2022年解析几何总结性教案 .pdf

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1、名师精编精品教案解析几何总结第七章直线和圆的方程【概念】一、直线的方程直线的倾斜角与斜率1.直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来， 这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线. 2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线， 如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么 就叫做直线的倾斜角. 倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用 k 表示 . 说明：当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0；直线倾斜角的取值范围是

2、1800；倾斜角是90的直线没有斜率. 3.斜率公式：经过两点),(111yxP、),(222yxP的直线的斜率公式：.1212xxyyk（ x1 x2）推导：设直线P1P2的倾斜角是 ,斜率是 k，向量21PP的方向是向上的（如图73（ 1）（2） ）.向量21PP的坐标是),(1212yyxx.过原点作向量OP=21PP，则点P 的坐标是),(1212yyxx，而且直线OP 的倾斜角也是.根据正切函数的定义，1212tanxxyy即.1212xxyyk（x1x2） 。同样，当向量12PP的方向向上时也有同样的结论. 4.斜率公式的形式特点及适用范围：斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标

3、和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒；斜率公式表明，直线对于 x 轴的倾斜程度， 可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角；斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且会灵活运用; 当 x1=x2,y1y2（即直线和x 轴垂直）时，直线的倾斜角 等于90，没有斜率 . 直线的方程1.直线方程的点斜式: )(11xxkyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 28 页名师精编精品教案其中11, yx为直线上一点坐标, k 为直线斜率 . 推导 :若直线 l 经过点),(111yxP,且斜率为k，求 l 方程

4、 . 设点 P(x,y)是直线上不同于点P1的任意一点 ,根据经过两点的直线的斜率公式,得11xxyyk,可化为)(11xxkyy. 说明 :这个方程是由直线上一点和斜率确定的; 当直线l 的倾斜角为0时 ,直线方程为1yy; 当直线倾斜角为90时 ,直线没有斜率,它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:1xx. 2.直线方程的斜截式:bkxy说明 :b 为直线 l 在 y 轴上截距；斜截式方程可由过点（0，b）的点斜式方程得到；当0k时，斜截式方程就是一次函数的表示形式. 3.直线方程的两点式:),(2121121121yyxxxxxxyyyy其中2211,yxyx是直线两点),(),(2

5、211yxyx的坐标 . 推 导 : 因 为 直 线l经 过 点),(),(222111yxPyxP， 并 且21xx， 所 以 它 的 斜 率1212xxyyk.代入点斜式 , 得,)(112121xxxxyyyy. 当12112112,xxxxyyyyyy方程可以写成时. 4.直线方程的截距式:1byax,其中 a,b分别为直线在x 轴和 y 轴上截距 . 5.直线方程的一般式: 0CByAx其中 A、B 不同时为0. 6.直线和二元一次方程的关系在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一个表示这条直线的关于x,y 的二元一次方程 . 因为在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角,在90

6、和 =90两种情况下,直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 28 页名师精编精品教案线的方程可分别写成bkxy及1xx这两种形式 .它们又都可变形为0CByAx的形式 ,且 A、B不同时为0. 在平面直角坐标系中,任何关于x、y 的二元一次方程都表示一条直线. 因为 x、y 的二元一次方程的一般形式是0CByAx,其中 A、B 不同时为0,在 B0 和 B=0 的两种情况下,一次方程可分别化成直线的斜截式方程BCxBAy和表示与y轴平行或重合的直线方程ACx. 两条直线的位置关系1直线1l到2l的角两条直线1l和2l相交构成

7、四个角, 它们是两对对顶角, 我们把直线1l按逆时针方向旋转到与2l重合时所转的角, 叫做1l到2l的角 . 在图 713 中 ,直线1l到2l的角是 1, l2到1l的角是 2. 2直线1l到2l的夹角 : 如图713, 1l到2l的角是 1,2l到1l的角是 - 1, 当1l与2l相交但不垂直时, 和- 仅有一个角是锐角, 我们把其中的锐角叫两条直线的夹角. 当直线1l2l时 , 直线l1和l2的夹角是2. 说明 :10, 20, 且1+2=3直线l1到l2的角的公式 :12121tankkkk. 推导 :设直线l1到l2的角 ，222111:,:bxkylbxkyl. 如果.2,1,01

