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1、学习必备欢迎下载八年纪数学培优训练题补形法的应用班级 _ 姓名 _ 分数 _一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“ 补形” 来进行的，即添置适当的补助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力和解题技巧。我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为 “ 补形 ” 的对象。现就常见的添补的图形举例如下，以供参考。一、补成三角形1.补成三角形例 1.如图 1，已知 E 为梯形 ABCD 的腰 CD 的中点；证明： ABE 的面积等于梯形A
2、BCD 面积的一半。分析： 过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。略证：2.补成等腰三角形例 2 如图 2.已知 A90 ，ABAC ， 1 2，CE BD，求证： BD2CE 分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现CF2CE，再证 BDCF 即可。略证：3.补成直角三角形例 3.如图 3， 在梯形 ABCD 中，AD BC， B C 90 ，F、G 分别是 AD 、BC 的中点，若BC18，AD 8，求 FG 的长。分析：从B、 C 互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长 BA、CD，要求
3、 FG，需求 PF、PG。略解：图 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载4.补成等边三角形例 4.图 4， ABC 是等边三角形，延长BC 至 D，延长 BA 至 E，使AEBD ，连结 CE、ED。证明： ECED 分析： 要证明 EC ED，通常要证 ECD EDC ，但难以实现。 这样可采用补形法即延长BD 到 F，使 BFBE，连结 EF。略证：二、补成特殊的四边形1.补成平行四边形例 5.如图 5，四边形 ABCD 中， E、F、G、H 分别是 AB、CD、AC 、BD 的中点，并且E、F、
4、G、H 不在同一条直线上，求证：EF 和 GH 互相平分。分析： 因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论， 需考虑四边形CEDF 是平行四边形。略证：2.补成矩形例 6.如图 6，四边形 ABCD 中， A60 ，B D90 ，AB 200m，CD100m，求 AD 、 BC 的长。分析： 矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。略解：图 6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载3.补成菱形例 7.如图 7，凸五边形ABCDE 中，
5、A=B120 ，EAAB BC2，CDDE 4，求其面积分析：延长EA、 CB 交于 P，根据题意易证四边形PCDE 为菱形。略解：4.补成正方形例 8.如图 8，在 ABC 中， AD BC 于 D， BAC 45 ，BD 3， DC2。求 ABC的面积。分析：本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，如果从题设 BAC 45 ，AD BC 出发， 可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信息，那么问题立即可以获解。略解：5.补成梯形例 9如图 9，已知： G 是 ABC 中 BC 边上的中线的中点，L 是 ABC 外的一条直线，自 A、B、C、G 向 L 作垂线，垂足分别为A1
6、、 B1、C1、G1。求证： GG141(2AA1BB1CC1)。分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当，故过D 作 DD1L 于 D1，则 DD1既是梯形 BB1C1C 的中位线，又是梯形DD1A1A 的一条底边，因而，可从到运用梯形中位线定理突破，使要证的结论明显地显示出来，从而使问题快速获证。略证：图 7图 9图 8图 9 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载三、练习 1、在 ABC 中，AC=BC ，D 是 AC 上一点，且AE 垂直 BD 的延长线于
7、E，又 AE=12BD ，求证： BE 平分 ABC 。2、如图，已知：在ABC 内， BAC=60， ACB=40，P、Q 分别在 BC、CA 上，并且AP 、 BQ分别是BAC 、 ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP 3、已知： BAC=90，AB=AC ，AD=DC ，AEBD，求证： ADB= CDE 4、 设正三角形ABC 的边长为 2， M 是 AB 边上的中点， P是 BC 边上的任意一点， PA+PM的最大值和最小值分别记为S和，求： S2 t2的值。A B Q C P A B C D E A B C P M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页