2022年初中数学竞赛辅导 .pdf

《2022年初中数学竞赛辅导 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年初中数学竞赛辅导 .pdf（32页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、学习必备欢迎下载平面几何基础知识教程（圆）一、几个重要定义外心：三角形三边中垂线恰好交于一点，此点称为外心内心：三角形三内角平分线恰好交于一点，此点称为内心垂心：三角形三边上的高所在直线恰好交于一点，此点称为垂心凸四边形：四边形的所有对角线都在四边形ABCD内部的四边形称为凸四边形折四边形：有一双对边相交的四边形叫做折四边形（如下图）（折四边形）二、圆内重要定理：1 四点共圆定义：若四边形 ABCD的四点同时共于一圆上，则称A，B，C，D 四点共圆基本性质：若凸四边形ABCD是圆内接四边形，则其对角互补证明：略判定方法：1定义法：若存在一点O 使 OA=OB=OC=OD ，则 A，B，C，D

2、四点共圆2定理 1：若凸四边形 ABCD的对角互补，则此凸四边形ABCD有一外接圆证明：略特别地，当凸四边形ABCD中有一双对角都是90 度时，此四边形有一外接圆3视角定理：若折四边形ABCD中，ADBACB，则 A，B，C，D 四点共圆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 32 页学习必备欢迎下载证明：如上图，连CD，AB，设 AC与 BD交于点 P 因为ADBACB，所以180 CPB DPA所以有再注意到因此 因此由此（ABD 的内角和）因此 A，B，C，D四点共圆PCPBPDPACPDBPACPDBPAPCDPBABC

3、DBADBCAPCDBADBDAPBABAD特别地，当ADBACB=90时，四边形 ABCD有一外接圆2圆幂定理：圆幂定理是圆的相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理的统一形式。相交弦定理： P是圆内任一点，过P作圆的两弦 AB，CD ，则PAPBPCPD证明：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 32 页学习必备欢迎下载连，则（等弧 对等圆周角）而（对顶角相等）因此 APC DPB即，因此AC BDCABCDBAPCDPBPAPCPAPBPCPDPDPB（切）割线定理： P 是圆外任意一点，过P 任作圆的两割（切）线P

4、AB ，PCD ，则PAPBPCPD证明方法与相交弦定理完全一样，可仿前。特别地，当 C，D两点重合成为一点C 时，割线 PCD变成为切线 PC 而由割线定理，2PAPBPCPDPC，此时割线定理成为切割线定理而当 B，A 两点亦重合为一点A 时，由切割线定理22PCPAPBPA因此有 PC =PA ，此时切割线定理成为切线长定理现考虑割线与切线同时存在的情况，即切割线定理的情况：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 32 页学习必备欢迎下载如图， PCD是圆的割线， PE是圆的切线设圆心为 O，连 PO，OE，则由切割线定理

5、有：2PCPDPE而注意到黄色 是 RT ，由勾股定理有：222PEPOOE，结合切割线定理，我们得到222PCPDPEPOOE，这个结果表明，如果圆心O与 P是确定的，那么PC与 PD之积也是唯一确定的。以上是 P 在圆外的讨论现在再重新考虑 P 在圆内的情形， 如下图，PCD是圆内的现， PAB是以 P 为中点的弦则由相交弦定理有2PAPBPAPD（因为 P是弦 AB中点） = PC连 OP，OA，由垂径定理， OPA 是 RT 由勾股定理有222PAOAOP，结合相交弦定理，便得到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 3

6、2 页学习必备欢迎下载222PAPBPAPDOAOP（因为 P是弦 AB中点） = PC这个结果同样表明，当O 与 P 是固定的时候 PC与 PD之积是定值以上是 P 在圆内的讨论当 P 在圆上时，过 P 任作一弦交圆于 A（即弦 AP） ，此时220POOA也是定值综上，我们可以把相交弦定理，切割线定理，割线定理，切线长定理统一起来，得到圆幂定理。圆幂定理 ：P 是圆 O 所在平面上任意一点（可以在圆内，圆上，圆外），过点 P任作一直线交圆 O 于 A，B 两点（ A，B 两点可以重合，也可以之一和P 重合） ，圆 O 半径为 r 则我们有：22|PAPBPOr由上面我们可以看到，当P 点在

