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1、1 线段的垂直平分线与角平分线(1) 知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：定理的数学表示：定理的作用 ：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.经典例题：例 1如图 1，在 ABC 中，BC8cm，AB 的垂直平分线交AB 于点 D，交边 AC于点 E， BCE 的周长等于18cm，则 AC 的长等于（）A6cmB8cm C10cmD12cm 针对性练习：已知： 1、如图， AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交AC 于点 E，如果 EBC 的周长是 24cm，那么 BC= 2、如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交 AB
2、于点 D，交 AC 于点E，如果 BC=8cm，那么 EBC 的周长是3、如图， AB=AC,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，如果 A=28 度，那么 EBC 是m图1DABCC E B D A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页2 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：定理的数学表示：定理的作用 ：证明一个点在某线段的垂直平分上.例 2.如图，已知：在ABC中，90C，30A，BD 平分ABC交 AC于 D.求证： D 在 AB 的垂直平分线上. 针对性练习：已知
3、：在 ABC 中，ON 是 AB 的垂直平分线 ,OA=OC 求证：点 O 在 BC 的垂直平分线例 3、如图 8，已知 AD是ABC的 BC边上的高，且 C2B，求证： BD AC CD.证明：例 4如图，已知：AD 平分BAC，EF 垂直平分AD ，交 BC 延长线于F，连结 AF。求证：CAFB。m图2DABC图8BCDAB A C O N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页3 3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：定理的数学表示：定理的作用 ：证明三角形内的线段相等. （2）
4、三角形 三边垂直平分线的交点位置与 三角形形状 的关系：课堂练习：1. 如图， AC =AD ，BC =BD ，则（）A.CD垂直平分 AD B.AB垂直平分 CD C.CD平分 ACB D.以上结论均不对2. 如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形3. 下列命题中正确的命题有（）线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条；点 P在线段 AB外且 PA =PB ，过 P作直线 MN ，则 MN是线段 AB的垂直平分线；过线段上任一点可以作
5、这条线段的中垂线. A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个4. 已知如图，在 ABC 中，AB =AC ，O是ABC 内一点，且 OB =OC ，求证： AO BC. 5. 如图，在 ABC中，AB =AC ，A=120，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N. 求证： CM=2BM. jik图3OBCA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页4 APBFEC线段的垂直平分线与角平分线（2）知识要点详解4、角平分线的性质定理：定理的数学表示：定理的作用 ：证明两条线段相等；用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它
6、的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：定理的数学表示：定理的作用 ：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系. 经典例题：例1：已知：如图，点B、C在A 的两边上，且 AB=AC ，P为A 内一点，PB=PC，PE AB ，PFAC ，垂足分别是 E、F。求证： PE=PF 针对性练习：已知：PA、PC 分别是 ABC 外角 MAC 和 NCA 平分线，它们交于P，PDBM 于 D，PF BN 于 F，求证： BP 为 MBN 的平分线。例 2、如图 10，已知在直角梯形ABCD 中，ABCD
7、，AB图 4CDOABFE图 10FCDBAE图5CDOABP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页5 BC ，E为 BC中点，连接 AE、DE ，DE平分 ADC ，求证： AE平分 BAD. 例 3、如图 11-1 ，已知在四边形ABCD 中，对角线 BD平分 ABC ，且 BAD与BCD互补，求证： AD CD. 课堂练习：1. ABC 中，AB=AC ，AC 的中垂线交 AB 于 E，EBC 的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为 _ 。2. 如图所示， AB/CD ，O 为A、C 的平分线的交点， OEAC
8、于E，且 OE=2，则 AB 与 CD 之间的距离等于 _ 。6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：定理的数学表示：图 6EFDIPRQBCA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页6 定理的作用 ：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题. （2）三角形 三条角平分线的交点位置与 三角形形状 的关系：7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.课后作业：1
9、、 在 ABC 中， AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为40，则底角B 的大小为 _。2、 在 ABC 中， AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为 50， ABC 的底角 B 的大小为 _。3、如图 7，在 ABC中， AC 23，AB的垂直平分线交AB于点 D ，交 BC于点E， ACE的周长为 50，求 BC边的长 . 4、如右图，已知BE AC于 E，CF AB于 F，BE 、CF相交于点 D ，若BD =CD . 求证： AD平分 BAC . 图 7EDACB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页7 5、 如图所示，直线lll123， ，表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处l3l1l2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页