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1、文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 1 页 共 19 页高中数学必修 （1）资料第二章 基本初等函数本章承袭第一章，包含三类基本函数，在学习过程中，会用到第一章所学的函数的性质。本章所包含的三类函数，定义域又有了新的限制条件，图像也各有不同，在解题过程中，同学们一定要习惯去画图。第一部分指数函数1根式(1)根式的概念如果一个数的n 次方等于a(n1 且， nN*)，那么这个数叫做a 的 n 次方根也就是，若xna，则 x叫做a 的 n 次方根，其中n1 且 nN*.式子na叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数(2)根式的性质 当 n 为奇数时， 正数的 n 次方根是
2、一个正数，负数的 n 次方根是一个负数，这时，a 的 n 次方根用符号na表示 当 n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号na表示，负的 n 次方根用符号na表示正负两个n 次方根可以合写为na(a0)nana. 当 n 为奇数时，nana；当 n 为偶数时，nan |a| aa0 a a0. 负数没有偶次方根2有理数指数幂(1)幂的有关概念 正整数指数幂：anaa (nN*)； 零指数幂： a01(a0) ； 负整数指数幂：a-p1ap(a 0， pN*)； 正分数指数幂：amnnam(a0， m、 n N*，且 n1)； 负分数指数幂：amn
3、1amn1nam(a 0，m、nN*且 n1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 2 页 共 19 页【注】若a0，p 是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用3指数函数的图象与性质yaxa1 0a1 图象定义域R 值域(0， ) 性质过定点 (0,1) x0 时， 0y 1 x0 时， y 1. 在( ， )上是减函数当 x0 时， 0y1；当 x0 时， y 1；在( ， )上是增函数【注 1】当底数没有确定又涉及
4、函数的单调性问题时，要对指数函数和对数函数的底10a或1a进行讨论。【注 2】第一象限中 ,指数函数底数与图象的关系【分析考向】考向一：指数式与根式运算问题指数幂的化简与求值的原则及结果要求1化简原则(1)化负指数为正指数；(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数；(4)注意运算的先后顺序精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 3 页 共 19 页2结果要求(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；(
5、3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂. 专题一指数与指数幂的运算例 1（1）2)10(（2）44)3(（3）2)(ba例 2已知0a，将a aa化为分数指数幂的形式为_.例 3化简下列各式：（1）)31()3(656131212132bababa，其中0a，0b. （2）)3)(2(32213141yxyx（3）5354215658)(baba例 4计算347625223.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 4 页 共 19 页巩固练习
6、：1.有下列四个命题：其中正确的个数是（）正数的偶次方根是一个正数； 正数的奇次方根是一个正数；负数的偶次方根是一个负数； 负数的奇次方根是一个负数。A.0 B.1 C.2 D.3 2.给出下列4 个等式：aa2；aa2)(；aa33；aa33)(。其中不一定正确的是（）A. B. C. D. 3.化简)21)(21)(21)(21)(21(214181161321，结果是（）A.1321)21(2121B.1321)21(C.32121D.)21(213214.（1）35212的平方根是.（2）52 674 364 2=_. 5.若x满足5)31(44x,则 x 的值为. 6.334433)
7、2()4()2(. 7.化简下列各式（其中各字母均为正数）（1）21332121231)4()3(65bababa（2）340318)54(064.0（2）3438583213124434181)27()16()3(zyxyxzyx（4）1120322564()0.1()(3 )927精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 5 页 共 19 页专题二比较大小例 1已知3153a，2153b，2134c，则 a,b,c 三个数的大小关系是（）A.bacB.abcC.cb
8、aD.cab例 2比较0.7a与0.8a的大小例 3比较221xa与22xa（0a，且1a）的大小巩固练习：1.已知 ab,ab0下列不等式（1）a2b2,(2)2a2b,(3)ba11,(4)a31b31,(5)(31)a(31)b中恒成立的有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个2.若103aa，则 a 的取值范围为 _3.设5.014y，48. 028y，5.13)21(y，则（）A. 213yyyB. 312yyyC.321yyyD. 231yyy4.比较1. 04.1与3. 09 .0的大小 . 5.122、133、166这三个数的大小关系为（）A. 166133122B. 1
9、66113223C. 122133166D. 133122166精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 6 页 共 19 页专题三指数式的化简求值例 1已知3 3,a求322123( 3)9a ba bab的值。例 2已知12,27xyxy，且xy。 求11221122xyxy的值。例 3已知32121aa，求下列各式的值。（1）1aa（2）22aa（3）21212323aaaa巩固练习：1.已知221xa，求33xxxxaaaa的值。精选学习资料 - - - - -
10、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 7 页 共 19 页2.已知32121xx，求23222323xxxx的值3.已知333czbyax，且1111zyx，求证：31313131222)(cbaczbyax.专题四指数函数类型一指数函数的定义1.下列函数中指数函数的个数是（）xy32；13xy；xy3 ；3xyA.0 个B.1 个C.2个D.3 个2.2(33)xyaaa是指数函数，则a的值为. 类型二指数函数过定点问题1.指数函数xay) 10(aa且恒过点 _. 2.指数函数( )f x的图