7、圆内的时候，220POr，此时圆幂定理为相交弦定理当 P 在圆上的时候，220POr当 P 在圆外的时候，220POr此时圆幂定理为 切割线定理 ，割线定理 ，或切线长定理以下有很重要的概念和定理：根轴先来定义幂的概念：从一点A 作一圆周上的任一割线，从A 起到和圆周相交为止的两线段之积，称为点对于这圆周的幂对于已知两圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线。根轴的定义：两圆等幂点的轨迹是一条直线，这条直线称为两圆的根轴性质 1 若两圆相交，其根轴就是公共弦所在直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 32 页学习必备欢迎

8、下载由于两圆交点对于两圆的幂都是0，所以它们位于根轴上，而根轴是直线，所以根轴是两交点的连线性质 2 若两圆相切，其根轴就是过两圆切点的公切线（即性质1 的极限情况）性质 3 若三圆两两不同心，则其两两的根轴交于一点，或互相平行所交的这点称为根心证明：若三圆心共线， 则两两圆的根轴均垂直于连心线，因此此时两两的根轴互相平行若三圆心不共线， 则必成一三角形， 因此两两的根轴必垂直于两两的连心线。如图，设 CD与 EF交于点 O，连 AO 交圆分 O2 圆 O3 于 B,B，则OAOBOEOFOCODOAOB其中前两式是点 O 对圆 O2 的幂，后二式是点 O 对圆 O3 的幂，中间是圆O对圆 O

9、1 的幂进行转化由此 B 与 B重合，事实上它们就是点B（圆 O2 与圆 O3 的非 A 的交点），由此两两的根轴共点圆幂定理是对于圆适用的定理，今使用圆幂定理对圆内接四边形判定方法的补充：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 32 页学习必备欢迎下载圆内接四边形判定方法4相交弦定理逆定理：如果四边形ABCD的对角线 AC，BD交于点 P，且满足PAPCPBPD，则四边形 ABCD有一外接圆5切割线定理逆定理：如果凸四边形ABCD一双对边 AB 与 DC交于点 P 且满足PAPCPBPD，则四边形 ABCD有一外接圆这样我们就

10、补充了两种判定方法例（射影定理）：RT ABC 中，BC是斜边， AD是斜边上的高则222(1)(2)(3)ADBDCDABBDBCACCDBC证明：（1）2180ADBACBA CA B C AADDAADBDCD如图，延长至A，使 AD= D A，连 AB,AC则 ABC ABC,因此因此 ， ， ，四点共圆由相交弦定理有：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 32 页学习必备欢迎下载（2） （3）2(2)(3)同理， 现证 (3)作RT ADB 的外接 圆，则RT ADB 的外接 圆圆 心为E其中 E是AB 的中点则EA

11、AC，因此 AC是圆ABD 的切 线由切割 线定理有CACDCB例 2：垂心ABC 中，三边所在的高的所在的直线交于一点证明：9018018018090设与CF交于 H，连AH 延长交BC于 D即证ADBC因为，因此 ， ，E，C四点共 圆同理 A，F，H，E四点共 圆所以因此 ， ， ， 四点共 圆由此BEBECBFCB FBHDAHFBHFAEFEHCBACHD E CHDC3Miquel定理之前 1，2 的重要定理都是讨论关于点共圆的情况。那么反过来，圆共点的情况精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 32 页学习必备欢迎

12、下载又如何？从最简单的开始了解，在本文之后讨论圆共点问题中，甚至其他类型的问题，Miquel定理都给予莫大的便利，我们将要不止一次地用到它。先看一个事实：如图，ABC 中，AD，BE，CF分别是三边上的高，则分别以AEF ，BDF ，CDE作圆这三个圆共于一点，而且可以通过观察，这个点就是垂心刚好是AD，BE，CF的交点在介绍 Miquel定理之后，我们将会给这题与垂心一个阐释Miquel定理：ABC 中，X，Y，Z 分别是 直线 AB，BC，AC上的点，则,共于一点AXZBXYCYZO这样的点 O 称为 X，Y，Z 对于 ABC 的 Miquel点精选学习资料 - - - - - - - -