8、2121则即kkkk如果0121kk, 设l1、l2的倾斜角分别是1和2，则2211tan,tankk. 由图（ 1）和图（ 2）分别可知)()(122112或)tan()(tantan)tan(tan121212或于是 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 28 页名师精编精品教案4直线l1和l2的夹角公式 :12121tankkkk. 这一公式由夹角定义可得. 5两直线是否相交的判断: 设两条直线的方程是0:, 0:22221111CyBxAlCyBxAl如果这两条直线相交, 由于交点同时在这两条直线上, 交点的坐标一

9、定是这两个方程的唯一公共解 , 那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点 , 因此 , 两条直线是否有交点, 就要看这两条直线方程所组成的方程组00222111CyBxACyBxA是否有唯一解. 6 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 如 果 已 知 某 点P的 坐 标 为 (x0,y0), 直 线l的 方 程 是0CByAx, 怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P的直线l的距离呢 ? 方案一 : 根据定义 , 点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长( 如右图 ). 设点P到直线l的垂线段为PQ, 垂足为Q, 由PQl可知直线PQ的斜率为)0(AAB, 根据点斜式可写出直线P

10、Q的方程 , 并由l与PQ的方程求出点Q的坐标 ; 由此根据两点距离公式求出PQ, 得到点P到直线l的距离d. 师：此方法虽思路自然，但运算较繁.下面介绍另一种求法. 方案二 : 设A0,B 0, 这时l与x轴、y轴都相交 , 过点P作x轴的平行线 , 交l于点R(x1,y0);作y轴的平行线 , 交l于点S(x0,y2), 由.,0,0020120011BCAxyACByxCByAxCByxA得所以 ,ACByAxxxPR0010CByAxABBAPSPRRSBCByAxyyPS0022220020由三角形面积公式可知:PSPRRSd所以 ,2200BACByAxd. 精选学习资料 - -

11、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 28 页名师精编精品教案可 证 , 当A=0或B=0时 , 以 上 公 式 仍 适 用 , 于 是 得 到 点 到 直 线 的 距 离 公 式 : 2200BACByAxd.二、圆的方程1圆的标准方程：222)()(rbyax其中圆心坐标为（a,b） ，半径为r推导：如图732，设 M（x,y）是圆上任意一点，根据定义，点M到 圆 心C的 距 离 等 于r, 所 以 圆C就 是 集 合.|rMCMP由两点间的距离公式，点M 适合的条件可表示为rbyax22)()(把式两边平方，得222)()(rbyax2圆的一

12、般方程：022FEyDxyx（FED4220）3二元二次方程表示圆的充要条件：由二元二次方程的一般形式：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 和圆的一般方程022FEyDxyx的系数比较，启发学生归纳如下结论：（1）x2和 y2的系数相同，且不等于0，即 A=C0；（2）没有 xy 项，即 B=0；（3）D2+E24AF0. 4参数方程与普通方程：一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y 都是某个变数t 的函数，即)()(tgytfx. 并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么方程组就叫这条曲线的参数方程.其中 t 叫参变数，简称参

13、数. 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫曲线的普通方程 . 说明：参数方程中的参数可以有物理、几何意义，也可以没有明显意义. （1）圆的参数方程：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 28 页名师精编精品教案圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程：sincosryrx推导：设圆O 的圆心在原点，半径是r ,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点是P0（图 736）设点在圆 O 上从点 P0开始按逆时针方向运动到达点P， P0OP=， 若点 P坐标为 （x,y） ,根据三角函数的定义，可得sincosry

14、rx即sincosryrx圆心为 (a,b)，半径为r 的圆的参数方程：sincosrbyrax（为参数）推导：圆心为O1（a,b） 、半径为 r 的圆可以看成由圆心为原点O、半径为 r 的圆按向量v=（a,b）平移得到 . 即对于圆O 上任意一点P1（ x1,y1）,在圆O1上必有一点P（x,y） ，使vOOPP11因为PPOPOP11，即（ x,y）=( x1， y1)+（ a,b）所以byyaxx11，由于点P1（ x1,y1）在以原点为圆心，r 为半径的圆上，所以存在参数 ，使sincos11ryrx所以sincosrbyrax. （2）圆的参数方程化普通方程：方程组sincosrby

15、rax由得xa=r cos由得yb=r sin2+2得： （xa）2+(yb)2=r2即圆的普通方程. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 28 页名师精编精品教案三、简单的线性规划1二元一次不等式表示平面区域: 一般地 ,二元一次不等式Ax+By+C0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域. 说明 :二元一次不等式Ax+By+C0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域且包括边界; 作图时 ,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 推导 :举例说明 .

