经济数学基础辅导 .docx

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1、精品名师归纳总结经济数学基础辅导 4叶挺峰第一编第三章导数应用本章主要是介绍利用导数讨论函数的一些特性，如极值、最值和对经济问题进行边际分析、弹性分析等内容：一、 如何确定函数的单调区间？1、定理：设 y=fx 在a,b上连续，在（ a,b）内可导，如 X （ a,b ）,有（1） f X0 ， fX 在a,b上单调增加。（2） f X0 ， fX 在a,b上单调削减。 此定理中的区间，称为单调区间。2、确定函数 y=fx 单调区间步骤：（1） 确定 Y=fx 的定义域 D。（2） 求 Y。（3） 令 Y=0，求出根。（4） 用 Y=0 的根，划分 D为几个小区间，列出表格判别。（5） 结论。

2、例如：确定函数 f x2 x39x2123 的单调区间。解： fx 的定义域： ,f x6x 218x126x 23x2=6X-1X-2令 f 1 x0即 6（ X-1）（ X-2） =0得 X1=1， X2=2列表XY Y（-， 1） 1（ 1，2） 2（ 2，+）+-+可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：确定 Y的符号时，可取小区间中任意一个确定数，如：0，1.5 ， 3，代入 f X 式中定出 y的正、负号，再用符号“”、“”分别表示，曲线上升或下降。故 fx单调增加区间为（ - ， 1,2， + ，单调削减区间为 1 ，2 二、 函数极值和最值：函数极大值与微小值统称

3、为极值。取到极大值或微小值的点统称为极值点。1、极值的必要条件：fx在点 X0 处可导，点 X0 是 fX 的极值点，就 f （ X0）=0 2、驻点：使 f X=0 的点，称为 fX 的驻点（或稳固点）。留意：（1） ）点 X0 是 fx的极值点（或稳固点）， fx在 X0 处可导，就点 X0 必定是驻点。（2） 驻点不肯定是极值点。（3） 在导数不存在的点处，可能有极值。3 、极值存在充分条件：设 fx在点 X0 的邻域连续且可导（ f （ X0）可以不存在），当 X从 X0 的左侧到右侧取值时， f X 符号：从+变- ，X0 为极大值点， fX 0 为极大值。 从- 变+，X0 为微小

4、值点， fX 0 为微小值。不变号， X0 不是极值点， fX 在 X0 处无极值。用以上定理，可判别X0 是不是 fX 的极值点。下面举例说明如何求函数的极值和极值点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如：求函数f x23x 3x的极值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： fx 的定义域 （-， +）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x12x 31212x33 x3 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 f X=0就有得驻点 X=823 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

5、名师归纳总结X=0使 f X 无意义， X=0 是 f X 不行导的点。列表X（-， 0）00,8 88,+y -不存在+0-y04微小值极大值故 X=0 是微小值点，微小值 f0=0x=8 是极大值点，极大值 f8=4 4、函数的最值：函数最大值和最小值统称为函数的最值。对整个函数定义域而言，极值是局部概念，函数最值是整体概念。求应用问题的最值，常用以下的结论：fx 在a,b上连续，在（ a,b）内可导，且 X 0 是 fx 在（ a,b）内唯独驻点，那么当 X 0 是 fx 极大值点（或微小值点）时， X 0 肯定是 fx 在a,b 上的最大值点（或最小值点）， fx0 是函数 fx 的最

6、值。例如：生产某产品的总成本函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C（X） = 40010xx 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求使平均成本最低的产量及最低平均成本。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：平均成本A x4001x 2Axx2c x x400x240010x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 A（ X）=0，就有 x2400 =0得 X1=20X 2=20舍去当 X20 时，A（ X） 20 时，A（ X）0X=20 是微小值点，在（ 0， +）内驻点唯独， X=20 也是最小值点。故当产量 X=20 时，平均

