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1、1 第 34 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2017 年 9 月 16 日一、 （40 分）一个半径为r 、质量为 m 的均质实心小圆柱被置于一个半径为R 、质量为 M 的薄圆筒中， 圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。重力加速度大小为g。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率：（1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动；（2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附近作无滑滚动。R 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页2 二、 （40 分）星体P（行星
2、或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线1coskr式中， r 是 P 到太阳 S 的距离，是矢径 SP相对于极轴 SA 的夹角 （以逆时针方向为正） ，22LkGMm, L 是P相对于太阳的角动量，113126.6710mkgsG为引 力 常 量 ，301.9910kgM为 太 阳 的 质 量 ，222321ELG M m为偏心率，m 和 E 分别为 P 的质量和机械能。假设有一颗彗星绕太阳运动的轨道为抛物线，地球绕太阳运动的轨道可近似为圆，两轨道相交于C、 D 两点，如图所示。已知地球轨道半径11E1.4910 mR，彗星轨道近日点 A 到太阳的距离为地球轨道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间
3、的相互影响。求彗星（1）先后两次穿过地球轨道所用的时间；（2）经过 C、D 两点时速度的大小。已知积分公式3/21/2223xdxxaa xaCxa，式中C是任意常数。S A B C RE r P D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页3 三、 （40 分） 一质量为 M 的载重卡车A 的水平车板上载有一质量为m 的重物 B，在水平直公路上以速度0v 做匀速直线运动，重物与车厢前壁间的距离为L （0L） 。因发生紧急情况，卡车突然制动。已知卡车车轮与地面间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为1，重物与车厢底板间的动摩擦
4、因数和最大静摩擦因数均为2（21） 。若重物与车厢前壁发生碰撞，则假定碰撞时间极短，碰后重物与车厢前壁不分开。重力加速度大小为g。（1）若重物和车厢前壁不发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车停止的过程所花的时间和走过的路程、重物从制动开始到重物停止的过程所花的时间和走过的路程，并导出重物B 与车厢前壁不发生碰撞的条件；（2）若重物和车厢前壁发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车和重物都停止的过程所经历的时间、卡车走过的路程、以及碰撞过程中重物对车厢前壁的冲量。ABL精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页4 四、 （40 分）如俯
5、视图，在水平面内有两个分别以O 点与 O1点为圆心的导电半圆弧内切于M 点，半圆 O 的半径为2a，半圆 O1的半径为 a ；两个半圆弧和圆O 的半径 ON 围成的区域内充满垂直于水平面向下的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B ；其余区域没有磁场。半径OP 为一均匀细金属棒，以恒定的角速度绕 O点顺时针旋转， 旋转过程中金属棒OP 与两个半圆弧均接触良好。已知金属棒OP 电阻为 R ，两个半圆弧的电阻可忽略。开始时P 点与 M 点重合。在t（0t）时刻，半径OP 与半圆 O1交于 Q 点。求（1）沿回路QPMQ 的感应电动势；（2）金属棒OP 所受到的原磁场B 的作用力的大小。O1Q M
6、O N P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页5 五、 （40 分）某种回旋加速器的设计方案如俯视图a所示，图中粗黑线段为两个正对的极板，其间存在匀强电场，两极板间电势差为U。两个极板的板面中部各有一狭缝（沿 OP 方向的狭长区域），带电粒子可通过狭缝穿越极板（见图 b） ；两细虚线间 （除开两极板之间的区域）既无电场也无磁场；其它部分存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面。在离子源S 中产生的质量为m 、带电量为q（0q）的离子，由静止开始被电场加速，经狭缝中的O 点进入磁场区域，O 点到极板右端的距离为D ，到
7、出射孔P 的距离为bD（常数b为大于 2 的自然数）。已知磁感应强度大小在零到maxB之间可调，离子从离子源上方的O 点射入磁场区域，最终只能从出射孔P 射出。假设如果离子打到器壁或离子源外壁则即被吸收。忽略相对论效应。求（1）可能的磁感应强度B 的最小值；（2）磁感应强度B 的其它所有可能值；（3）出射离子的能量最大值。DbDSOP图 a 图 b DS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页6 六、 （40 分） 1914 年，弗兰克 -赫兹用电子碰撞原子的方法使原子从低能级激发到高能级，从而证明了原子能级的存在。加速
8、电子碰撞自由的氢原子，使某氢原子从基态激发到激发态。该氢原子仅能发出一条可见光波长范围（400nm760nm:）内的光谱线。仅考虑一维正碰。（1）求该氢原子能发出的可见光的波长；（2）求加速后电子动能kE 的范围；（3）如果将电子改为质子，求加速质子的加速电压的范围。已知1240nm eVhc，其中h为普朗克常数，c 为真空中的光速；质子质量近似为电子质量的 1836 倍，氢原子在碰撞前的速度可忽略。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页7 七、 （40 分）如气体压强 -体积图所示， 摩尔数为的双原子理想气体构成的系
9、统经历一正循环过程（正循环指沿图中箭头所示的循环），其中自 A 到 B 为直线过程，自B 到 A 为等温过程。双原子理想气体的定容摩尔热容为52R ，R 为气体常量。（1）求直线AB 过程中的最高温度；（2）求直线AB 过程中气体的摩尔热容量随气体体积变化的关系式，说明气体在直线AB过程各段体积范围内是吸热过程还是放热过程，确定吸热和放热过程发生转变时的温度cT ；（3）求整个直线AB 过程中所吸收的净热量和一个正循环过程中气体对外所作的净功。V P V0V0/2 P0/2 P0A B O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共