16、2判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法 :取特殊点检验 ; 原因 :由于对在直线Ax+By+C=0 的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标 (x,y)代入 Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负即可判断Ax+By+C0 表示直线哪一侧的平面区域.特殊地 ,当 C0 时,常取原点检验. 3线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x、y 的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数：关于 x、y 的一次式z=2x+y 是欲达到最大值或

17、最小值所涉及的变量x、y 的解析式，叫线性目标函数线性规划问题：一般地， 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解4线性规划在实际中的应用：例：要将两种大小不同的钢板截成、三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型规格规格规格第一种钢板第二种钢板今需要 A、B、C 三种规格的成品分别为15、18、27 块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解：设需

18、截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则0, 0273182152yxyxyxyx作出可行域（如右图） ： （阴影部分）目标函数为z=x+y 作出一组平行直线x+y=t,其中经过可行域内的点且和原点距离最近的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 28 页名师精编精品教案直线，经过直线x+3y=27 和直线 2x+y=15 的交点 A（539,518） ，直线方程为x+y=557. 由于539516和都不是整数， 而最优解（x,y） 中，x,y 必须都是整数， 可行域内点 （539,518）不是最优解 . 经过可行域内的整点且与

19、原点距离最近的直线是x+y=12,经过的整点是B(3,9)和 C(4,8),它们都是最优解. 答:要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种:第一种截法是截第一种钢板3 张.第二种钢板9 张;第二种截法是截第一种钢板4 张、第二种钢板8 张.两种方法都最少要截两种钢板共12 张. 【例题】例 1：如右图，直线l1的倾斜角301，直线112,lll求、l2的斜率 . 解：3330tantan111kl 的斜率360tan)60180tan(120tan,12030902222kll的斜率的倾斜角例 2：求经过A（ 2，0） 、B（ 5，3）两点的直线的斜率和倾斜角. 解：1

20、)2(503k，就是1tan.135,1800因此，这条直线的斜率是1，倾斜角是.135例 3：已知三点A、B、C，且直线AB、AC 的斜率相同，求证这三点在同一条直线上. 证明：由直线的斜率相同，可知AB 的倾斜角与AC 的倾斜角相等，而两个角有共同的始边和顶点，所以终边AB 与 AC 重合 . 因此 A，B，C 三点共线 . 例 4： 一条直线经过点P1(-2,3),倾斜角=45 ,求这条直线方程,并画出图形 . 解:这条直线经过点P1(-2,3),斜率是 :145tank. 代入点斜式方程,得05, 23yxxy即这就是所求的直线方程,图形如图中所示精选学习资料 - - - - - -

21、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 28 页名师精编精品教案例 5：已知直线l 与 x 轴的交点为（ a，0） ，与 y 轴的交点为（ 0，b） ，其中 a0,b 0,求直线 l 的方程 . 解:因为直线l 经过 A(a,0)和 B(0,b)两点 ,将这两点的坐标代入两点式,得: .1,000byaxaaxby就是例 6：三角形的顶点是A(-5,0) 、B（3，-3） 、C（0， 2）,求这个三角形三边所在直线的方程. 解 :直 线AB 过A(-5,0) 、 B（ 3， -3 ） 两 点 ， 由 两 点 式 得)5(3)5(030 xy整理得：01583yx，即

