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1、优秀教案 欢迎下载 数 列4.1 等差数列的通项与求和一、知识导学1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第 2 项，第 n 项，.3.通项公式：一般地，如果数列 an的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4.有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.5.无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先
2、求出 a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示 8.等差中项:如果，这三个数成等差数列，那么2b a 我们把2b a 叫做和的等差中项 二、疑难知识导析1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(1，2，3，n)的函数.2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.3.数列 an的前
3、 n 项的和 Sn与 an 之间的关系：).2(),1(11n S Sn San nn若 a1适合an(n2),则na不用分段形式表示，切不可不求 a1而直接求 an.4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d=d n+a1-d,an是关于 n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,na）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.5、对等差数列的前 n 项之和公式的理解：等差数列的前 n 项之和公式可变形为nda ndSn)2(212，若令 A 2d，B a12d，则nS An2+Bn.6、在解决等差数列问题时，如已知，
4、a1，an，d，nS，n 中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲 例 1 已知数列 1，4，7，10，3n+7,其中后一项比前一项大 3,指出这个数列的通项公式；例 2 已知数列 na的前 n 项之和为 n n Sn 22 12 n n Sn 优秀教案 欢迎下载 求数列 na的通项公式。例 3 已知等差数列 na的前 n 项之和记为 Sn，S10=10，S30=70，则 S40等于。例 4 等差数列 na、nb的前 n 项和为 Sn、Tn.若),(27 41 7 N nnnTSnn求77ba；例 5 已知一个等差数列 na的通项公式 an=25 5n，求数列|na的前 n 项和；例 6 已
5、知一个等差数列的前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？例 7 已知：nna 12 lg 1024（3010.0 2 lg）N n（1）问前多少项之和为最 大？（2）前多少项之和的绝对值最小？例 8 项数是n 2的等差数列，中间两项为1 n na a 和是方程02 q px x的两根，求证此数列的和nS2是方程 0)lg(lg lg)lg(lg lg2 2 2 2 p n x p n x的根。（02nS）4.2 等比数列的通项与求和一、知识导学1.等比数列：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数，那 么
6、 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示2.等比中项：若，成等比数列，则称 为 和 的等比中项3.等比数列的前 n 项和公式：)1(1 1)1()1(1 11qqq a aqq aq a nSnnn 二、疑难知识导析1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为 0，因此 q 也不为 0.2.对于公比 q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.3.“从第 2 项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第 2 项起，而是从第 3 项或第 4 项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数
7、列，这时可以说此数列从.第 2 项或第 3 项起是一个等比数列.4.在已知等比数列的 a1和 q 的前提下，利用通项公式 an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项.5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用 an=amqn-m可求等比数列中任意一项.个数都叫做这个数列的项各项依次叫做这个数列的第项或首项第项第项通项公式一般地如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示那么这个公式叫做这个数列的通项公式有穷数列项数有限的数列叫做有穷数列无穷数列 个公式来表示则这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式是给出数列的一种重要方法其关健是先求出然后用递推关系逐一写出数列中的项等差数列一般地如果
8、一个数列从第二项起每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常 那么我们把叫做和的等差中项二疑难知识导析数列的概念注意几点数列中的数是按一定的次序排列的如果组成的数相同而排列次序不同则就是不同的数列同一数列中可以出现多个相同的数数列看做一个定义域为正整数集或其有限子优秀教案 欢迎下载 6.等比数列 an的通项公式 an=a1qn-1可改写为nnqqaa 1.当 q0，且 q1 时，y=qx是一个指数函数，而xqqay 1是一个不为 0 的常数与指数函数的积，因此等比数列 an的图象是函数xqqay 1的图象上的一群孤立的点.7在解决等比数列问题时，如已知，a1，an，d，nS，n 中任意三个，可
9、求其余两个。三、经典例题导讲 例 1 已知数列 na的前 n 项之和 Sn=aqn（q q a,1,0 为非零常数），则 na为（）。A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列 例 2 已知等比数列 na的前 n 项和记为 Sn，S10=10，S30=70，则 S40等于.例 3 求和：a+a2+a3+an.例 4 设d c b a,均为非零实数，0 22 2 2 2 2 c b d c a b d b a，求证：c b a,成等比数列且公比为d。例 5 在等比数列 nb中，34 b，求该数列前 7 项之积。例 6 求数列21nn 前 n 项和
10、 4.3 数列的综合应用 一、知识导学 1.数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2.应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求 Sn还是求 an.一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的
11、量是百分数时，应用等比数列公式 若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加 1 就是公比q.二、疑难知识导析 个数都叫做这个数列的项各项依次叫做这个数列的第项或首项第项第项通项公式一般地如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示那么这个公式叫做这个数列的通项公式有穷数列项数有限的数列叫做有穷数列无穷数列 个公式来表示则这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式是给出数列的一种重要方法其关健是先求出然后用递推关系逐一写出数列中的项等差数列一般地如果一个数列从第二项起每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常 那么我们把叫做和的等差中项二疑难知识导析数列的概念注意
12、几点数列中的数是按一定的次序排列的如果组成的数相同而排列次序不同则就是不同的数列同一数列中可以出现多个相同的数数列看做一个定义域为正整数集或其有限子优秀教案 欢迎下载 1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前 n 项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式 00001 1 nnnnaaaa或解决；2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前 n 项和公式，在用等比数列前 n 项和公式时，勿忘分类讨论思想；3.等差数列中,am=an+(n m)d,n ma ad n m;等比数列中，an=amqn-m;mn m naaq 4.当 m+n=p+q（m、n、p、qN）时，对等差数列 an有：am
13、+an=ap+aq；对等比数列 an有：aman=apaq；5.若 an、bn 是等差数列，则 kan+bbn(k、b 是非零常数)是等差数列；若 an、bn是等比数列，则 kan、anbn 等也是等比数列；6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9）仍是等差（或等比）数列；7.对等差数列 an,当项数为 2n 时，S偶-S奇 nd；项数为 2n 1 时，S奇 S偶 a中（n N）；8.若一阶线性递推数列 an=kan 1+b（k 0,k 1）,则总可以将其改写变形成如下形式:)1(11 kba kkban n(n 2)，于
14、是可依据等比数列的定义求出其通项公式；三、经典例题导讲 例 1 设 na是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列，Sn是 其 前 n 项 和.证 明：12122121log2log lognn nSS S。例 2 求数列,)2 3(1,101,71,41,1 11 3 2 na a a an的前 n 项和。例 3 求数列,)1(6,4 36,3 26,2 16 n n前 n 项和 例 4设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且)()21(2 N naSnn，求数列 an 的前 n项和 个数都叫做这个数列的项各项依次叫做这个数列的第项或首项第项第项通项公式一般地如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示那么这个公式叫做这个数列的通项公式有穷数列项数有限的数列叫做有穷数列无穷数列 个公式来表示则这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式是给出数列的一种重要方法其关健是先求出然后用递推关系逐一写出数列中的项等差数列一般地如果一个数列从第二项起每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常 那么我们把叫做和的等差中项二疑难知识导析数列的概念注意几点数列中的数是按一定的次序排列的如果组成的数相同而排列次序不同则就是不同的数列同一数列中可以出现多个相同的数数列看做一个定义域为正整数集或其有限子