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1、复习复习-2中值定理、罗比达单调中值定理、罗比达单调性凹凸性极值性凹凸性极值(2)(2)、罗尔中值定理、罗尔中值定理ab1 2 xyo)(xfy C .),(,)(2上可导上可导上连续，在上连续，在在在思考题思考题babaxf 上上单单调调（增增加加或或减减少少）在在则则若若证证明明baxfxf,)(, 0)( 2 2、洛必达法则、洛必达法则型未定式型未定式型及型及 00.10型型未未定定式式000,1 ,0 ,0.2 将它们化为将它们化为)()00( 或或.)()(lim)()(limxFxfxFxfxx 型极限计算型极限计算 xgxfxgxf1limlim 型型 00101 000000
2、型型 通分通分 )lim(xgxf xgxflim例例3 3解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原原式式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 xx tan)00()00( 1sec2x22031seclimxxx 或或2203tanlimxxx 31 型型00,1 ,0 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 xgxflim xfxglnlim:1 型型另另有有重重要要极极限限的的方方法法对对于于 euuu 11lim0)(ln)(limxfxge 例例4 4解解1.xlimxx2121 求
3、求)1( xlnxxelim2121 原原式式2112xxlnlimxe xxlimxe2121 .e1 2解解用用重重要要极极限限法法)1( 2212111112111xxxxxxxlimxlim )(00 xxxxelim 11211.e1 .)1cos2(sinlim5xxxx 求求例例解解1tx 1令令ttxxttxx10)cos2(sinlim)1cos2(sinlim ttttecos2sinln1lim0 1cos2sinsin2cos2lim0ttttte 2e )1( 解解2tx 1令令ttxxttxx10)cos2(sinlim)1cos2(sinlim )1( ttttt
4、ttt1cos2sin1cos2sin10)1cos2sin1(lim tttt1cos2sinlim0 21cos2sin1cos2sin10)1cos2sin1(limetttttttt )00(21sin2cos2lim0 ttt3 3、泰勒中值定理（公式）、泰勒中值定理（公式）)()()!1()()(010)1(之之间间与与在在其其中中xxxxnfxRnnn 200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf )()(!)(00)(xRxxnxfnnn )(00nxx 皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项 常用函数带常用函数带皮亚诺余项皮亚诺余项的麦克劳林公式的麦克劳林公式)(
5、)!12()1(! 5! 3sin121253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx ).(0! 212nnxxnxxxe 2! 2)1(1)1(xmmmxxm)(!)1()1(nnxoxnnmmm Nm )(1112nnxoxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)()1(1112nnnxoxxxx 解解 )(! 21142222xoxxex 则则)x(o!x!xxcos442421 3cos22 xex)(12744xox )(! 21122tottet 3)(! 4! 21(2)()(! 21154
6、24222 xoxxxoxx)(! 211442xoxx 4440)(127limxxoxx 403cos2lim2xxexx 127 )(! 2114422xoxxex )x(o!x!xxcos442421 例例730)1(sinlimxxxxexx 求求)(! 3! 21332xoxxxex )(! 3sin33xoxxx 30)1(sinlimxxxxexx3333320)1()(! 3()(! 3! 21(limxxxxoxxxoxxxx 33330)(! 3! 2limxxoxxx 31 解解思考题思考题3xxxxx21lnlim 求求.),(,)(内内可可导导上上连连续续，在在在在