22、直线AB 的方程 . 直线 BC 过 C(0,2),斜率是3530)3(2k, 由点斜式得 :)0(352xy整理得 :0635yx,即直线 BC 的方程 . 直线 AC 过 A(-5,0),C(0,2)两点 ,由两点式得 :)5(0)5(020 xy整理得：01052yx，即直线AC 的方程 . 例 7：已知直线经过点A(6,-4),斜率为34,求直线的点斜式和一般式方程. 解:经过点 A(6,-4)并且斜率等于34的直线方程的点斜式是: )6(344xy化成一般式 ,得01234yx. 例 8：把直线 l 的方程062yx化成斜截式， 求出直线l 的斜率和它在x 轴与 y 轴上的截距，并画

23、图. 解:将原方程移项,得,62xy两边除以2,得斜截式.321xy因此 ,直线 l 的斜率21k，它在 y 轴上的截距是3，在上面的方程中令y=0，可得 x=-6，即直线 l 在 x 轴上的截距是-6. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 28 页名师精编精品教案由上述内容可得直线l 与 x 轴、y 轴的交点为A（-6，0） 、B（0，3） ，过点 A、B 作直线，就得直线l.（如右图） . 例 9：求以 C（1， 3）为圆心，并且和直线3x4y7=0 相切的圆的方程. 解：因为圆C 和直线 3x4y7=0 相切，所以半径

24、r 等于圆心C 到这条直线的距离. 根据点到直线的距离公式，得516)4(37341322r因此，所求的圆的方程是.25256)3()1(22yx解：如图 733，设切线的斜率为k，半径 OM 的斜率为k1,因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是k=11k00001,yxkxyk. 经过点 M 的切线方程是：)(0000 xxyxyy整理得：202000yxyyxx因为点 M（x0，,y0）在圆上，所以22020ryx所求切线方程为：200ryyxx当点 M 在坐标轴上时，上述方程同样适用. 例 11： 图 734 是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m，拱高 OP=4m，在建造时

25、每隔4m 需用一个支柱支撑，求支柱 A2P2的长度（精确到0.01m）. 解：建立直角坐标系如图734 所示 . 圆心在 y 轴上，设圆心的坐标是（0，b） ，圆的半径是r,那么圆的方程是x2+(yb)2=r2 因为 P、B 都在圆上，所以它们的坐标（0，4） 、 （10，0）都是这个圆的方程的解.于是得到方程组. 222222)0(10)4(0rbrb解得 b=10.5, r2=14.52 所以这个圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52 把点 P 的横坐标x=2 代入圆方程得)m(86.35.10)2(5.1422y答：支柱A2P2的长度约为m86.3. 精选学习资料 - - -

26、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 28 页名师精编精品教案例 12： 求过三点 O（0，0） 、M1（1，1） 、M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标 . 解：设所求圆的方程为022FEyDxyx用待定系数法，根据所给条件来确定D、E、F、因为 O、M1、M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程，可得02024020FEDFEDF解得068FED于是所求圆方程为：x2+y28x+6y=0 化成标准方程为： （x4）2+ y(3)2=52所以圆半径r=5,圆心坐标为（ 4， 3）例 13：已知一曲线是与两

27、个定点O（0，0） 、A（3， 0）距离的比为21的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线. 解：在给定的坐标系里，设点M（x,y）是曲线上的任意一点，也就是点M 属于集合 . .21|AMOMMP由两点间的距离公式，点M 所适合的条件可以表示为21)3(2222yxyx，将式两边平方，得41) 3(2222yxyx化简得 x2+y2+2x 3=0 化为标准形式得： （x+1）2+y2=4 所以方程表示的曲线是以C（ 1， 0）为圆心， 2 为半径的圆，它的图形如图7 35所示 . 例 14： 如图 738，已知点P是圆x2+y2=16 上的一个动点，点 A 是 x 轴上的定点，坐标为（12，0

28、）当点 P 在圆上运动时，线段PA 的中点 M 的轨迹是什么？解：设点 M 的坐标是（ x,y）.因为圆 x2+y2=16 的参数方程为sin4cos4yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 28 页名师精编精品教案所以可设点P 的坐标为（ 4cos,4sin）.由线段中点坐标公式得点M 的轨迹的参数方程为sin2cos26yx所以，线段P A 的中点 M 的轨迹是以点（6，0）为圆心， 2 为半径的圆 . 例 15：求直线23:, 32:21xylxyl的夹角 ( 用角度制表示) 解: 由两条直线的斜率, 1,221kk

