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1、全等三角形与角平分线全等图形： 能够完全重合的两个图形就是全等图形全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角全等多边形的对应边、对应角分别相等如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE五边形A B C D E这里符号“”表示全等，读作“全等于”ABCDEEDCBA全等三角形： 能够完全重合的三角形就是全等三角形全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫
2、作全等三角形能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角全等符号为“ ” 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，常用到以下方法：( 1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边( 2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角( 3) 有公共边的，公共边常是对应边( 4) 有公共角的，公共角常是对应角( 5) 有对顶角的，对顶角常是对应角全等三角形的判定方法：( 1)边角边定理 ( SAS ) ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等( 2)角边
3、角定理 ( ASA) ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等( 3)边边边定理 ( SSS ) ：三边对应相等的两个三角形全等( 4)角角边定理 ( AAS) ：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等( 5)斜边、直角边定理( HL) ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等判定三角形全等的基本思路：SASHLSSS找夹角已知两边找直角找另一边ASAAASSASAAS边为角的对边找任意一角找这条边上的另一角已知一边一角边就是角的一条边找这条边上的对角找该角的另一边ASAAAS找两角的夹边已知两角找任意一边全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： 平移全等型精选学习资料
4、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页 对称全等型 旋转全等型由全等可得到的相关定理： 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等( 即等边对等角) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：角平分线上的点
5、到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上它们具有互逆性角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3OAOB，这种对称的图形应用得也较为普遍，ABOPPOBAABOP三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它
6、的一半中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边中线中位线相关问题(涉及中点的问题) 见到中线 (中点 )，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见例题精讲精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页板块一、全等三角形的认识与性质【例 1】在AB、AC上各取一点E、D，使AEAD，连接BD、CE相交于O再连结AO、BC，若12，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由21EODCBA【巩固】如图所示，ABAD，
7、BCDC，EF、在AC上，AC与BD相交于P图中有几对全等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由板块二、三角形全等的判定与应用【例 2】( 2008 年巴中市高中阶段教育学校招生考试) 如图，ACDE，BCEF，ACDE 求证：AFBDFEDCBA【例 3】( 2008 年宜宾市 ) 已知：如图，ADBC，ACBD，求证：CDODCBA【巩固】如图，AC 、BD相交于 O 点，且ACBD，ABCD，求证：OAODFAEPDCB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页ABCDO【例 4】( 哈尔滨市2008 年初中升学考试
8、) 已知： 如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，ABDC，BECF，BC求证：OAODFEODCBA【例 5】已知，如图，ABAC，CEAB，BFAC，求证：BFCEFECBA【例 6】E、F分别是正方形ABCD的BC、CD边上的点，且BECF求证：AEBFPFEDCBA【巩固】E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点，GEEF，GEEF求证：BGCFBCGABCDEF【例 7】在凸五边形中，BE，CD，BCDE，M为CD中点求证：AMCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页MEDCBA板块三、截
9、长补短类【例 1】 如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点( 点B除外 ) ，作60DMN，射线MN与DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系? NEBMAD【巩固】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与ABC外角的平分线交于点 N ，MD与MN有怎样的数量关系？NCDEBMA【例 2】 如图， ADAB，CBAB，DM =CM=a，AD=h，CB=k，AMD =75 ， BMC=45 ，则 AB的长为() A. aB. kC. 2khD. hMDCBA【例 3】 已知：如图，ABCD 是正方形，FAD=FAE. 求证： BE+DF=AE. 精
10、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页FEDCBA【例 4】 如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为 120o的等腰三角形，以D为顶点作一个 60o的MDN，点M、 N 分别在AB、 AC 上，求AMN的周长NMDCBA【例 5】 五边形 ABCDE 中， AB=AE，BC+DE=CD， ABC+AED=180 ，求证： AD 平分 CDECEDBA板块四、与角平分线有关的全等问题【例 1】 如图，已知ABC的周长是21，OB，OC分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且3OD，求ABC的面积【例 2】 在
11、ABC中，D为BC边上的点，已知BADCAD，BDCD，求证：ABACA D O C B DCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页【例 3】 已知ABC中，ABAC，BE、 CD 分别是ABC及ACB平分线求证：CDBEEDCBA【例 4】 已知ABC中，60Ao，BD、 CE 分别平分ABC和ACB，BD、 CE 交于点 O ，试判断BE、 CD 、 BC 的数量关系，并加以证明OEDCBA【例 5】 如图，已知E是 AC 上的一点，又12，34求证：EDEBEDCBA4321【例 6】 ( “希望杯”竞赛试题
