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1、学习必备欢迎下载一、如何证明三角形相似例 1、如图： 点 G 在平行四边形ABCD 的边 DC 的延长线上 ,AG 交 BC、BD 于点 E、F，则 AGD 。例 2、已知 ABC 中， AB=AC ， A=36 ， BD 是角平分线，求证：ABC BCD例 3：已知，如图，D为 ABC内一点连结ED 、AD ，以 BC为边在 ABC外作 CBE= ABD ， BCE= BAD 求证： DBE ABC 例 4、矩形 ABCD 中， BC=3AB ，E、F，是 BC 边的三等分点，连结AE 、AF、 AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
2、例 5、 ABC 中，在 AC 上截取 AD，在 CB 延长线上截取BE，使 AD=BE ，求证： DFAC=BCFE 例 6：已知：如图，在ABC中， BAC=900，M是 BC的中点， DM BC于点 E ，交 BA的延长线于点D。求证：（ 1）MA2=MD ME ；（ 2）MDMEADAE22例 7：如图 ABC中， AD为中线， CF为任一直线，CF交 AD于 E，交 AB于 F，求证： AE ：ED=2AF ： FB。三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例 8：已知：如图E、F 分别是正方形ABCD的边 AB和 AD上的点，且31ADAFABEB。求证： AEF=
3、FBD 例 9、在平行四边形ABCD 内， AR、BR、CP、 DP 各为四角的平分线，求证： SQAB ，RP BC 例 10、已知 A、C、E 和 B、F、D 分别是 O 的两边上的点，且AB ED，BCFE，求证： AFCD 例 11、直角三角形ABC 中， ACB=90 ， BCDE 是正方形， AE 交 BC 于 F，FGAC 交 AB 于 G，求证： FC=FG 例 12、RtABC 锐角 C 的平分线交AB 于 E，交斜边上的高AD 于 O，过 O 引 BC 的平行线交AB 于 F，求证：AE=BF （答案）ABCDEFGABCDEM12ABCDEFG1234ABCDABCDEF
4、KABCDEFABCDSPRQOABCDEFABCDEFO123ABCDFGE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载例 1 分析： 关键在找“角相等” ，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角G 外,由 BCAD 可得 1=2，所以 AGD EGC。再 1= 2（对顶角） ，由 AB DG 可得 4=G，所以 EGC EAB 。例 2 分析： 证明相似三角形应先找相等的角，显然C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助
5、于计算也是一种常用的方法。证明： A=36 ， ABC 是等腰三角形，ABC= C=72又 BD 平分 ABC ，则 DBC=36 在 ABC 和 BCD 中， C 为公共角，A=DBC=36 ABC BCD 例 3 分析：由已知条件 ABD= CBE ， DBC公用。所以 DBE= ABC ，要证的 DBE和 ABC ，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到CBE ABD ，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。证明： 在CBE和 ABD中， CBE= ABD, BCE= BAD CBE ABD BCAB=B
6、EBD即：BCBE=ABBDDBE和 ABC中，CBE= ABD, DBC公用 CBE+ DBC= ABD+ DBC DBE= ABC且BCBE=ABBD DBE ABC 例 4 分析： 本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形ABCDEAABBCCDDEE(2)如图：其中1=2，则 ADE ABC 称为“相交线型”的相似三角形。ABCDE12AABBCCDDEE12412(3)如图： 1=2， B=D，则 ADE ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线
7、型”的相似三角形，及EAF 与 ECA 解：设 AB=a ，则 BE=EF=FC=3a ，由勾股定理可求得AE=a2， 在 EAF 与 ECA 中，AEF 为公共角， 且2AEECEFAE所以 EAF ECA 例 5 分析 ：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF：FE=BC ：AC，再利用相似三角形或平行线性质进行证明：证明：过D 点作 DK AB，交 BC 于 K，DK AB ， DF： FE=BK ：BE 又 AD=BE ， DF：FE=BK ：AD ，而 BK ：AD=BC ：AC 即 DF：FE= BC ：AC， DFAC=BCFE 例 6 证明： （1） BAC=900，M是
8、BC的中点， MA=MC， 1=C，DM BC ， C=D=900- B， 1=D， 2=2， MAE MDA ，MAMEMDMA， MA2=MD ME ，（2） MAE MDA ，MDMAADAE，MAMEADAEMDMEMAMEMDMAADAE22评注： 命题 1 如图，如果1=2，那么 ABD ACB ，AB2=AD AC 。命题 2 如图，如果AB2=AD AC ，那么 ABD ACB ， 1=2。BEACD12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载例 7分析 ：图中没有现成的相似形，也不能直接得
9、到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作？观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE ：ED ”的特征，作DG BA交 CF于 G ，得 AEF DEG ，DGAFDEAE。与结论BFAFFBAFEDAE212相比较，显然问题转化为证FBDG21。证明： 过 D点作 DG AB交 FC于 G则 AEF DEG 。（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似）DGAFDEAE（1）D为 BC的中点，且 DG BF G为 FC的中点则DG为 CBF的中位线，BFDG21（2） 将 （2） 代入 （1） 得：FBAFBFAFDEAE221例 8 分析： 要证角相等
10、，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似（一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形，证明： 作 FGBD ，垂足为G 。设 AB=AD=3k则 BE=AF=k ，AE=DF=2k ，BD=k23 ADB=450， FGD=900 DFG=450DG=FG=kDF22BG=kkk2222321BGFGAEAF又 A= FGB=900 AEF GBF AEF=FBD 例 9分析： 要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条
