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1、复旦大学复旦大学Matlab课件课件2 在平面上给定n个点(xk,yk),可以唯一确定一个最多n-1次的多项式通过这些点，这个多项式叫插值多项式插值多项式P(xk ) = yk , k = 1,2,nLagrange插值形式 kkkjjkjyxxxxxP)(0123456710121416182022分片线性插值 x = 1:6; y = 16 18 21 17 15 12;plot(x,y,o,u,v,-);kkkkkkxxyyxxyxL11)()(function v,sigma = piecelin(x,y,u) d = diff(y)./diff(x); % First divided
2、 difference% Find subinterval indices, x(k) = u = x(j) = j; end% Evaluate interpolant s = u - x(k); v = y(k) + s.*d(k);分片三次插值kkkkdhhssdhhssyhshshyhshsxP2212232231332)()(2323)( 设s = x-xk , h = hk1111)( ,)( ,)(,)(kkkkkkkkdxPdxPyxPyxPHermite插值（osculatory插值） pchiptx.m splinetx.mpchiptx pchip: piecewise
3、cubic Hermit interpolating polynomial, Matlab中pchip算法基于Fritsch和Carlson1、如果左右导数是相反符号或有0，则dk=02、如果同号且区间长度相等，则是调和平均kkkd1121113、如果同号且区间长度不相等，则是加权调和平均1211211212,2,21kkkkkkkhhwhhwwwdwwkkkkhyy10123456710121416182022三次样条三次样条也是分片三次插值函数。物理上的样条在满足插值限制的前提下，最小化势能。数学上的样条必须满足二次导数连续，且满足插值限制。参考文献： A Practical Guide
4、to Spline, Carl de Boor。他也是Matlab的spline函数和spline工具箱的作者。三次样条21)46()26()126()( hdhsdhsshxPkkk0,426)( 1sxxhddxPkkkkkkkkkkkkkhsxxhddxP,246)( 1111111,246)( kkkkkkkhsxxhddxPkkkkkkkkkkkhhdhdhhdh11111133)(2kkkkkddd334111二阶导数连续等距“Not-a-knot”在边界上，把两段合成一段，在等距的情况下：212121252 dd12125212nnnndd这样，可以导致一个线性代数方程组：rAd
5、 nnnnnnrhhhhhhrrdddd1221322321121213,221221122331122122)(2)(2)(2nnnnnnnhhhhhhhhhhhhhhhhhhA三次样条rAd然后我们可以计算出各个节点的一阶导数0246810121416182022分片线性插值02468510152025full degree多项式插值0246810121416182022保形状Hermit插值0246810121416182022样条插值分 析 上面的图描述了光滑性和局部单调性（保形状）的一种折衷。 分片线性插值：保持单调性的，但光滑性比较差。 Full degree多项式插值：无限可微，
6、但不保持形状，特别是在端点的地方。Pchip和spline插值在这两个极端之间。样条比pchip光滑，样条的两阶导数连续，而pchip一阶导数连续。不连续的两阶导数隐含着不连续的曲率。人的眼睛可以检测出图形上曲率的不连续。另一方面，pchip是保形状的，而样条不一定保形状。 pchiptx 和splinetx pchiptx和splinetx都是基于分片三次Hermite插值，在每个区间kkkkdhhssdhhssyhshshyhshsxP2212233231332)()(2323)(kkkkdscssdyxP32)(2112,23hddbhddckkkkkkkk用monomial基： pchiptx.m, splinetx.m请比较一下与matlab中的pchip与spline的区别123456-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5Interpolatation interpgui