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1、学习必备欢迎下载高一数学必修5 第一章解三角形教学设计教学过程 理解定理 正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinabABsincC（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sinakA，sinbkB，sinckC；（2）sinsinabABsincC等价于sinsinabAB，sinsincbCB，sinaAsincC从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb。一般地，已知三角形
2、的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形 。 例题分析 例题 . 在ABC中 , 已知3a, 2b, B=450. 求 A、 C和 c. 解:004590B且,baA有两解 . 由正弦定理 , 得23245sin3sinsin0bBaA0012060AA或1)当 A=600时,C=1800-A-B=750, 00sin2sin7562sin2sin 45bCcB2)当 A=1200时,C=1800-A-B=150, 00sin2sin1562sin2sin45bCcB练习： 1),32,45,6,0aAcABC中求 B、C、b. 2) ,2,45,6,0aAcABC中求 B、C、b. 3
3、）已知ABC中，sin:sin:sin1:2:3ABC，求:a b c小结 （由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：sinsinabABsincC0sinsinsinabck kABC；或sinakA，sinbkB，sinckC(0)k（2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载课题 : 1.1.2余弦定理授课类型：新授课 理解定理 余弦定理 ：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角
4、的余弦的积的两倍。即2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos2bcaAbc，222cos2acbBac，222cos2bacCba从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC中， C=0
5、90，则cos0C，这时222cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 例题分析 例 1在ABC中，已知2 3a，62c，060B，求 b 及 A 解：2222cosbacacB=22(2 3)( 62)2 2 3 ( 62)cos045=212 ( 62)4 3( 3 1)=82 2.b求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos222222(2 2)(62 )(2 3)1,222 2 2 ( 62)bcaAbc060 .A解法二： sin02 3sinsin45 ,2 2aABb又622.4 1.4 3.8,2 32 1.8 3.6,ac，即00A09
6、0 ,060 .A评述：解法二应注意确定A的取值范围。练习： 在ABC中，若222abcbc，求角 A（答案： A=1200）小结：（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。课题 : 113 解三角形的进一步讨论授课类型：新授课教学过程 探索研究 例 1在ABC中，已知, ,a b A，讨论三角形解的情况分析：先由sinsinbABa可进一步求出B；则0180()CAB，从而sinaCcA1当 A 为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。精选学习资料 - - - - - -
7、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载2当 A 为锐角时，如果ab，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sinabA，则有两解； （2）若sinabA，则只有一解； （ 3）若sinabA，则无解。（以上解答过程详见课本第9-10 页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A为锐角且sinbA ab时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。练习 : （1）在ABC中，已知80a，100b，045A，试判断此三角形的解的情况。（2）在ABC中，若1a，12c，040C，则符合题意的b 的值有 _
8、个。（3）在ABC中，axcm，2bcm，045B，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。（答案：（1）有两解；（2） 0； （3）22 2x）利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状例 2根据所给条件, 判断ABC的形状 . 1）在ABC中，已知7a，5b，3c。2）;coscosBbAa 3 ）CcBbAacoscoscos分析：由余弦定理可知222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角abcAabcAabcAABC 是锐角三角形（注意：是锐角AABC 是锐角三角形）1）解：222753，即222abc，ABC 是钝角三角形。2）解 : 解法一 (
9、化边 ) 由余弦定理得)2()2(coscos222222acbcabbcacbaBbAa0422422bcbaca, 0)()(22222bacba022ba或0222bac222cba或ba故ABC是直角三角形或等腰三角形解法二 ( 化角 )由;coscosBbAa可得BBRAARcossin2cossin2即BA2sin2sinBA22或,180220BA即BA或 A+B=900 故ABC是直角三角形或等腰三角形3）解： ( 化角 )解法一 : 由正弦定理得CAcasinsin, CBcbsinsin代入已知等式得CcCBBcCAAccossincossinsincossin, CCBB
10、AAcossincossincossin即CBAtantantan),0(,CBACBA故ABC是等边三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载( 化边 ) 解法二 : 由已知等式得CCRBBRAARcossin2cossin2cossin2即CBAtantantan),0(,CBACBA故ABC是等边三角形练习：1）在ABC中，已知sin:sin:sin1:2:3ABC，判断ABC的类型。2）在ABC中，060A，1a，2bc，判断ABC的形状。3）判断满足下列条件的三角形形状， sinC =BABA
11、coscossinsin提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”三角形面积公式，S=21absinC ， S=21bcsinA, S=21acsinB 例 3、在ABC中，求证：（1）;sinsinsin222222CBAcba（2）2a+2b+2c=2（bccosA+cacosB+abcosC ）分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明证明：（1）根据正弦定理，可设Aasin = Bbsin = Ccsin = k 显然 k0，所以左边 =CkBkAkcba222222222sinsinsin =CBA222sinsin
12、sin=右边（2）根据余弦定理的推论，右边 =2(bcbcacb2222+cacabac2222+ababcba2222) =(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边变式练习1：已知在ABC中，B=30 ,b=6,c=63, 求 a 及ABC的面积例 4在ABC中，060A，1b，面积为32，求sinsinsinabcABC的值分析：可利用三角形面积定理111sinsinsin222SabCacBbcA以及正弦定理sinsinabABsincCsinsinsinabcABC解：由13sin22SbcA得2c，则2222cosabcbcA=3，即
13、3a，从而sinsinsinabcABC2sinaA练习：（1）在ABC中，若55a，16b，且此三角形的面积220 3S，求角 C （2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积2224abcS，求角 C （答案：（1）060或0120； （2）045）小结： 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页