13、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 32 页学习必备欢迎下载证明：180180180如图，设与交于 ，连OX ，即问题转 化为证 ， ， ，四点共 圆因 为 ， ，O ，Z与B，X，Y，O为两组 四点 圆则即因此 ， ， ， 四点共 圆AXZBXYOOY OZO ZY CA XAZOAXOBXOBYOOYCOZCOYCO Z Y C事实上这个证明隐含着对一般证圆共点的方法在发掘 Miquel定理的证明方法时可以得到一种更一般的证题方法注意这个证明只在X，Y，Z 在 AB，BC，AC边上时可以当在直线 AB，BC，AC上时需要改一下，这里略去了。现在回到之前关于垂心的问

14、题。 为什么 D， E， F 关于 ABC 的 Miquel点就是 ABC的垂心证明：如图，是 的三条高，垂心 为H，则， ， ， ， ， ， ，共三组四点共 圆由此可 见，共于一点而 H就是垂心AD BE CFABCA E F HB D F HC D E HAEFBDFCDEH有了 Miquel定理，我们可以对垂心有一个新的看法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 32 页学习必备欢迎下载90是与的根 轴对，同理而因此BDF 与CDE 的连心线平行于 BC（中位 线定理）因此 HD垂直于 BCHE，HF同理因此垂心可以被认

15、为 是这三圆的根 轴 的交点（根 轴性质3）HDBDFCDEHEHFADBADC用同样的方法可以对内心，外心以同样的解释：由此可见，共点圆与三角形的特殊点有很大的关系，上述 3 种只是最简单的最容易发现的提起外心就会联想到外接圆，这里不得不提一个常用定理：正弦定理正弦定理 ：ABC 中，外接圆半径R，则2sinsinsinBCACABRABC证明：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 32 页学习必备欢迎下载作直径 AOD，连 BD 902sinsin则，因此在中ABDADBACBRt ABDABABADRADBC其余同理想

16、到三角函数里面的函数名，那么自然会想到余弦定理余弦定理 ：2222222222cos2cos2cos中AB=c,AC=b,BC=aABCabcbcAbacacBcbaabC证明：222222222222222222coscoscos(cos )( cos )cos2coscos2cos作边上的高AD因此即c即其余同理BCCDACCbCBDBCCDabCABBDACCDabCbbCcabCabCbbCcababC接着便就是著名的费马点，它也与共点圆有关系费马点，即 ABC 内一点，使其到三顶点距离之和最小的点当 ABC 任一内角都 =120 时费马点与此角顶点重合精选学习资料 - - - - -

17、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 32 页学习必备欢迎下载设 ABC 中任一内角均 120，则费马点 F 可以通过如下方法作出来：分别以 AB，AC，BC向外作正 ，连接对着的顶点，则得事实上，点 F 是这 3 个正 的外接圆所共的点而 FA+FB+FC 其实就是顶点到对着的正顶点的连线的长而且之后将会有一种方法计算FA+FB+FC 的长度而这将会在之后进行讨论4Simson 定理Simson 定理是常用而且著名的定理，多用于证明点共线，其逆定理也成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页

18、，共 32 页学习必备欢迎下载Simson 定理： P 是 ABC 外接圆上一点，过点P 作 PD垂直 BC，PE垂直于 AB，同理 PF 则 D，E，F 是共线的三点直线 DEF称为点 P 关于 ABC 的 Simson 线引理（完全四边形的Miquel定理） ：四条直线两两交于A，B，C，D，E，F 六点则ABFBCECDFDAE，共点先从 对 ， ，三点 运用密克定理，则，共点对 ， ，三点 运用密克定理，则，共点因此，共点ABFE C DBCECDFDAEDAEB C FABFBCECDFABFBCECDFDAE其中所共的点叫做完全四边形的Miquel点证明：这里运用 Miquel定理

19、作为证明MiquelMiquel设垂直，垂直，延 长交于则问题 等价于 证明垂直连四边形是完全四 边形所以由完全四 边形的定理（引理），共点注意到所以 ， ，D，E四点共 圆所以与交于点和B因此完全四 边形FACDBE 的点非 P则B而A，E，B是同一直线上三点因此 A，E，F，B不可能共圆因此 P是完全四PDBC PEABDECAFPFACPFAFCDBEABCBDEAEFCDFPEBPDBP BABCBDEPMiquel边形FACDBE 的点由此 P，E，F，A四点共 圆则PFA=90今逆定理证略从这个证明我们看到Miquel定理的威力不仅在于圆共点， 而且对于共点圆也同样适用在有了 Si

