NjtiF 的作用，的作用，t=0时，它的初速度为时，它的初速度为10 42 smjiv求：求：t=1s时质点受到的法向力。时质点受到的法向力。解：解：jtimFa2122 dtjtidtavddtvda)122( 2 jti tvvdtjtivdtvv30203122 )122(0 j

44、titjti tjiv)44()23()42()43(33 ivst5 11 时时X方向（切向）方向（切向）)( 12 12 smjaastyn时时)( 24NjamFnn oyx)x( 1方向方向v)( nyaa 一质量均匀分布的绳子，质量为一质量均匀分布的绳子，质量为M，长度为，长度为L，一，一端拴在转轴上，并以角速度端拴在转轴上，并以角速度 在水平面上旋转。设转在水平面上旋转。设转动过程中绳子始终不打弯，且忽略重力，求距转轴为动过程中绳子始终不打弯，且忽略重力，求距转轴为r处绳子中的张力处绳子中的张力T。 rdrTT + dT解：在绳上取线元解：在绳上取线元dr受力如图受力如图根据牛顿二

45、定律根据牛顿二定律na )( dmdTTTrdrdT2 两端积分，考虑到两端积分，考虑到 r=L 处张力应为零处张力应为零rdrdTTLr 02 )(2)(21222222rLLMrLT drdm rdr2 例题：例题： 一重物一重物m用绳子悬起，绳子的另一端系在天花板上，用绳子悬起，绳子的另一端系在天花板上，绳长绳长l=0.5m, 重物经推动后，在一水平面内作匀速率圆周运重物经推动后，在一水平面内作匀速率圆周运动，转速动，转速 n = 1 r/s, 求这时绳和竖直方向所成的角度。求这时绳和竖直方向所成的角度。解：分别在解：分别在x、y方向应用牛方向应用牛II定律定律在竖直方向：在竖直方向：)

46、1(0cos mgT )2(sinmaT )4(sin4sin)sin2(2222 lnlnlRva )3(cossingatg 3160497. 05 . 0148 . 94cos222 lng在水平方向：在水平方向：由由(1)、(2)得：得：向心加速度：向心加速度：由由(4)和和(3)得：得： 例题：摩托快艇以速率例题：摩托快艇以速率v0行驶，它受到的阻力与行驶，它受到的阻力与速度平方成正比，速度平方成正比，F = - k v2 ,设快艇质量为设快艇质量为m ，求关闭发动机后，求关闭发动机后， （1）速度对时间的变化规律，）速度对时间的变化规律， （2）路程对时间的变化规律，）路程对时间的

47、变化规律， （3）证明速度与路程之间有如下关系：）证明速度与路程之间有如下关系：)/(0mkkevvxk dtdvmkvF 2 tvvvdvdtmk020当 t = 0 时 v = v0两边积分vvvtmkvv11100 tmkvv 011tkvvtkvmmvtmkvv 00000111即： 解：（解：（1）由牛）由牛II定律定律 （2）由速度定义）由速度定义vdtdxdtdxv xtvdtdx00当 t = 0 时 x = 0两边积分)1ln(1)1ln(11000000tkvktkvktvkdtvxtt （3）由牛）由牛II定律定律 xvvvdvdxmk00积分：dxdvmvdtdxdxd

48、vmdtdvmkvF 2vdvdxmk 即：0lnvvxmk xkxmkeevv 0 xkevv 0得：（证毕） 一质量为一质量为 的雪撬，沿着与水平面夹角的雪撬，沿着与水平面夹角 的斜的斜坡向下滑行，所受空气阻力与速度成正比，比例系数坡向下滑行，所受空气阻力与速度成正比，比例系数k未知。今未知。今测得雪撬运动的测得雪撬运动的v-t关系如图曲线所示，关系如图曲线所示， ，且，且曲线在该点的切线通过坐标为曲线在该点的切线通过坐标为 的的B点，随着时间点，随着时间t的增加，的增加，v趋近于趋近于 ，求阻力系数，求阻力系数k及雪撬与斜坡间的滑动及雪撬与斜坡间的滑动摩擦系数摩擦系数 。kgm4 09

49、.36 105v , 0 smt时时)8 .14 , 4(1 sms110 sm) 8 . 09 .36cos , 6 . 09 .36(sin 00 解：由解：由v-t曲线知曲线知201045. 2 ,5 0t smasmv时时0 , 10 1max asmvvt时时雪撬下滑过程中受力如图雪撬下滑过程中受力如图makvmgmg cos sinB（4,14.8）0 2 4 651015)(1 smv)(stmkvggat00cos sin 0 时时0cos sin max kvmgmgt 时时10max096. 1vma k Nsmv得得代入代入将将125. 0cossin kmax mgkv

50、mg式式得得代代入入将将 Nkvfmga1-5 非惯性系非惯性系 惯性力惯性力 伽利略相对性原理伽利略相对性原理 一、非惯性系一、非惯性系 noninertial system 牛顿定律不成立的参考系（相对于惯性系作加速运牛顿定律不成立的参考系（相对于惯性系作加速运动）。动）。 二、惯性力二、惯性力 inertial force 在非惯性系中，牛顿运动定律不适用，但是也可以假在非惯性系中，牛顿运动定律不适用，但是也可以假想，在非惯性系中，除了物体相互作用所引起的力以外，想，在非惯性系中，除了物体相互作用所引起的力以外，还有一种由于非惯性系而引起的力还有一种由于非惯性系而引起的力惯性力，这样就能