11、象过点)9 ,2(,则( 2)f_. 3.函数5( )26xf x恒过定点. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 8 页 共 19 页类型三指数函数的单调性例 1讨论函数xxf322)(的单调性，并求其值域。例 2讨论函数xxxf22)31()(的单调性，并求其值域。例 3讨论函数2)21()41(1xxy的单调性。例 4若函数221(0 xxyaaa且1)a在 1 1x上的最大值为14,求 a 的值 . 巩固练习：1.求下列函数的单调性：（1）1212xxy（2
12、）xxy422精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 9 页 共 19 页（3）1329xxy（4）xy3)31(2.已知21x，求函数xxxf9323)(1的最大值和最小值。3.已知 2, 3x，求12141)(xxxf的最小值与最大值。类型四利用单调性解不等式例 1不等式 622xx 0 , a 1 ；0,1mm). 5.两个常用的推论：（1）loglog1abba；（ 2）loglogmnaanbbm（a、0b且均不为1）6.常用的结论：（1）01loga，（
13、2）1log aa. （3）对数恒等式:如果把Nab中的 b 写成Nalog, 则有NaNalog. 三、常用对数1.我们通常将以10 为底的对数叫做常用对数为了简便 ,N 的常用对数N10log简记作 lgN例如：5log10简记作lg5 ; 5. 3log10简记作 lg3.5. 2.自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828 为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便， N 的自然对数Nelog简记作 lnN四、对数函数1.对数函数的定义：函数xyalog)10(aa且叫做对数函数，定义域为),0(2.对数函数的图像精选学习资料 - - - - - - - - - 名
14、师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 14 页 共 19 页通过列表、描点、连线作xy2log与xy21log的图象：总结： 根据图像可知xy2log与xy21log的图象是关于x 轴对称。3.在同一坐标系中画出下列对数函数的图象。（1）xy2log（2）xy21log（3）xy3log（4）xy31log3.对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质a1 0a 1 图象32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2
15、.5-112345678011性质定义域：（ 0，+ ）值域： R过点（ 1，0），即当x=1 时， y=0 )1 ,0(x时，0y), 1(x时，0y)1 ,0(x时，0y),1 (x时，0y在（ 0， + ）上是增函数在（ 0，+ ）上是减函数专题一对数与指数的换算1.对数式与指数式的转化：（1）62554（2）38log2（3）16)41(232.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
16、 -第 14 页，共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 15 页 共 19 页专题二对数的运算性质1.求下列各式的值：（1）log26log23 （2）lg5lg2 （3）log53log513（4）log35log315 2.（1）求32log9log278的值 . （2）求证：zzyxyxlogloglog. 巩固练习：（1）计算5log4log85. （2）已知ba4log,3log55，求：12log25（用 a,b 表示） . 3.计算（ 1）8log22_；（ 2）5log22_；（ 3）8log5 .02_. 巩固练习：（1）0.21 log35；（2
17、）4492log 3 log 2log32精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 16 页 共 19 页4.化简（1）25log4_； （2）25log51_； （3）9lg243lg=_； （4）aalog_ （10aa且） ；（5）1loga_. 专题三对数函数的综合运算例 1计算：（1）lg14-2lg37+lg7-lg18 （2）2.1lg10lg38lg27lg巩固练习：（1）lg27lg8lg 1 000lg1.2；（2）(lg5)2lg2 lg50.
18、例 2计算：（ 1）0.21 log35；（2）4492log 3 log 2log32巩固练习：求值：（1）1log864log325log21025；（2）lg25+lg2lg50+(lg2)2 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 17 页 共 19 页例 3已知a3log2，b7log3，用a, b 表示56log42. 例 4若8log 3p，3log 5q，求lg 5例 5计算：421938432log)2log2)(log3log3(log例 6
19、若2loglog8log4log4843m，求 m 例 7已知 lga 和 lgb 是关于 x 的方程 x2xm0 的两个根，而关于x 的方程 x2(lga)x(1lga)0 有两个相等的实数根，求实数a，b 和 m 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 18 页 共 19 页例 8计算：12lg)2(lg52lg)2(lg222.例 9设1643tzyx，求证：yxz2111巩固练习：1.已知 2x3y，则xy（）A.lg2lg3B.lg3lg2C.lg23
20、D.lg322.若 lg2a，lg3b，则 log512=_. 3.求值： (1)2log2)(log3log3(log9384；(2)32log9log278；(3)5log2139.4.已知18log9a，185b，求36log45（用a, b 表示）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 19 页 共 19 页5.已知 3a5bM，且1a1b2，求 M 的值 . 6.计算：（ 1）3log15.222ln1001lg25.6loge（2）2)2(lg50lg2lg25lg7.若alg、blg是方程01422xx的两个实根，求：2)(lg)lg(baab的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页