20、mson定理之后，我们可以运用Simson 定理来给予完全四边形的Miquel精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 32 页学习必备欢迎下载定理一个新的证明（即前面的引理）证明：设与非的一个交点 为M，过M作MP 垂直 BE， MQ 垂直EC ，其余同理。因为M在上，由定理，是共 线的三点同理 对CDF 运用 Simson 定理，有QRS 也是共线的三点因此 P， Q， R， S四点共线而注意到 ， ，是点M对三边的垂直且共 线欲 Simson 定理逆定理，得A， M ， D， E四点共圆同理 A， B， F， M 四点共圆

21、因此，共点于BCECDFCBCESimsonPQRP Q SADEBCECDFADEABFM由这个证明，我们可以知道完全四边形的Miquel定理和 Simson 定理是等价的能够运用 Simson 定理证明的必也可用完全四边形的密克定理证明，反之亦然这样， Simson 定理便与密克定理产生了莫大的关联例.如图，P 为 ABC 外接圆上一点， 作PABC交圆周于 A ，作P BA C直线交圆周于 B ，C 同理。求证：AABBCC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 32 页学习必备欢迎下载证明：设 PA 交 BC于 D，P

22、B 交 AC于 E，F 同理，则由 Simson 定理知， DEF三点共线由图形看来，题断三条互相平行的线均与Simson 线平行，因此可以试证连 PB 而注意到 P，B，D，F 四点共圆，因此EDBFDBPBAPA A因此 AA 与 Simson 线平行。其余同理事实上， Simson 定理可以作推广，成为Carnot定理Carnot定理：通过 ABC 外接圆上的一点P，引与三边 BC，CA，AB 分别成同向等角（即PDBPECPFB）的直线 PD，PE，PF与三边或其所在直线的交点分别为 D，E，F 则 D，E，F 是共线的三点可以仿照前面的证明(这里的证明也可以运用四点共圆的判定定理与性

23、质，再证180DEF) 证明留给读者，作为习题5Ptolemy 定理本文主要介绍一些平面几何圆中较为重要和常用的定理，而Ptolemy定理是一个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 32 页学习必备欢迎下载十分重要的定理，及其也有重要的推广Ptolemy 定理：若四边形 ABCD是圆内接四边形， 则ABCDADBCACBD证明：,sinsinsin22如图，设ABCD 外接 圆半径 为R， 连，过点作各边的垂 线分交于于于 ，则由Simson定理， ABC 是共 线的三点因此由 ，,B,D 四点共圆 ，且 因此是的直径由正弦

24、定理有，所以同理ACDABCABCACB BCAC BB AC AA CC ADDB CADAC B DC BADC DBADC ABBCADBCBACC BRR,22222因此即CDABACBDB AC ARRADBCCDABACBDRRRADBCCDABACBD至此，我们重新把求费马点至三顶点距离的长度和的问题提出，运用Ptolemy定理解决：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 32 页学习必备欢迎下载如图，设 AB=c,AC=b,BC=a由12060AFCABC，有 A，F，B,C 四点共圆22222222(60)2

25、cos60cossin60sincos3sin2,sin对运用定理有因 为是等 边 ，因此所以 FA+FB+FC=BB同理 FA+FB+FC今考察，由余弦定理而中AFCBPtolemyFAB CFCABACFBACBFAFCFBAACCBCBBBababcosCababCCababCCSABABCC22222222222222222222cos22 32()2 322 32232()()(),2代入上式有因此其中CababcCababcSABCBBabababababcabSABCabcSABCabcFAFBFCSABCabcp papbpcp(这里我们用到著名的求积公式: 精选学习资料 -

