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1、学习必备精品知识点二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。例 1下列式子，哪些是二次根式， 哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x0） 、0、42、-2、1xy、xy（x0，y?0） 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“” ；第二，被开方数是正数或 0知识点二：取值范围1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0 时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使
2、被开方数大于或等于零即可。2、 二次根式无意义的条件： 因负数没有算术平方根， 所以当 a0 时，没有意义。例 2当 x 是多少时，31x在实数范围内有意义？例 3当 x 是多少时，23x+11x在实数范围内有意义？知识点三：二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备精品知识点注：因为二次根式（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负
3、数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0；若，则a=0,b=0。例 4(1)已知 y=2x+2x+5，求xy的值(2)若1a+1b=0，求 a2004+b2004的值知识点四：二次根式（） 的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 例 1 计算1 （32）22 （35）23 （56）24 （72）2 例 2 在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
4、 知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备精品知识点注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数， 若是正数或 0，则等于a 本身，即；若 a 是负数，则等于 a 的相反数 -a, 即；2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。例 1 化简（1）9（2）2( 4)（3）25（4）2( 3)例 2 填空：当 a0 时，2a=_；当 aa，
5、则 a 是什么数？例 3 当 x2，化简2(2)x-2(1 2 )x知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而表示一个实数 a 的平方的算术平方根； 在中， 而中 a 可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备精品知识点知识点七：二次根式的乘除1、 乘法abab（a0，b0）反过来：ab=ab（a0，b0）2、除法ab=ab（
6、a0，b0）反过来，ab=ab（a0，b0）（思考： b 的取值与 a 相同吗？为什么？不相同，因为b 在分母，所以不能为0）例 1计算（1）457（2）139（3）927（4）126例 2 化简（1）9 16（2）1681（3）229x y（4）54例 3判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）( 4)( 9)49（2）1242525=4122525=4122525=412=83例 4计算： （1）123（2）3128（3）11416（4）648例 5化简：（1）364（2）22649ba（3）2964xy（4）25169xy例 6已知9966xxxx，且 x 为偶数，求（ 1+x）
7、22541xxx的值3、最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数 不含分母或分母中不含二次根式；（2）被开方数中 不含开得尽方的因数或因式（熟记20 以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系，当被开方数是整式时要先判断精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备精品知识点是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2（或 2 的倍数），若是则说明含有能开方的因式，则不满足条件，就不是最简二次根式）例 1把下列二次根式化为最简二次根式(1) 5312; (2) 2442x yx y; (3) 238x y4、化简最简二
8、次根式的方法：(1) 把被开方数 (或根号下的代数式 )化成积的形式，即分解因式；(2) 化去根号内的分母（或分母中的根号） ，即分母有理化；(3) 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来 （此步需要特别注意的是： 开到根号外的时候要带绝对值，注意符号问题）5. 有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：与；与；与；与说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化13、同类二次根式：被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。如8与18知识点八：二次根式的加减1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同
9、的二次根式（即同类二次根式）进行合并。 （合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。例 1计算（ 1）8+18（2）16x+64x分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并解： （1）8+18=22+32=（2+3）2=52（2）16x+64x=4x+8x=（4+8）x=12x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备精品知识点例 2计算（1）348-913+312（2） （48+20）+（12-5）例 3已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求（293xx+y23xy）-（x21x-5xyx）的值2、二次根式的混合运算：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减3、二次根式的比较：（1）若，则有； （2）若，则有（3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小例 4比较 312与45的大小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页