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1、数学函数知识点汇总二次函数知识点一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（ abc， ， 是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而 bc， 可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数2yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x 的最高次数是2abc， ， 是常数， a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项二、二次函数的基本形式1.2yax 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 2yaxc 的性质：上加下减，左加右减。3. 2ya xh的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对
2、称轴性质0a向上00，y轴0 x时，y随 x 的增大而增大；0 x时，y随x 的增大而减小；0 x时，y有最小值 0 0a向下00，y轴0 x时，y随 x 的增大而减小；0 x时，y随x 的增大而增大；0 x时，y有最大值 0 a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0 x时，y随 x 的增大而增大；0 x时，y随x 的增大而减小；0 x时，y有最小值 c 0a向下0c，y轴0 x时，y随 x 的增大而减小；0 x时，y随x 的增大而增大；0 x时，y有最大值 c 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 -
3、- - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - 4. 2ya xhk 的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2yax 的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移规律在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移；k 值正上移
4、，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：cbxaxy2沿y轴平移 :向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成mcbxaxy2（或mcbxaxy2）cbxaxy2沿轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=h xh 时，y随 x 的增大而增大；xh 时，y随x 的增大而减小；xh时，y有最小值 00a向下0h，X=h xh 时，y随 x 的增大而减小；xh 时，y随x 的增大而增大；xh时，y有最大值 0a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=h x
5、h 时，y随x的增大而增大；xh 时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值 k 0a向下hk，X=h xh 时，y随 x 的增大而减小；xh 时，y随x 的增大而增大；xh时，y有最大值 k 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - 四、二次函数2ya xhk与2yaxbxc的比较从解析式上看，2ya xhk 与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbya x
6、aa，其中2424bacbhkaa，五、二次函数2yaxbxc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()ya xhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10 x ，20 x ，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y轴的交点 . 六、二次函数2yaxbxc的性质1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa
7、时，y随 x 的增大而减小； 当2bxa时，y随 x的增大而增大； 当2bxa时，y有最小值244acba2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随 x 的增大而增大；当2bxa时，y随 x 的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2yaxbxc （ a ， b， c 为常数，0a） ；2. 顶点式：2()ya xhk （ a ， h， k 为常数，0a） ；3. 两根式：12()()ya xxxx（0a，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都
8、可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2yaxbxc 中，a作为二次项系数，显然0a 当0a时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - -
9、 当0a时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴 在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧总结起来，在a 确定的前
10、提下，b 决定了抛物线对称轴的位置ab的符号的判定：对称轴abx2在y轴左边则0ab，在y轴的右侧则0ab，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项 c 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0 ； 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c 决定了抛物线与y轴交点的位置总之，只要abc， ， 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，
11、选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - 1. 关于 x
12、 轴对称2ya xb xc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc ；2ya xhk 关于x轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ；2. 关于y轴对称2ya xb xc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk 关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ；3. 关于原点对称2ya xb xc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk 关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180）2ya xb xc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2ya xhk 关于顶点对称后，得到的解析式是2ya
13、 xhk 5. 关于点mn，对称2ya xhk 关于点mn，对称后，得到的解析式是222ya xhmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a永远不变 求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个
14、数： 当240bac时， 图象与 x轴交于两点1200A xB x，12()xx， 其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根这两点间的距离2214bacABxxa. 当0 时，图象与x 轴只有一个交点； 当0 时，图象与x 轴没有交点 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - 1当0a时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y；2当0a时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任
15、何实数，都有0y2. 抛物线2yaxbxc 的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0 ，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc 中a，b ，c的符号， 或由二次函数中a，b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)axbxc a本身就是所含