12、) 长方形 ABCD 中， AB=4，BC=7， BAD 的角平分线交BC 于点 E，EFED 交 AB 于 F，则 EF=_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页FEDCBA【例 7】 如图所示，已知ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上DECD，EFAC 求证：EFABFACDEB【巩固】如图，在ABC中，AD交 BC 于点D，点E是 BC 中点，EFAD交 CA 的延长线于点F，交AB于点 G ，若BGCF，求证：AD为BAC的角平分线FGEDCBA【 巩 固 】 在ABC中 ，ABAC，AD是BAC
13、的 平 分 线 P是AD上 任 意 一 点 求 证 ：ABACPBPCCDBPA【例 8】 如图，在ABC中，2BC，BAC的平分线AD交 BC 与D求证：ABBDAC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页DCBA【例 9】 如图所示，在ABC中，ACAB，M为 BC 的中点，AD是BAC的平分线，若CFAD且交AD的延长线于F，求证12MFACABMFDCBA【巩固】如图所示，AD是ABC中BAC的外角平分线，CDAD于D，E是 BC 的中点，求证DEAB且1()2DEABAC EDCBA【巩固】 如图所示， 在AB
14、C中，AD平分BAC，ADAB，CMAD于M，求证2ABACAMMDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页【例 10】如图，ABC中，ABAC，BD、CE 分别为两底角的外角平分线，ADBD于D，AECE于E求证：ADAEHGDABCE【巩固】已知：AD和BE分别是ABC的CAB和CBA的外角平分线，CDAD，CEBE，求证：DEAB；12DEABBCCA EBADC【例 11】在ABC 中，MB、 NC 分别是三角形的外角ABE 、ACF 的角平分线，AMBM，ANCN垂足分别是M、N求证：MNBC，12MNA
15、BACBCFENMCBA【巩固】在ABC 中，MB、NC 分别是三角形的内角ABC 、 ACB 的角平分线，AMBM，ANCN垂足分别是M、 N 求证：MNBC，12MNABACBCNMCBA【巩固】 ( 北京市中考模拟题) 如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作EABCE于，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页并且)(21ADABAE，则ADCABC等于多少？EDCBA【例 12】如 图，180AD，BE平分ABC，CE平分BCD，点E在AD上探讨线段AB、 CD 和 BC 之间的等量关系探讨线段BE与
16、 CE 之间的位置关系EDCBA版块一、倍长中线【例 1】 已知：ABC中，AM是中线求证：1()2AMABAC MCBA【巩固】 (2002 年通化市中考题)在ABC中，5,9ABAC，则 BC 边上的中线AD的长的取值范围是什么？【例 2】 如图，ABC中，AB AC，AD是中线求证：DACDAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页DCBA【例 3】 如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AFEF，求证：ACBEFEDCBA【例 4】 已知 ABC， B=C， D， E
17、 分别是 AB 及 AC 延长线上的一点，且BD=CE，连接 DE 交底BC 于 G，求证 GD=GEGEDCBA【例 5】 已知AM为ABC的中线，AMB，AMC的平分线分别交AB于E、交 AC 于F求证：BECFEFMFECBA【例 6】 在RtABC中，90A，点D为 BC 的中点，点E、F分别为AB、 AC 上的点，且EDFD以线段BE、EF、 FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页FEDCBA【巩固】如图所示，在ABC中，D是
18、 BC 的中点，DM垂直于DN，如果2222BMCNDMDN，求证22214ADABACNMDCBA【例 7】 (2008年四川省初中数学联赛复赛 初二组 )在Rt ABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边 CA 、 CB 上，满足90DFE若3AD，4BE，则线段DE的长度为 _FEDCBA版块二、中位线的应用【例 8】AD是ABC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交AC于E求证：13AEAC FADECB【例 9】 如图所示， 在ABC中，ABAC，延长AB到D，使BDAB，E为AB的中点， 连接 CE 、CD ，求证2CDEC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
19、纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页EDCBA【巩固】 已知 ABC 中，AB=AC，BD 为 AB 的延长线， 且 BD=AB，CE 为 ABC 的 AB 边上的中线 求证 CD=2CEEDBCA【例 10】已知： ABCD 是凸四边形，且ACGNM NMGFEDCBA【例 11】在ABC中，90ACB，12ACBC ，以BC为底作等腰直角BCD，E是CD的中点，求证：AEEB且AEBEEDCBA【例 12】如图，在五边形ABCDE中，90ABCAED，BACEAD，F为 CD 的中点 求证：BFEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
20、- - - - - -第 14 页，共 17 页EDFCBA【例 13】(“ 祖冲之杯” 数学竞赛试题，中国国家集训队试题)如图所示，P是ABC内的一点，PACPBC，过P作PMAC于M，PLBC于L，D为AB的中点，求证DMDLLPMDCBA【例 14】(全国数学联合竞赛试题) 如图所示，在ABC中，D为AB的中点，分别延长CA 、 CB 到点E、F，使DEDF过E、F分别作直线CA 、CB 的垂线， 相交于点P，设线段PA、PB的中点分别为M、N求证：(1) DEMFDN；(2) PAEPBFMNMADEPPFEDCBA家庭作业精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
21、 - - - - - - -第 15 页，共 17 页【习题 1】如图，已知ACBD，ADAC，BCBD，求证：ADBCDCBA【习题 2】点 M，N 在等边三角形ABC 的 AB 边上运动， BD=DC， BDC=120， MDN=60，求证 MN=MB+NCNMDCBA【习题3】在ABC中，3ABAC，BAC的平分线交BC于D，过B作BEAD，E为垂足，求证：ADDECEDBA【习题 4】如图，在ABC中，ABBDAC，BAC的平分线AD交 BC 与D求证：2BC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页DCBA【习题5】如图，在等腰ABC中，ABAC，D是 BC 的中点，过A作AEDE，AFDF，且AEAF求证：EDBFDCDFECBA【习题 6】如图，已知在ABC中，AD是 BC 边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？FEDCBA【习题 7】如右下图，在ABC中，若2BC，ADBC，E为 BC 边的中点求证：2ABDEEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页