26、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 32 页学习必备欢迎下载()()()()2其中abcS ABCp papbpcp,证略). 至此，本文平面几何圆的基础知识已经全部介绍完毕，这里将以著名的Chapple定理结束 (只做了解 ) 这是与圆幂定理的应用有关的定理之一Chapple 定理：设 R 是 ABC 的外接圆半径，r 是内切圆半径 ,d 是这两圆的圆心距，则222dRRr证明：,21()21()22连并延 长交外接 圆于，并作直径，连设内切 圆与的切点 为， 连，则在 与中，因此 有即 中，因此，由此，再由 圆幂 定理AIDIAIBPD

27、IPQRrPQBPIBPABBIPIABIBAABAIBPAIIPRrAIIP22222222即ROIRdRrdRRr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 32 页学习必备欢迎下载事实上 Chapple 定理对旁心也有相应的公式，不过是等号右边的符号-变+ 但对本文不提及旁心，因此略去精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 32 页学习必备欢迎下载习题：第一部分 (四点共圆的应用 ) 1. 如图，在 ABC中，AB=AC.任意延长 CA到 P， 再延长 AB

28、 到 Q 使 AP=BQ.求证： ABC的外心 O 与 A,P,Q 四点共圆 .(1994 年全国初中数学联合竞赛二试第1 题) 2.如图，在ABC中，DACAB,是底边 BC 上一点， E 是线段 AD 上一点，且ACEDBED2.求证：CDBD2.(1992 年全国初中数学联合竞赛二试第2 题) 3. 如图，设 AB,CD为O 的两直径，过 B 作 PB垂直于 AB,并与 CD延长线相交于点 P ,过 P作直线与O分别交于 E,F 两点，连结 AE,AF分别与 CD交于 G,H 求证:OG=OH.(20XX年我爱数学初中生夏令营一试第2 题). 精选学习资料 - - - - - - - -

29、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 32 页学习必备欢迎下载第二部分 (圆幂定理的应用 ) 4.如图，等边三角形ABC中，边 AB 与O 相切于点 H，边 BC,CA与O 交于点D,E,F,G。已知 AG=2,GF=6,FC=1.则 DE=_.(第 33 届美国中学生数学邀请赛试题改编 ) 5. 如图，O 和O 都经过点 A 和 B，PQ切O 于 P，交O 于 Q，M，交 AB 的延长线于 N.求证: 2PNMNNQ. 6.如图,已知点 P 是 O 外一点 ,PS,PT 是 O 的两条切线，过点P 作 O 的割线 PAB,交 O 于 A.B 两点，并交 ST于点 C

30、,求证: 1111()2PCPAPB.(20XX 年 TI 杯全国精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 32 页学习必备欢迎下载初中数学竞赛 B 卷第 14 题) 第三部分 (Ptolemy 定理的应用 ) 7.已知 a,b,x,y 是正实数，且22221,1abxy，求证 : 1axby. 8.从锐角ABC 的外心 O 向它的边 BC,CA,AB 作垂线 ,垂足分别为 D,E,F.设 ABC的外接圆和内切圆半径分别为R,r.求证:OD+OE+OF=R+r . 9.设 ABC与 ABC的三边分别为 a,b,c 与 a,b ,

31、c ,且 B= B, A+ A=180.试证:aa =bb+cc.第四部分 (Simon 定理的应用 ) 10证明 Carnot定理11.如图, ABC的边 BC上的高 AD的延长线交外接圆于P，作 PE AB于 E，延长ED交 AC的延长线于 F .求证: BC EFBF CEBE CF . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 32 页学习必备欢迎下载12.设 P 为 ABC 外接圆圆周上一点 ,P 在边 BC,CA,AB 上的射影分别为 L,M,N 令PL=l,PM=m,PN=n,BC=a,CA=b,AB=c,求证 :

32、 m n al n bl m c.（提示：应用 张 角 定 理 :设P 为 ABC的 边 BC上一 点 ， BAP=， CAP=, 则sin()sinsinAPACAB，证略）习题解答：1证明：180180180QP OP OA OQ OBAOPAOQAAPBQ OBOAOBQOBAOABOACOAPOPAOQA如图，连，要证 ，O ，P，Q 四点共圆，考虑 到视角定理，可 证而考虑到条件，因此可 证 APQ BQO而，因此 APQ BQO，故得证2.证明: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 32 页学习必备欢迎下载12