16、字母x的二次函数；下面以0a时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：12. 直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为 (0, c). （ 2 ） 与y轴 平 行 的 直 线hx与 抛 物 线cbxaxy2有 且 只 有 一 个 交 点(h,cbhah2). （3）抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根. 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离
17、 . （ 4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐0抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x 轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x 轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - -
18、 标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根. （ 5） 一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点 . （ 6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121图像参考：y=x22y=2x2y=x2y=-2x2y= -
19、x2y= -x22名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - y=2x2-4y=2x2+2y=2x2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x2十一、函数的应用二次函数应用刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x2名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理
20、归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - 二次函数考查重点与常见题型1 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数2)2(22mmxmy的图像经过原点，则m的值是2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数bkxy的图像在第一、二、三象限内，那么函数12bxkxy的图像大致是（） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D
21、3 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35x，求这条抛物线的解析式。4 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值， 有关试题为解答题，如：已知抛物线2yaxbxc （a0）与 x 轴的两个交点的横坐标是1、3，与 y 轴交点的纵坐标是32（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例 1 （1）二次函数2yaxbxc 的图像如图1，则
22、点),(acbM在（） A第一象限 B第二象限 C 第三象限 D 第四象限（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图2 所示， ?则下列结论：a、b 同号；当x=1 和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0；当 y=-2 时， x 的值只能取0. 其中正确的个数是（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - (1) (2) 【点评】弄清抛物线的位置与系
23、数a，b， c 之间的关系，是解决问题的关键例 2.已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴交于点 (-2 ，O)、(x1，0) ，且 1x12，与 y 轴的正半轴的交点在点(O，2) 的下方 下列结论： abO ；4a+cO，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D 4 个答案： D 会用待定系数法求二次函数解析式例 3.已知：关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=3 的一个根为x=-2 ，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3 ，2) 答案： C 例 4、 （20
24、06 年烟台市）如图（单位：m ） ，等腰三角形ABC以 2 米 /秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB与 CD重合设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2（1）写出 y 与 x 的关系式；（2）当 x=2，3.5 时， y 分别是多少？（3） 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴 . 例 5、已知抛物线y=12x2+x-52（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A、B，求线段AB的长【点评】本题（ 1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系例 6.已知：二次
25、函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4， 10) ， 交 x 轴于)0 ,(1xA，)0,(2xB两点)(21xx，交 y 轴负半轴于C点，且满足3AO=OB (1) 求二次函数的解析式；(2) 在二次函数的图象上是否存在点M ，使锐角 MCO ACO? 若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由(1) 解：如图抛物线交x 轴于点 A(x1，0) ，B(x2 ，O)，则 x1x2=30，又 x1O ，x1O ， 30A=OB ， x2=-3x1x1x2=-3x12=-3 x12=1. x10， x1=-1 x2=3点 A(-1 ， O)，P(4，10)代入解析
26、式得解得a=2 b=3 二次函数的解析式为y-2x2-4x-6 (2) 存在点 M使 MC0 ACO (2) 解：点 A关于 y 轴的对称点A(1 ，O)，直线 A，C解析式为 y=6x-6 直线 AC 与抛物线交点为(0，-6) ，(5，24) 符合题意的x 的范围为 -1x0 或 Ox5 当点 M的横坐标满足 -1xO 或 Ox ACO 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - 例 7、 “已知函
27、数cbxxy221的图象经过点A（c， 2） ，求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评：对于第（ 1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论 “函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用， 再结合条件 “图象经过点A （ c，2） ” ，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求
28、出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 解答 （1）根据cbxxy221的图象经过点A（c， 2） ，图象的对称轴是x=3，得, 3212, 2212bcbcc解得.2, 3cb所以所求二次函数解析式为.23212xxy图象如图所示。（2）在解析式中令y=0，得023212xx，解得.53,5321xx所以可以填“抛物线与x 轴的一个交点的坐标是（3+)0,5”或“抛物线与x 轴的一个交点的坐
29、标是).0,53(令 x=3 代入解析式，得,25y所以抛物线23212xxy的顶点坐标为),25,3(所以也可以填抛物线的顶点坐标为)25,3(等等。函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - 用二次函数解决最值问题例 1