7、成本最低，最低平均成本为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A（20）=40020102050可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、导数在经济分析中的应用1、需求（价格）弹性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设某商品的市场需求量为 q，价格为 P，需求函数 q=qP可导，就称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Eppq p q p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为该商品需求价格弹性，简称需求弹性。其经济意义是：当某种商品的价格下降（或上升）1%时，某需求量将增加（或削减） |Ep|%。例如：某种商品的需求量q单位：百件 与价格

8、 P（单位：千元） 的关系为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求当价格为 9 千元时的需求弹性。pq pp15e 3p0 ，10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： Eppqp115e 33pp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结q当 P=9 时，315e 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E919332、三个边际函数（1） ） 边际成本：边际成本是总成本函数C（ q）关于产量q 的导数，记为 MC ，就有MC=C （q）。经济意义：当产量为p 时，再生产一个单位产品所增加的成本。即边际成本是第 q+1 个产品的成本。（2） ） 边际

9、收入：边际收入是总收入函数 R（q）对销售量 q 的导数，记为 MR。经济意义：当销售量 q 时，再销售一个商品所增加的收入。（3） ） 边际利润：利润函数 L=L（ q）对销售量 q 的导数，称为边际利润，记为 ML。由于利润函数 L（q）=Rq-cq,就有 L（q）=Rq- cq例如：已知总成本函数为C（ q）=2000+450q+0.02q2销售单价为 490，求1） C（q）2） Lq 及 Lq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 1）Cq450+0 ，04q2 总收入函数Rq=pq=490q 利润函数：Lq=R （ q） -Cq=490q-2000+450q+0.02

10、q2=-0.02q2+40q-2000边际利润函数为：Lq=-0.04q+40自测题:一、选择题：1、函数 y=x2-4x+5 在区间（ 0， +）内A、单调增加B、先单调增加后单调削减C、先单调削减后单调增加D、单调削减2、以下结论中正确选项（）。A、函数的驻点肯定是极值点B、函数的极值点肯定是驻点C、函数的极值点处导数必为 0D、函数的导数为 0 的点肯定是驻点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p3、设需求函数 q=100e 2,就需求弹性 EP=（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pA、 50e2ppB、100

11、 pe 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C、 2二、填空题D、 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、fx 在（ a,b）内有 f X=0, 就 f X= 。2、函数 fx= x 2-1 的单调下降区间是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、已知需求函数三、运算题1、 确定函数 yq p1 x332103 p 3x 23 x，就需求弹性 EP=。1 的单调区间。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、求函数 fx=-X483+ 3 x2x2 + 2的极值。可编辑资料 - - - 欢迎

12、下载精品名师归纳总结3、某产品固定成本为18 （万元），可变成本2x 2+5X（万元），其中 X 为产量（百台），求使平均成本最低的产量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、某产品的需求量 q=250-2PP 为价格 ，价格为多少时，可使收入最大？5、 已知某商品的需求量q=1200-100p件 ，其中 P 是价格（元 /件），求使收入最大的销售量和相应的最大收入。6、 某厂生产X个产品的成本为C（X ）= 2X +100 （元）得到收益为 R（ X）=8X 0.01x2 元, 问生产多少个产品时才能利润最大 .最大利润是多少 .答案：一、 挑选题：1、C2、D3、C二、 填空

13、题：1、C（常数）2、（ 0，+）22 p 32103 p 33、三、 运算题：1、fx 单调增加区间（， -1 ，3 ，+ 单调削减区间为-1 ， 32、 X=0 是极大值点，极大值 f0=23、 3百台 4、 62.55、 q=600件,最大收入 R600=3600元6、 q=300个,最大利润 L300=800元可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结经济数学基础辅导 5叶挺峰其次编一元函数积分学第四章一元函数积分学一、 不定积分1、什么是原函数？设 fx 是定义在区间 D 上的函数，如存在 Fx，对任何 xD，均有 F x=fx或 dFx=fxdx就称 Fx为 fx 在 D 上

14、原函数 简称 fx 的原函数 。留意：函数fx 的原函数不唯独，有无穷多个。fx 的任意两个原函数只差一个常数。例如： FX 是 fx 的一个原函数， C 为常数，有Fx+C =Fx=fx 。2、不定积分定义：对于某区间 D 上的函数 fx 为可积函数，如存在原函数，就称fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为可积函数，并将 fx 的全体原函数记为 fxdx ，并称它为函数fx 的不定积分。如 Fx是 fx 的一个原函数， C 为任意常数，由于 fx 的全体原函数可表示为 Fx+C，就有fxdx=Fx+C其中 C 称为积分常数。3、为什么求积与求导互为逆运算？在 fxdx= Fx

15、+C 中，两边对 x 求导， 就有 fxdx = Fx+C =F x=fx又因Fx dx= fxdx= Fx+C上式说明：对 Fx先导后积，结果是 Fx加上一个常数。可见：求积与求导 或求微分 互为逆运算。4、基本积分公式：求积与求导互为逆运算，因此，有一个导数公式就有一个对应的积分公式，同学们应熟记以下九个积分公式。xn+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 odx=c xndx=n+1+Cn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ax dxxx = ln|x|+c a dx=lna +c exdx=ex+csinxdx=cosx+c可编辑资料 - - - 欢迎下载

16、精品名师归纳总结sin2xcosdx=sinx+c dx= cotx+c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dxcos2x = tanx+c二、 基本积分方法：一不定积分常用性质1、 代数和分开积 fx gxdx= fxdx gxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、 常数因子提出来 kfxdx = k fxdx k 0 常数 二积分基本方法：1、直接积分法这是用不定积分运算性质和积分基本公式，直接求出不定积分的方法。例 1：求以下不定积分1 3x2 2x+1dx解：原式 =3x2dx2 xdx+ dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=3x2 xx

17、+c=x 3-x2+x+c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结322+11+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 2x+ 2xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解：原式 =11dx+ 2xdx=12ln|x|+2xln2 + c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x(3) ex1+e-xdx解：原式 = exdx+ dx=ex+x+c(4) tan2xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin2x解：原式 =cos2xdx =11-cos2x cos2x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=cos2

18、xdx dx = tanxxc2、凑微分法 又名第一换元法 这是运算不定积分重要方法，又是本章重点，应多做练习，娴熟把握。凑微分法又名第一换元法。这方法实质上是把被积表达式凑成微分形式，再用基本公式求积。即fuxu xdx fuxdux ux=u ， 有 fudu = Fudu = dFu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 dFu = Fu + c=Fux+cu=ux留意：使用这方法求积，凑微分时需换元即选取新积分变量。在结果中要回代，消去中间变量。例如：求 e2xdx解：令 2x = u ,以便用 exdx 公式1du = 2x dx = 2dxdx = 2 du可编辑资料

19、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结原式 = e u 1du = 1 e u1u12x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22du = e+c= e+c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例1、 求以下不定积分11 2x-1 dxx解：令 2x-1=u 以便用 122dx 公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结du = 2x-1 dx=2dx1dx = 2du1111原式 = u 2du = 2 u du11= 2lu|u| + c = 2ln|2x-1|+csin 1x(2) x2dx11解：令x =udu =x2 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精

20、品名师归纳总结x原式 sin11x2d sinuducosu + c 1cos + c x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结熟识了凑微分法求积分，可以省略换元、回代，但要熟登记列常用的凑微分公式，公式是：1adx = dax+ba 0 常数， b 常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2xdx =2dx(3) cosxdxdsinx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4sinxdx = dcosx51xdx2dx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2x6 1 dx d8 exdx dex

21、例 3：求以下不积分(1) sin2xdx 11 71 dx dlnxx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式2 sin2xd2x 2 cos2x+c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) tanxdxsinx解：原式cosx dxdcosxcosx ln|cosx|+ c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x(3) lnx dx2解：原式 nxdlnx 1 ln2xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 ex 1+ex dxd1+ex可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x