7、设设函函数数babaxfy 函数单调性的判定法函数单调性的判定法，内内如如果果在在0)(),(20 xfba，内内如如果果在在0)(),(10 xfba上上单单调调增增加加；在在那那末末函函数数,)(baxfy .,)(上上单单调调减减少少在在那那末末函函数数baxfy ,)(上内连续上内连续在区间在区间设设Ixf恒有恒有上任意不同两点上任意不同两点如果对如果对,21xxI上任意不同的上任意不同的如果对如果对I,2)()()2(,212121xfxfxxfxx 恒恒有有两两点点;)()(凹凹的的向向上上上上的的图图形形是是在在那那末末称称Ixf,2)()()2(2121xfxfxxf ;)()
8、(凸凸的的向向上上上上的的图图形形是是在在那那末末称称Ixf2. 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定理定理 内内具具有有在在上上连连续续在在如如果果),(,)(babaxf,二二阶阶导导数数内内若在若在),(ba ;,)(, 0)()1(上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则baxfxf .,)(, 0)()2(上上的的图图形形是是凸凸的的在在则则baxfxf 连连续续曲曲线线上上凹凹凸凸的的分分界界点点称称为为曲曲线线的的拐拐点点.例例8 8证证.)1ln(,0成成立立试试证证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设01)( xxxf可可导导，在在上上连连续续在在), 0(,), 0)(
9、 xf上单调增加；上单调增加；在在), 0 , 0)0( f而而时，时，当当则则0 x , 0)1ln( xxxf).1ln(xx 即即例例9 9.)7(2的的凹凹凸凸区区间间与与拐拐点点求求曲曲线线 xeyx解解)72()72()(22 xxexxeyxx ,)7(2xxeyx 0 xy令令)7()7()(22 xexeyxx)72(2 xxex)1)(5()54(2 xxexxexx1; 521 xx得得, 0,)5,( y内内在在 ;5,(上上是是凹凹的的曲曲线线在在 , 0,)1 , 5( y内内在在 .1, 5上是凸的上是凸的曲线在曲线在 .)18, 5(5的的拐拐点点是是曲曲线线点
10、点 e, 0,), 1( y内内在在 ., 1上上是是凹凹的的曲曲线线在在 .6, 1的拐点的拐点是曲线是曲线点点e )1)(5( xxeyx)7(2 xeyx极大值极大值oxyoxy0 x0 x极小值极小值3. 函数的极值及其求法函数的极值及其求法定理定理1 1( (必要条件必要条件) )定理定理2 2( (第一充分条件第一充分条件) )定理定理3 3( (第二充分条件第二充分条件) ),)(连连续续设设xf步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小比较大小,注意注意: :如果区间内如果区间内只有一个
11、极值只有一个极值,4. 最大值、最小值问题最大值、最小值问题实际问题求最值实际问题求最值: :1)建立目标函数建立目标函数;2)求最值求最值:点，则该点的点，则该点的若目标函数只有唯一驻若目标函数只有唯一驻（或最小）值（或最小）值函数值即为所求的最大函数值即为所求的最大那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值那个小那个就是最小值;则这个极值则这个极值就就 是最值是最值(最大值或最小值最大值或最小值).例例1010解解)5()(2 xxexfx求求函函数数)5()5()()(22 xxexxexfxx. 1, 421 xx得得驻驻点点：时，时，当当4 x, 0)( xf上单
12、调增加；上单调增加；在在4,( 时，时，当当14 x, 0)( xf上上单单调调减减少少；在在1 , 4 .的单调区间的单调区间)43(2 xxex 4)1( xxex.与极值与极值 极极大大值值474 ey 04 y注注：时时，当当 x1, 0)( xf上上单单调调增增加加；在在), 1 单调区间为单调区间为，4,( ，1 , 4 )., 1 时，时，当当14 x, 0)( xf上上单单调调减减少少；在在1 , 4 极极小小值值ey21 )5()(2 xxexfx 01 y注：注：的的墙墙为为，上上接接一一个个半半圆圆形形面面积积若若要要建建一一下下底底为为长长方方形形例例511xy,221