30、 已知边长为4 的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中 AF=2 ，BF=1 试在 AB上求一点P，使矩形PNDM 有最大面积【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间例 2 某产品每件成本10 元，试销阶段每件产品的销售价x （元）?与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：x（元）15 20 30 y（件）25 20 10 若日销售量y 是销售价 x 的一次函数（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定
31、为多少元？?此时每日销售利润是多少元？【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b则1525,220kbkb解得 k=-1 ，b=40，?即一次函数表达式为y=-x+40 （2）设每件产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为w元 w=（x-10 ） （40-x ）=-x2+50 x-400=- （x-25 ）2+225产品的销售价应定为25 元，此时每日获得最大销售利润为225 元【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中， ?“某某”要设为自变量， “什么”要设为函数； （2）?问的求解依靠配
32、方法或最值公式，而不是解方程例 3.你知道吗 ?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m ，距地面均为1m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m 、25 m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是15 m，则学生丁的身高为( 建立的平面直角坐标系如右图所示) ( ) A15 m B1625 m C166 m D167 m 分析：本题考查二次函数的应用答案： B 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -
33、 - - - - - - - - 第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - 一次函数与反比例函数考点一、平面直角坐标系（3 分）1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意： x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。2、点的
34、坐标的概念点的坐标用（ a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当ba时， （a，b）和（ b，a）是两个不同点的坐标。考点二、不同位置的点的坐标的特征（3 分）1、各象限内点的坐标的特征点 P(x,y)在第一象限0,0 yx点 P(x,y)在第二象限0,0 yx点 P(x,y)在第三象限0,0 yx点 P(x,y)在第四象限0,0 yx2、坐标轴上的点的特征点 P(x,y)在 x 轴上0y， x 为任意实数点 P(x,y)在 y 轴上0 x， y 为任意实数点 P(x,y)既在 x 轴上，又在y 轴上x，y 同时为
35、零，即点P 坐标为（ 0， 0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x 与 y 相等点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于 x 轴、 y 轴或远点对称的点的坐标的特征名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 20 页 - - - - - - -
36、 - - 点 P 与点 p 关于 x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点 P 与点 p 关于 y 轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点 P 与点 p 关于原点对称横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于y（2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于x（3）点 P(x,y)到原点的距离等于22yx考点三、函数及其相关概念（ 38 分）1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与 y，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一确定的值
37、与它对应，那么就说x 是自变量， y 是 x 的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应
38、的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。考点四、正比例函数和一次函数（310 分）1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果bkxy（k，b 是常数， k0） ，那么 y 叫做 x 的一次函数。特别地，当一次函数bkxy中的 b 为 0 时，kxy（k 为常数， k0） 。这时， y叫做 x 的正比例函数。2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数bkxy的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kxy的图像是经过原点（0，0）的直线。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - -
39、- - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - k 的符号b 的符号函数图像图像特征k0 b0 y 0 x 图像经过一、二、三象限，y 随 x的增大而增大。b0 y 0 x 图像经过一、三、四象限，y 随 x的增大而增大。K0 y 0 x 图像经过一、二、四象限，y 随 x的增大而减小b0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；（2）当 k0 时， y 随 x 的增大而增大（2）当 k0 k0 时，函数图像的两个分支分别x 的取值范围是x0，y 的取值范围是y0；
40、当 k0 a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - abac442） ；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时，y 随 x 的增大而增大， 简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=ab2时， y 有最小
41、值，abacy442最小值abac442） ；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时， y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=ab2时， y 有最大值，abacy442最大值2、二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，中，cb、a的含义：a表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上， ， ，a0 时，图像与x 轴有两个交点；当=0 时，图像与x 轴有一个交点；当0 时，图像与x 轴没有交点。补充：1、两点间距离公式 （当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）y 如图：点A 坐标为（ x1，y1）点 B 坐标为（ x2，y2）则 AB 间的距离，即
42、线段AB 的长度为221221yyxxA 0 x B 2、函数平移规律（中考试题中，只占3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）3、直线斜率：1212tanxxyykb为直线在 y轴上的截距名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - 4、直线方程：一般两点斜截距 1，一般一般直线方程 ax+by+c=0 2，两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式:)(11
43、2121xxxxyyyy - 最最常用，记牢3，点斜知道一点与斜率)(11xxkyy4，斜截斜截式方程，简称斜截式: ykxb(k0) 5 ，截距由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：1byax记牢可大幅提高运算速度5、设两条直线分别为，1l：11yk xb2l：22yk xb若12/ll，则有1212/llkk且12bb。若12121llkk6、点 P（x0，y0）到直线 y=kx+b( 即： kx-y+b=0) 的距离 : 1) 1(2002200kbykxkbykxd对于点 P（x0，y0）到直线滴一般式方程ax+by+c=0 距离有名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - -