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1、-全等三角形几种类型总结-第 4 页全等三角形与角平分线全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角全等多边形的对应边、对应角分别相等如下图，两个全等的五边形，记作：五边形五边形这里符号“”表示全等，读作“全等于”全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形能
2、够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角全等符号为“”全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角(3)有公共边的，公共边常是对应边(4)有公共角的，公共角常是对应角(5)有对顶角的，对顶角常是对应角全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的
3、两个三角形全等(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等判定三角形全等的基本思路：全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： 平移全等型 对称全等型 旋转全等型由全等可得到的相关定理： 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 等腰三角形的判定定理 如
4、果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上它们具有互逆性角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3 ，这种对称的图形应用得也较为普遍，三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线 三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
5、 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见例题精讲板块一、全等三角形的认识与性质【例1】 在、上各取一点、，使，连接、相交于再连结、，若，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由【巩固】如图所示，
6、在上，与相交于图中有几对全等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由板块二、三角形全等的判定与应用【例2】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图，求证：【例3】 (2008年宜宾市)已知：如图，求证： 【巩固】如图，、相交于点，且，求证：【例4】 (哈尔滨市2008 年初中升学考试)已知：如图，、四点在同一条直线上，求证：【例5】 已知，如图，求证：【例6】 、分别是正方形的、边上的点，且求证：【巩固】、分别是正方形的、边上的点，求证：【例7】 在凸五边形中，为中点求证：板块三、截长补短类【例1】 如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与
7、有怎样的数量关系?【巩固】如图，点为正方形的边上任意一点，且与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系？【例2】 如图，ADAB，CBAB，DM=CM=，AD=，CB=，AMD=75，BMC=45，则AB的长为 ( )A. B. C. D. 【例3】 已知：如图，ABCD是正方形，FAD=FAE. 求证：BE+DF=AE.【例4】 如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长【例5】 五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：AD平分CDE板块四、与角平分线有关的全等问题【例1】 如图，已知的周长是，分别平分
8、和，于，且，求的面积ADOCB【例2】 在中，为边上的点，已知，求证：【例3】 已知中，、分别是及平分线求证：【例4】 已知中，、分别平分和，、交于点，试判断、的数量关系，并加以证明【例5】 如图，已知是上的一点，又，求证：【例6】 (“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD中，AB=4，BC=7，BAD的角平分线交BC于点E，EFED交AB于F，则EF=_【例7】 如图所示，已知中，平分，、分别在、上，求证：【巩固】如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交 于点，若，求证：为的角平分线【巩固】在中，是的平分线是上任意一点求证：【例8】 如图，在中，的平分线交与求证：【例9】 如图所示，在中
9、，为的中点，是的平分线，若且交的延长线于，求证【巩固】如图所示，是中的外角平分线，于，是的中点，求证 且【巩固】如图所示，在中，平分，于，求证【例10】 如图，中，、分别为两底角的外角平分线，于，于求证：【巩固】已知：和分别是的和的外角平分线，求证： ； 【例11】 在中，、分别是三角形的外角、的角平分线，垂足分别是、求证：，【巩固】在中，、分别是三角形的内角、的角平分线，垂足分别是、求证：，【巩固】(北京市中考模拟题)如图，在四边形中，平分，过作，并且，则等于多少？【例12】 如图，平分，平分，点在上 探讨线段、和之间的等量关系 探讨线段与之间的位置关系版块一、倍长中线【例1】 已知：中，是
10、中线求证：【巩固】(2002年通化市中考题)在中，则边上的中线的长的取值范围是什么？【例2】 如图，中，是中线求证：【例3】 如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，求证：【例4】 已知ABC，B=C，D，E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G，求证GD=GE【例5】 已知为的中线，的平分线分别交于、交于求证：【例6】 在中，点为的中点，点、分别为、上的点，且以线段、为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？【巩固】如图所示，在中，是的中点，垂直于，如果，求证【例7】 (年四川省初中数学联赛复赛初二组)在中，是斜边的中点
11、，、分别在边、上，满足若，则线段的长度为_版块二、中位线的应用【例8】 是的中线，是的中点，的延长线交于求证：【例9】 如图所示，在中，延长到，使，为的中点，连接、，求证【巩固】已知ABC中，AB=AC，BD为AB的延长线，且BD=AB，CE为ABC的AB边上的中线求证CD=2CE【例10】 已知：ABCD是凸四边形，且ACGNM【例11】 在中，以为底作等腰直角，是的中点，求证：且【例12】 如图，在五边形中，为的中点求证：【例13】 (“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题)如图所示，是内的一点，过作于，于，为的中点，求证【例14】 (全国数学联合竞赛试题) 如图所示，在中，为的中点，分别延长、到点、，使过、分别作直线、的垂线，相交于点，设线段、的中点分别为、求证：(1) ；(2) 家庭作业【习题1】如图，已知，求证：【习题2】点M，N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC，BDC=120，MDN=60，求证MN=MB+NC【习题3】在中，的平分线交于，过作，为垂足，求证：【习题4】如图，在中，的平分线交与求证：【习题5】如图，在等腰中，是的中点，过作，且求证：【习题6】如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，与相等吗？为什么？【习题7】如右下图，在中，若，为边的中点求证：