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1、学习必备欢迎下载第四章数列 例 1 已知数列1，4， 7，10， 3n+7, 其中后一项比前一项大3. （1）指出这个数列的通项公式；（ 2）指出 1+4+（3n5）是该数列的前几项之和.正解： （1）an=3n2;(2) 1+4+ +（3n5）是该数列的前n1 项的和 . 例 2 已知数列na的前n项之和为nnSn2212nnSn求数列na的通项公式。正解 ：当1n时，111Sa当2n时，34)1()1(2222nnnnnan经检验1n时11a也适合，34nan当1n时，311Sa当2n时，nnnnnan21) 1() 1(122nan23)2() 1(nn 例 3 已知等差数列na的前 n
2、 项之和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则 S40等于。正解 ：由题意：7022930301029101011dada得152,521da代入得 S401204023940401da。 例 5 已知一个等差数列na的通项公式an=255n，求数列|na的前 n 项和；正解 ：6,502)5)(520(5,2)545(nnnnnn 例 6 已知一个等差数列的前10 项的和是310，前 20 项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？ 例 7 已知：nna12lg1024（3010.02lg）Nn（1） 问前多少项之和为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总
3、结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载最大？（ 2）前多少项之和的绝对值最小？解 ： （ 1）02lg102402lg)1(10241nanann3403340112lg10242lg1024nn3402n（2）0)2lg(2)1(1024nnnSn当nnSS或0近于 0 时其和绝对值最小令：0nS即 1024+0)2lg(2) 1(nn得：99.680412lg2048nNn6805n 例 8 项数是n2的等差数列， 中间两项为1nnaa 和是方程02qpxx的两根， 求证此数列的和nS2是方程0)lg(lglg)lg(lglg2222pnxpnx的根。（02n
4、S）证明： 依题意paann1paaaannn121npaanSnn2)(22120)lg(lglg)lg(lglg2222pnxpnx0)lg(lg2npxnSnpx2（获证）。四、典型习题导练1已知nnnSaa2311且，求na及nS。2设) 1(433221nnan，求证：2)1(2)1(2nannn。3. 求和 : n3211321121114. 求和：)12()34()9798()99100(222222225. 已知cba,依次成等差数列，求证：abcacbbca222,依次成等差数列.6. 在等差数列na中，40135aa，则1098aaa（） 。A72 B 60 C48 D36
5、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载7. 已知na是等差数列，且满足)(,nmmananm，则nma等于 _。8. 已知数列21na成等差数列，且713,61153aa，求8a的值。4.2 等比数列的通项与求和三、经典例题导讲 例 1已知数列na的前 n 项之和 Sn=aqn（qqa, 1,0为非零常数） ，则na为（） 。A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列正解 ：当 n1 时， a1=S1aq; 当 n1 时，)1(11qaqSSannnnqaan
6、n 1（常数）但qqaa112na既不是等差数列，也不是等比数列，选C。 例 2已知等比数列na的前 n 项和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则 S40等于 . 错解 ：S30= S10q 2. q 27，q7， S40= S30q =770. 错因：是将等比数列中Sm, S2mSm, S3mS2m成等比数列误解为Sm, S2m, S3m成等比数列 . 正解 ：由题意：701)1(101)1(301101qqaqqa得)(3210110101舍去或qqqa，S40=20011401）（qqa. 例 3求和： a+a2+a3+an. 错解 ： a+a2+a3+ +anaan11. 错因：
7、是（ 1）数列 an不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n 项和公式（ 2）用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载等比数列前n 项和公式应讨论q是否等于1. 正解 ：当 a0 时， a+a2+a3+an0; 当 a1 时， a+a2+a3+ann; 当 a1 时， a+a2+a3+anaan11. 例 4 设dcba,均为非零实数，0222222cbdcabdba，求证：cba,成等比数列且公比为d。证明：证法一 ：关于d的二次方程0222222cbdcabdba有实根，0)(44222222cbb
8、acab，022acb则必有：02acb，即acb2，非零实数cba,成等比数列设公比为q，则aqb，2aqc代入02422222222qaqadaqaaqdqaa0122aq，即0222qqdd，即0qd。证法二： 0222222cbdcabdba022222222cbcddbbabdda022cbdbad，bad，且cbddcba,非零，dbcab。 例 5 在等比数列nb中，34b，求该数列前7 项之积。解：45362717654321bbbbbbbbbbbbbb53627124bbbbbbb，前七项之积2187333732 例 6 求数列21nn前n项和解：nnnS2181341221
9、112121)1(161381241121nnnnnS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载两式相减：112211)211(21212181412121nnnnnnnSnnnnnnnS2212)2211(211 例 7 从盛有质量分数为20% 的盐水 2kg 的容器中倒出1kg 盐水，然后加入1kg 水，以后每次都倒出1kg 盐水，然后再加入1kg 水，问： (1) 第 5 次倒出的的1kg 盐水中含盐多kg？ (2)经 6 次倒出后，一共倒出多少kg 盐？此时加1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多少
10、？解： (1) 每次倒出的盐的质量所成的数列为an ，则：a1= 0.2 （kg）, a2=210.2 （kg）, a3= (21)20.2 （kg）由此可见：an= (21)n10.2 （kg）, a5= (21)510.2= (21)40.2=0.0125 （kg） 。 (2)由(1) 得an是等比数列a1=0.2 , q=21)(003125.0200625.0)(00625.039375.04.0)(39375.0211)211(2 .01)1(6616kgkgkgqqaS答：第 5 次倒出的的1kg 盐水中含盐0.0125kg；6 次倒出后，一共倒出0.39375kg盐，此时加1kg
11、水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。四、典型习题导练1. 求下列各等比数列的通项公式：1)a1= 2, a3= 8 2)a1=5, 且 2an+1= 3an3)a1=5, 且11nnaann2. 在等比数列na，已知51a，100109aa，求18a. 3. 已知无穷数列,10,10,10,1051525150n，求证： （1）这个数列成等比数列（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的101，（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。4. 设数列na为1324,3 ,2, 1nnxxxx0 x求此数列前n项的和。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
12、- - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载5. 已知数列 an 中，a1= 2 且an+1=Sn，求an ,Sn6. 是否存在数列an，其前项和Sn组成的数列 Sn也是等比数列，且公比相同？7. 在等比数列na中，400,60,364231nSaaaa，求n的范围。4.3 数列的综合应用三、经典例题导讲 例1 设na是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 ， Sn是 其 前n项 和 . 证 明 ：12122121log2loglognnnSSS。错解： 欲证12122121log2loglognnnSSS只需证22121loglognnSS 2121lognS即证：)(l
13、og221nnSS2121lognS由对数函数的单调性，只需证)(2nnSS21nS2nnSS21nS221212221)1()1 ()1()1)(1(qqaqqqannn021nqa2nnSS21nS原不等式成立. 错因：在利用等比数列前n 项和公式时，忽视了q1 的情况 . 正解 ：欲证12122121log2loglognnnSSS只需证22121loglognnSS 2121lognS即证：)(log221nnSS2121lognS由对数函数的单调性，只需证)(2nnSS21nS由已知数列na是由正数组成的等比数列，q0,01a. 若1q, 精选学习资料 - - - - - - - -
14、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载则2nnSS21nS2111)1()2(ananna21a0；若1q, 2nnSS21nS221212221)1 ()1()1 ()1)(1(qqaqqqannn021nqa2nnSS21nS原不等式成立. 例 4 求数列,)23(1,101,71,41,11132naaaan的前n项和。解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则)23(11naann)23(741 )1111(12naaaSnn当1a时，232)231(2nnnnnSn当1a时，2) 13(12)231(11111nnaaannaaSnnnn
15、n例 5 求数列,)1(6,436,326,216nn前n项和解：设数列的通项为bn，则)111(6)1(nnnnbn16)111(6)111()3121()211(621nnnnnbbbSnn例 6 设等差数列 an 的前n项和为Sn，且)()21(2NnaSnn，求数列 an 的前n项和解：取n =1，则1)21(1211aaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载又由2)(1nnaanS可得：21)21(2)(nnaaan12)(1*naNnann2)12(531nnSn例 7 大楼共n层，现每层指
16、定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）解：设相邻两层楼梯长为a，则2) 1()(21 0)121 (22nnknkaknkaS当n为奇数时，取21nkS达到最小值当n为偶数时，取222nnk或S达到最大值四、典型习题导练3已知数列na中，nS是它的前n项和，并且241nnaS，11a（1） 设nnnaab21，求证数列nb是等比数列；（2） 设nnnac2，求证数列nc是等差数列。4. 在 ABC中，三边cba,成等差数列，cba,也成等差数列， 求证 ABC为正三角形。5 三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去 4，则又成等比数列，求原来三个数。6. 已 知是 一 次 函 数 ， 其 图 象 过 点， 又成 等 差 数 列 ， 求)()2()1(nfff的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页