29、得.3)2(11)2(11tan1212kkkk利用计算器计算或查表可得:71 34. 例 16：等腰三角形一腰所在直线l1的方程是022yx, 底边所在直线l2的方程是01yx, 点(-2,0)在另一腰上 ( 图 715), 求这条腰所在直线l3的方程 . 解: 设l1,l2, l3的斜率分别为k1,k2, k3, l1到l2的角是 1, l2到 l3的角是2, 则.1,2121kk.321) 1(121)1(1tan12121kkkk因 为l1,l2,l3所 围 成 的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 , 所 以 1= 2,.3tantan12即.312323kkkk将12k代入得,

30、31133kk解得.23k因 为l3经 过 点 (-2,0),斜 率 为2, 写 出 其 点 斜 式 方 程 为)2( 2 xy,得:042yx. 即直线l3的方程 . 例 17：求下列两条直线的交点. 022:0243:21yxlyxl，解: 解方程组220220243yxyxyx得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 28 页名师精编精品教案所以 ,l1与l2的交点是M(-2,2).如图 716 所示 . 例 18：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程: 022:, 022:21yxlyxl解: 解方程组220

31、22022yxyxyx得所以 , l1与l2的交点是 (2,2). 设经过原点的直线方程为kxy, 把点 (2,2)的坐标代入以上方程, 得1k, 所以所求直线方程为. xy例 19：求点P0（ -1，2）到下列直线的距离：（1）.23)2(; 0102xyx解： （1）根据点到直线的距离公式得.5251012102) 1(222d（2）因为直线23x平行于y轴，所以.35)1(32d例 20：求平行线0872yx和0672yx的距离 . 解 : 在 直 线0672yx上 任 取 一 点 , 例 如 取P(3,0),则 点P(3,0)到 直 线0872yx的距离就是两平行线间的距离. 因此 :

32、 5353145314)7(28073222d. 例 21：画出不等式2x+y-60 表示的平面区域. 解:先画出直线2x+y-6=0(画成虚线 ). 取原点 (0,0),代入 2x+y-6,因为 20+0-6=-60 所以 ,原点在 2x+y-60 表示的平面区域内,不等式 2x+y-6b0；两种形式中，椭圆焦点始终在长轴上；a、b、c 始终满足c2=a2b2；遇到形如Ax2+By2=C，只要 A、B、C 同号，就是椭圆方程，推导：建立直角坐标系xOy，使 x 轴经过点F1、F2，并且 O 与线段 F1F2的中点重合 . 设 M（x,y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c0)，那么焦点F

33、1、F2的坐标分别是（ c,0） ，(c,0). 又设 M 与 F1和 F2的距离的和等于常数2a.由椭圆定义，椭圆就是集合P=M MF1 +MF2=2a因为 MF1=22)(ycxMF2=22)(ycx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 28 页名师精编精品教案所以得：22)(ycx+22)(ycx=2a整理得：（a2c2）x2+a2y2=a2(a2c2). 由椭圆的定义可知：2a2c，即 a c，故 a2c20. 令 a2c2=b2，其中 b0，代入上式整理得：)0(12222babyax椭圆的简单几何性质1范围：椭圆

34、位于直线ax和by所围成的矩形里原因：由标准方程可知，椭圆上的点的坐标（x,y）都适合不等式, 1, 12222byax即2222,byax,byax,2对称性：椭圆关于 y 轴、 x 轴和原点都对称原因：在椭圆标准方程里，以-x 代 x，或以 -y 代 y，或以 -x，-y 分别代 x、y，方程都不变3顶点：椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫椭圆的顶点其中（-a,0）,A2(a,0)是椭圆与x 轴的两个交点；（， b）,B1(0,b)是椭圆与y 轴的两个交点线段、分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和 2b，a 和 b分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长4离心率：椭圆的焦距与长轴长的

35、比ace，叫做椭圆的离心率说明因为,0ca所以10ee 越接近，则c 越接近 a，从而22cab越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于， c 越接近于，从而b 越接近于a，这时椭圆就接近于圆；当且仅当a=b 时， c=0，这时两焦点重合，图形变为圆二、双曲线双曲线及其标准方程1双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于21FF）的点的轨迹叫做双曲线. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 28 页名师精编精品教案说明常数小于21FF；这两个定点叫做双曲线的焦点；这两焦点的距离叫双曲线的焦距.