22、解：原式 3、分部积分法1+exln|1+e |+c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这是求不定积分另一种重要方法，是本章重点之一。在被积表达式中，显现函数之积，需要分部积分法求积。1分部积分公式：设 uux， v = vx 都是连续可微函数，就 udvuv vdu 2u、dv 挑选的原就在被积表达式中，对显现以下情形时， u、dv 挑选的原就是：xk eax dx1 xk sinax dx选 uxk ，其他为 dv xk cosax dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 eaxsinbxdxeaxcosbxdx选 u eax,其他为 dv3xklnmxdx选

23、u = lnmx，其他为 dv。3分部积分时， dv 中函数 v 如何找？ 1用凑微分得到2一时无法凑微分，可用不定积分 dvv + c 求得一个原函数 v，把 v 放在 d 之后，不必把积分常数c也放入 d 之后，由于 dv+c=dv 。例 4：求以下不定积分：(1) x2exdx解：原式 = x2dexx2ex exdx2 = x2ex2xexdx= x2ex 2 xdex = x2ex 2xex exdx= x2ex 2x ex+2ex+ c = x22x+2 ex+ c从上例可见，分部积分公式可反复使用。(2) excosdx解：原式 = exdsinx=exsinx sinxdex

24、= exsinx exsinxdx=exsinx+exdcosx = exsinx+excosx cosxdex=exsinx+excosx excosxdx+2c就 2 excosxdx sinx+cosx ex+2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2原式 1sinx+cosx ex+c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 2xlnxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dx x2lnx 2x解：原式 = lnxdx 2x2lnx x2dlnx = x2lnx x xdx2= x2lnx 1 x2+c自测题：一、 挑选题：1、如 F x 是 f

25、x 的一个原函数，就 f3x+2dx 1A、F3x+2+cB、3Fx+c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C、1F3x+2+c 3D、Fx+c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、如 fxdx cos3x+c，就 fx A、 3sin3xB、 3cos3xC、3sin3xD、3cos3x3、以下等式成立的有 111A、x dx dxB、 x2 dx dx C、sinxdx dcosxD、axdx=lnadax 4、以下等式正确选项 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、A1 x2dx=dx 3B13xx2xdx=dln|x|可编辑资料 - - - 欢迎下

26、载精品名师归纳总结C、sinxdx=dcosxD、ln5、da-3xdx=2 dx=d2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A、a-3xdxB、a-3x-3lnadx C、a-3xD、a-3x +c6、如 fx 是可导函数，就以下等式中不正确选项 A、 fxdx = fx B 、f xdx = fx+c C、d fxdx=fxdx D 、 dfx=fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、 填空题：1、如函数 fx 的一个原函数 Fx=x 3,就 f x=。2、sin2xcosxdx=。3、如 fxdx=x 2+c，就xf1 x2dx= 。三、 运算题：1、求以下不

27、定积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 21 xx3 dx2 x-1x sinxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 ex3+2xdx 2、求以下不定积分1 ex1+ex4dx2 x1-x2 dx3 sin1-2xdx4 cosxesinxdx cosx5 cosxdx3、求不定积分1 xexdx2 xlnxdx(3) xsinxdx4 exsinxdx(4) 2xlnx+1dx答案：一、 挑选题：1、C2、A3、B4、B5、A6、B二、 填空题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11、6x2、 3sin3x+c3、 11x22+c可编辑资料

28、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结2三、 运算题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、 11313 x +x2 +c2xln|x| cosx c2ex可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 3ex+1+ln2 + c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、11511+ex5+c21 13sinx3x 2 2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32 cos12x+c4e+c(5) 2sinx +c22243、1xex ex + c1 x2lnx x + c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3xcosx + sinx + c4 12ex sinxcosx+ c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结25x2lnx+1x2+ x ln|x+1|+ c可编辑资料 - - - 欢迎下载