11、件，故可考虑用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。要证明 SQAB ，只需证明 AR：AS=BR ：DS。证明：在 ADS 和 ARB 中。 DAR= RAB=21DAB ， DCP= PCB=21ABC ADS ABR DSBRASAR但 ADS CBQ， DS=BQ ，则BQBRASAR， SQAB ，同理可证， RPBC 例 10 分析：要证明AFCD，已知条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。其实要证明AFCD，只要证明ODOFOCOA即可，因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。证明：
12、 AB ED，BCFEODOBOEOA，OBOFOCOE两式相乘可得：ODOFOCOA例 11 分析：要证明FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用比例线段来证明。要证明FC=FG，首先要找出与FC、FG 相关的比例线段，图中与FC、FG 相关的比例式较多，则应选择与 FC、FG 都有联系的比作为过渡，最终必须得到?FGFC（ “？”代表相同的线段或相等的线段），便可完成。证明：FGACBE， ABE AGF 则有AEAFBEGF而 FC DE AED AFC 则有AEAFDECFGFCFAFBEDEAE又 BE=DE （正方形的边长相等）DFG
13、FBEBE，即 GF=CF。例 12证明： CO 平分 C， 2= 3，故 RtCAERtCDO，CDACODAE又 OFBC，ADABODBF又 RtABD RtCAD ，ADABCDAC，即ODBFODAEAE=BF 。一、选择题1 （20XX 年滨州）如图所示，给出下列条件：BACD；ADCACB；ACABCDBC；2ACAD AB其中单独能够判定ABCACD的个数为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载A1 B2 C3 D4 【关键词】三角形相似的判定. 【答案】 C 2. （20XX年上海市
14、 )如图，已知ABCDEF，那么下列结论正确的是（）AADBCDFCEBBCDFCEADCCDBCEFBEDCDADEFAF【关键词】平行线分线段成比例【答案】 A 3.(2009成都 ) 已知 ABC DEF ，且AB：DE=1 ：2，则 ABC的面积与 DEF 的面积之比为 (A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：1 【关键词】【答案】 B4. (20XX年安顺)如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1 ， （ 2） CDE CAB ， （ 3） CDE 的面积与 CAB 的面积之比为1：4.其中正确的有：A0 个B1 个C2
15、个D3 个【关键词】等边三角形，三角形中位线，相似三角形【答案】 D 5.（2009 重庆綦江）若ABC DEF, ABC 与 DEF 的相似比为2，则 ABC 与 DEF 的周长比为（）A14 B12 C21 D2【关键词】【答案】 B 6. （20XX 年杭州市）如果一个直角三角形的两条边长分别是6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3 和 4 及 x，那么 x 的值（）A只有 1 个B可以有2 个C有 2 个以上但有限D有无数个【关键词】相似三角形有关的计算和证明【答案】 B7.20XX 年宁波市） 如图，菱形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，M、N 分别是边AB、A
16、D 的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（）A AOM 和 AON 都是等边三角形B四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载C四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形D四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形【关键词】位似【答案】 C8. （20XX年江苏省）如图，在5 5方格纸中，将图中的三角形甲平移到图中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（）A先向下平移3 格，再向右平移1 格B先向下平移2 格，再向右平移
17、1 格C先向下平移2 格，再向右平移2 格D先向下平移3 格，再向右平移2 格【关键词】平移【答案】 D 9.(20XX年义乌 ) 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm，则它的宽约为A12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm 【关键词】黄金比【答案】 A10.（20XX 年娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O、准星 A、目标B 在同一条直线上，如图4 所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A 偏离到 A，若 OA=0.2 米， OB=40 米，AA =0.00
18、15 米，则小明射击到的点B偏离目标点B 的长度 BB为（）A3 米B0.3 米C0.03 米D0.2 米【关键词】相似三角形【答案】 B 11. （2009 恩施市）如图，在ABC中，C9060BD ， ，是AC上一点，DEAB于E， 且21CDDE，则BC的长为（）A2 B433C2 3D4 3【关键词】解直角三角形、相似【答案】 B D B C A N M O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载12.（20XX 年甘肃白银）如图3，小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿
19、，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）A12m B10m C8m D7m 【关键词】 相似三角形判定和性质【答案】 A 13.（20XX 年孝感）如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕 O 点顺时针旋转90得 A OB 已知 AOB=30，B=90， AB=1，则 B 点的坐标为A3 3()22B33()22C13()22D3 1(,)22【关键词】旋转【答案】 A 14. （20XX 年孝感）美是一种感觉， 当人体下半身长与身高的比值越接近0.618 时，越给人一种美感 如图，某女士身高165cm，下半身长x 与身高 l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为A4cm B6cm C8cm D10cm 【关键词】黄金比【答案】 C15. （ 20XX 年新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）A.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页