36、 2双曲线的标准方程：形式一：12222byax（a0,b0）说明：此方程表示焦点在x 轴上的双曲线.焦点是 F1(c,0)、F2(c,0)，这里 c2=a2+b2. 形式二：12222bxay（a0,b0）说明：此方程表示焦点在y 轴上的双曲线， 焦点是 F1(0，c)、 F2(0， c)，这里 c2=a2+b2. 推导：如图 812，建立直角坐标系xOy，使 x 轴经过点F1、F2，并且点O 与线段 F1F2的中点重合 . 设 M（x,y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c0)，那么，焦点F1、 F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).又设 M 与 F1、F2的距离的差的绝对值等于

37、常数2a. 由定义可知，双曲线就是集合.221aMFMFMP因为,)(221ycxMF,)(222ycxMF所以得.2)()(2222aycxycx将方程化简得(c2a2)x2a2y2=a2(c2a2). 由双曲线的定义可知，2c2a，即 ca，所以 c2a20，令 c2a2=b2，其中 b0，代入上式得12222byax(a0,b0). 双曲线的简单几何性质1范围：双曲线在不等式x a 与 x a 所表示的区域内. 2对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时， 坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线中心. 3顶点：双曲线和它的对称轴有两个交点A1(a,

38、0)、A2(a,0)，它们叫做双曲线的顶点. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 28 页名师精编精品教案线段 A1A2叫双曲线的实轴，它的长等于2a,a 叫做双曲线的实半轴长；线段 B1B2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b,b 叫做双曲线的虚半轴长. 4渐近线我们把两条直线y=xab叫做双曲线的渐近线；从图 816 可以看出， 双曲线12222byax的各支向外延伸时，与直线y=xab逐渐接近 . “渐近”的证明：先取双曲线在第一象限内的部分进行证明.这一部分的方程可写为y=xaxab(22a). 5双曲线的准线：当点 M

39、 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=ac(e1)时， 这个点的轨迹是双曲线.定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率. 准线方程： x=.2ca其中x=ca2相应于双曲线12222byax的右焦点F(c,0);x=ca2相应于左焦点F(c,0). 抛物线及其标准方程1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点 F 叫抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 2抛物线的标准方程：推导过程：如图 820，建立直角坐标系xOy，使 x 轴经过点F 且垂直于直线l，垂足为 K，并使原点与线段KF 的中点重合 . 设|K

40、F|=p(p0)，那么焦点 F 的坐标为 （)0 ,2p，准线 l 的方程为.2px设点 M（x,y）是抛物线上任意一点，点M 到 l 的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合|dMFMP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 28 页名师精编精品教案. |2|)2(|,2|,)2(|2222pxypxpxdypxMF将上式两边平方并化简，得y2=2px方程叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 坐标是).0,2(p它的准线方程是.2px抛物线标准方程的四种形式：图形标准方程焦点坐标准线方程pxy22(

41、p0) )0 ,2(p2pxpxy22(p0) )0,2(p2pxpyx22(p0) )2,0(p2pypyx22(p0) )2,0(p2py精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 28 页名师精编精品教案抛物线的简单几何性质1范围当 x 的值增大时 ,y也增大 ,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支的区别 ,无渐近线 ). 2对称性抛物线关于x 轴对称 . 我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴. 3顶点抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点 . 4离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线

42、的距离的比,叫抛物线的离心率,用 e表示 .由抛物线定义可知,e=1. 【例题】例 1：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（4，0） ， （4， 0） ，椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于 10；（2）两个焦点的坐标分别是（0， 2） 、 （0， 2） ，并且椭圆经过点)25,23(. 解： （1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222babyax. 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9 所以所求椭圆的标准方程为192522yx. （2）因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222babxay.