33、11(180BED)(180BAC)22, ,.23.,67,., ,.4556,AEBABGABCG E D BGBDFBDGFGBCACHHDAGAHAG ABAE ADAH ACE D C HGBFHCDBFCD作的平分线交于点 ,则=四点共圆故为等腰三角形设 为中点 连则过点作G H叫与点连易知注意到四点共圆 所以可知故于是2.BDCD3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 32 页学习必备欢迎下载证明：1111111111111111111111111111190FECFFD ECDABDAEEOC PPBOO P

34、 CBOPCOBCFD ECDOPCD FCOBCD FCB FDCFBAFC DFEAD CAEFEECFEFEGHO作中点 ，连OC，过作交于 ，于则，因此 ， ， ， 四点共 圆因此，而，因此因此，由视角定理有， ， ，四点共圆有由此考虑，是中点，因此 D 是中点这样由FE有1111GAOOHOGOHD EADD F，即4.解: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 32 页学习必备欢迎下载2BD.2(26)164.95,25(9)257(7)71121721,229()21x CEyOAG AFAHABCABACBH

35、OOBD BExyCE CDyyxyDExy设对及点A 用圆幂定理,得AH是正三角形同理 对及点B ;及点C 分别用圆幂定理,可得解得5证明：2ONNBNANBNANMNQONNBNANMNQ对和运用圆幂定理有NP，即证再对和运用圆幂 定理即得6.证明: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 32 页学习必备欢迎下载22POSTH,OMPBM.MAB.11()(22).221()(1)290,(2)(1)(2),1112()PAPBPAAMPMPAPBPMCMOCHOC M O HPC PMPH POPSPSPSPA PBP

36、C PMPA PBPCPAPB连交于点作于点易知点为中点即有四点共圆又是O切线,所以从而有将带入整理即得7证明：2901PtolemyBADBCDA B C DPtolemyaxbyACBDBD由题断的形式可以 联想到定理，因此 构造如 图的四 边形使AB=a,AD=b,BC=x,CD=y,BD=1，则符合 题设因此 ， ， ，四点共 圆由定理有最后一 步是由于直径是 圆内最大的弦8证明：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 32 页学习必备欢迎下载,()2()22()IA IBIC OA OB OCODx OEy OFzS

37、 ABCS IABSSIACabcrS ABCS OABSS OACcxbyazabcrcxbyazabc rOFAB设内心 为I，连 ， ， ，设外接 圆半径 为R,内切 圆半径 为r则 IBC+另一方面， OBC+有注意到垂直于，OD 垂直于BC ，因此 O，D，B，F四点共圆由Ptolemy 定理所以有222()()()()()()()()()acbxRazcxbRaybxcRbzcyaRa yzc xyb xzabc Rcxbyazabc rxyz abcabcRrxyzRrz即同理上三式相加再加此式即9.证明: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

38、- - - - -第 29 页，共 32 页学习必备欢迎下载,.,AC,.,ABCCCDABDAD DCDBDAAADBCDBBADBBCDA B CDCBA BB CDCCBDBcabDCaDBacabDCDBaaABDCBDACb BCADaAD BCABPtolemy作的外接圆 过 作交圆于,连,和,如图.因+=180则从而有即故又可知从而 由得2DCAC BDacabacbaaaabbcc即故10证明：180180180PDBPECPFBP B D F P E A F P D C EDFEDFPDFEPBDDAEPBDPBCDEF因为因此 ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， 共

39、三组四点共 圆因此因此是共线的三点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 32 页学习必备欢迎下载11.证明: 2,., , ;, , ,.ABCsimonP FPFACE B P D D P F CAE ABAD APAC AFE B F CBC EFBF CEBE CF由在同一平面的点确定一条直线及 PEAB,PDBC,P在圆A BC上, 知ED即的线 联结知从而分别四点共圆由切割线定理,得再由切割线逆定理, 知四点共圆 ,那么应用托勒密定理即得12.证明: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 32 页学习必备欢迎下载, , , ,.,sin()sinsinsinsinsin.,.L M NP L N BP M C LLPNBLPMCBCBCPLPMPNm nAl nBm lCm n al n bl m c由西姆松定理知三点共线. 注意到及分别四点共圆 知,又由张角定理有即再应用正弦定理即得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 32 页