13、yxxl 解解5812 xxys xxxxy 8158152 xxl1041 21041xl 440 x取取得得最最小小。使使得得周周长长问问如如何何选选择择底底边边lx,0203 xl用用所所剩剩材材料料形形的的圆圆形形薄薄片片截截去去一一个个伞伞半半经经为为思思考考题题,4R RRhr 为多少时可获得最大为多少时可获得最大问问如图如图做一个圆锥形的漏斗做一个圆锥形的漏斗 .容量的漏斗容量的漏斗弧微分弧微分.105 弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圆曲率圆 .12dxyds tytx 对于参数曲线对于参数曲线2 .22dttds 22)()(dydxds xfy 对对于于直直角角坐坐标标曲曲线线
14、1,)1(1232yyk 曲率半经曲率半经.20曲率曲率 .)1(1232yyk 2322)(2 k.122的的曲曲率率函函数数求求例例xeyx 2xeyx 解解 232212xeekxx 曲率曲率 .1 , 0点的曲率及曲率半径点的曲率及曲率半径及曲线在及曲线在232)1(yyk xeyx2 2 xey 02322120 xxxxeek223 思考题思考题些点处曲率最大？些点处曲率最大？ 椭圆椭圆 上哪上哪,cos2tx tysin3 思考题解答思考题解答2322)()()()()()(ttttttk 2322)cos9sin4(6tt 232)cos54(6t 要使要使 最大，最大，k23
15、2)cos54(t 必有必有 最小，最小，23,2 t此时此时 最大，最大，k,cos2tx tysin3 与直线相交三点，与直线相交三点，二阶可导，若曲线二阶可导，若曲线)()(. 1xfyxf 0)( f满满足足则则思考题思考题 .),(,)(2上上可可导导上上连连续续，在在在在babaxf 上上单单调调（增增加加或或减减少少）在在则则若若证证明明baxfxf,)(, 0)( xxxxx21lnlim. 3 求求用用所所剩剩材材料料形形的的圆圆形形薄薄片片截截去去一一个个伞伞半半经经为为,4R 为多少时可获得最大为多少时可获得最大问问如图如图做一个圆锥形的漏斗做一个圆锥形的漏斗 .容量的漏
16、斗容量的漏斗 , 0),(50003 xfxfxUCxf 思思考考题题 .xf.xf是是否否极极值值说说明明000 与直线相交三点，与直线相交三点，二阶可导，若曲线二阶可导，若曲线)()(. 1xfyxf 0)( f满满足足则则满满足足罗罗尔尔条条件件)()()(bkxxfxF 证证 证明证明上可导上可导上连续，在上连续，在在在.),(,)(. 2babaxf 上上单单调调（增增加加或或减减少少）在在则则若若baxfxf,)(, 0)( 非单调，非单调，若若)(xf证证,321xxx 则则有有 )()(, )(max231xfxfxf 使得使得 )()(, )(min231xfxfxf 或或
17、值值。的的内内部部取取得得最最大大或或最最小小在在必必在在区区间间则则31,)(xxxf),(),(31baxx 即即0)( f满满足足与条件矛盾。与条件矛盾。xxxxx21lnlim. 3 求求解解)1(1 xxxxxx)1(ln)1( xxexxxln)1(1 1)1()1(limlnlim22121 xxxxxxxx 222)1(11lnln xxx2)1( x用用所所剩剩材材料料形形的的圆圆形形薄薄片片截截去去一一个个伞伞半半经经为为,. 4R RRhr解解,h设设圆圆锥锥的的高高为为, r底面半径为底面半径为Rr 2则有则有 222222RRrRh;Rr 2242 R 2022232
18、42431 RhrV则则体体积积 为多少时可获得最大为多少时可获得最大问问如图如图做一个圆锥形的漏斗做一个圆锥形的漏斗 .容量的漏斗容量的漏斗 204222f设设 2223424RV 2222242242 f2222438 ,f0 令令唯一驻点唯一驻点 0200 f,f ,)38(的的最最大大值值为为xff 。V，最最大大此此时时所所做做的的锥锥体体体体积积当当然然 38得到得到 , 0),(50003 xfxfxUCxf 思思考考题题 .xf.xf是是否否极极值值说说明明000 ,xf00 设设解解 进进行行泰泰勒勒展展开开在在将将0 xxfxg 200002111xxf!xxxf!xfxf 之之间间与与介介于于020021xxxxf! 00 xxxf 即即 不是极值不是极值0 xf .xf同同理理可可证证00 00 xfx 的的某某邻邻域域内内由由连连续续性性在在 ,单增单增xf