43、 由椭圆的定义知：2a=102)225()23()225()23(2222a=10，又 c=2 b2=a2c2=6 所以所求椭圆方程为161022xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 28 页名师精编精品教案例 2 已知 B、C 是两个定点，BC=6，且 ABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程 . 解：如右图，建立坐标系，使x 轴经过点 B、C，原点 O 与 BC的中点重合 . 由已知 AB+AC+BC =16， BC =6，有 AB+AC=10，即点 A 的轨迹是椭圆，且2c=6, 2a=16 6=10 c=3,

44、 a=5, b2=5232=16 但当点 A 在直线 BC 上，即 y=0 时， A、B、C 三点不能构成三角形，所以点A 的轨迹方程是)0(1162522yyx例 3：如图， 已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为 2，从这个圆上任意一点P 向 x 轴作垂线段PP，求线段PP中点 M 的轨迹 . 解：设点 M 的坐标为（ x,y）,点 P 的坐标为（ x0,y0） ，则x=x0, y=20y. 因为 P （x0,y0）在圆 x2+y2=4 上，所以 x02+y02=4. 将 x0=x, y0=2y 代入方程，得x2+4y2=4 即42x+ y2=1 所以点 M 的轨迹是一个椭圆.（如图）例 4：

45、 已知 F 是椭圆 25x2+16y2=400 在 x 轴上方的焦点， Q 是此椭圆上任意一点，点 P 分QF所成的比为2，求动点P 的轨迹方程 . 解：把已知椭圆方程变为.1251622yx.31625,16,252222bacba从而焦点 F 的坐标为（ 0，3）设点 P 坐标为（ x,y） ，Q 点的坐标为（ x1,y1）, 则25x12+16y12=400 由 P 分QF所成比为2，得.2132,210211yyxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 28 页名师精编精品教案x1=3x, y1=3y 6 代入得：2

46、25x2+144y2 576y+176=0. 例 5：求椭圆400251622yx的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形解：把已知方程化成标准方程, 1452222yx这里 a=,b=4,所以31625c因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10 和 2b=8，离心率53ace，两个焦点分别是（，）和（，），椭圆的四个顶点是（，），（，），（，）和（，）将已知方程变形为22554xy， 根据22554xy在5x范围算出几个点坐标：x 0 1 2 3 4 5 y 4 3.9 3.7 3.2 2.4 0 先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆例 6：求适

47、合下列条件的椭圆的标准方程：（）经过点（，） 、（，） ；（）长轴的长等于，离心率等于53解： （）由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点、分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，于是得a=3,b=2. 又因为长轴在x 轴上，所以椭圆的标准方程为14922yx（）由已知，2a=20,53ace, .64610. 6,10222bca由于椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以所求椭圆的标准方程为16410022yx或16410022xy例 7：如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心作为一个焦点的椭圆 已知它的近地点距地面km，远地点距地

48、面km，并且、在同一直线上，地球半径约为km，求卫星运行的轨道方程（精确到km） 解：如图， 建立直角坐标系， 使点、在 x 轴上，为椭圆的右焦点 （记为左焦点）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222babyax，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 28 页名师精编精品教案则6810439637122AFOFOAca，87552384637122BFOFOBca解得：5.972,5 .7782ca68108755)(22cacacab用计算器求得7722b因此，卫星的轨道方程是17722778322

49、22yx例 8：已知 P（x0,y0）是椭圆12222byax（ab 0）上的任意一点， F1、F2是焦点，求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切. 证明设以 PF2为直径的圆心为A，半径为 r. F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r|PF1|+2r=2a，即 |PF1|= 2（ar）连结 OA，由三角形中位线定理，知|OA|=.)(221|211raraPF故以 PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切. 例 9：设 P 是椭圆12222byax（ab0）上的一点， F1、F2是椭圆的焦点，且F1PF2=90，求证：椭圆的率心率e

50、.22证明P 是椭圆上的点， F1、F2是焦点，由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a在 RtF1PF2中, 2222122214)2(|ccFFPFPF由2，得22221214|2|aPFPFPFPF|PF1|PF2|=2(a2c2) 由和，据韦达定理逆定理，知|PF1|PF2|是方程 z23az+2(a2c2)=0 的两根，则 =4a28(a2c2)0, (ac)221，即 e22. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 28 页名师精编精品教案例 10：P 为椭圆12222byax（ab0）上的点， F1、F2是