10、 23 页8 八、 （40 分）菲涅尔透镜又称同心圆阶梯透镜，它是由很多个同轴环带套在一起构成的，其迎光面是平面， 折射面除中心是一个球冠外，其它环带分别是属于不同球面的球台侧面，其纵剖面如右图所示。这样的结构可以避免普通大口径球面透镜既厚又重的缺点。菲涅尔透镜的设计主要是确定每个环带的齿形（即它所属球面的球半径和球心），各环带都是一个独立的（部分）球面透镜，它们的焦距不同，但必须保证具有共同的焦点（即图中F 点） 。已知透镜材料的折射率为n ，从透镜中心O（球冠的顶点）到焦点F 的距离（焦距）为f （平行于光轴的平行光都能经环带折射后会聚到F 点） ，相邻环带的间距为d（d很小，可忽略同一带
11、内的球面像差；d又不是非常小，可忽略衍射效应）。求（1）每个环带所属球面的球半径和球心到焦点的距离；（2）该透镜的有效半径的最大值和有效环带的条数。FddddddO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页9 第 34 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2017 年 9 月 16 日一、 （40 分）一个半径为r 、质量为 m 的均质实心小圆柱被置于一个半径为 R 、质量为 M 的薄圆筒中， 圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。重力加速度大小为g。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率
12、：（1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动；（2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附近作无滑滚动。解：（1）如图，为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角。小圆柱受三个力作用：重力， 圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。设圆筒对小圆柱的静摩擦力大小为 F ，方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正）。考虑小圆柱质心的运动，由质心运动定理得sinFmgma式中， a 是小圆柱质心运动的加速度。由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动，小圆柱绕其中心轴转过的角度1（规定小圆柱在最低点时10 ） 与之 间 的 关 系 为1()Rr由 式得， a 与的关系为2212
13、2()ddarRrdtdt考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得212drFIdt式中， I 是小圆柱绕其自身轴的转动惯量212Imr由 式及小角近似sin得22203()dgdtRr由式知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为1 6()gfRr（2）用 F 表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小，1和2分别为小圆柱与圆筒转过的角度 （规定小圆柱相对于大圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置120 ） 。对于小圆柱，由转动定理得221212dFrmrdt对于圆筒，同理有2222()dFRMRdt由 式得22122221ddFrRmMdtdt?设在圆柱横截面上小圆
14、柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角， 由于小圆柱与圆筒间做无滑滚动，有12()RrR?由?式得22212222()dddRrrRdtdtdt?设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的加速度为a ，由质心运动定理得sinFmgma?R 1R 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页10 由?式得22()daRrdt?由?式及小角近似sin，得22203dMmgdtMm Rr?由?式可知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为122 3MmgfMm Rr?评分参考 ：第（ 1）问 20 分，式各3 分，式
15、2 分，式 3 分，式各2 分，式3分，式2 分；第（ 2）问 20 分， ? 式各 2 分， ? 式 3 分， ?式各 2 分， ? 式 3分， ? 式 2 分。二、 （40 分）星体P（行星或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线1coskr式中， r 是 P到太阳 S 的距离，是矢径 SP 相对于极轴SA 的夹角（以逆时针方向为正），22LkGMm, L 是P 相对 于太 阳的角动量，113126.6710mkgsG为 引 力常 量，301.9910kgM为太阳的质量，222321ELG M m为偏心率，m 和 E 分别为P 的质量和机械能。假设有一颗彗星绕太阳运动的轨道为抛物线，地球绕太阳运
16、动的轨道可近似为圆，两轨道相交于C、 D 两点，如图所示。已知地球轨道半径11E1.4910 mR，彗星轨道近日点 A 到太阳的距离为地球轨道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。求彗星（1）先后两次穿过地球轨道所用的时间；（2）经过 C、D 两点时速度的大小。已知积分公式3/21/2223xdxxaa xaCxa，式中C是任意常数。解：（1）由题设，彗星的运动轨道为抛物线，故1, 0E彗星绕太阳运动的轨道方程为：1coskr彗星绕太阳运动过程中，机械能守恒2221022LmrV rEmr&式中MmVrGr当彗星运动到近日点A 时，其径向速度为零，设其到太阳的距离为minr，由 式得
17、2min2minmin2LMmV rGmrr由 式和题给条件得2Emin223LRrGMmS A B C RE r P D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页11 由 式得2222drGMLdtrm r或2222drdtGMLrm r设彗星由近日点A 运动到与地球轨道的交点C 所需的时间为t，对式两边积分，并利用式得EEEmin23E221223RRRrdrrdrtGMRGMLrrm r对 式应用题给积分公式得EE3E3/21/2EEEEE3 2E1231223333210327RRrdrtGMRrRRRRRGM
18、RGM由对称性可知，彗星两次穿越地球轨道所用的时间间隔为3 2E20 3227RTtGM将题给数据代入 式得66.4010 sT?（2）彗星在运动过程中机械能守恒2102GMmmErv?式中 v 是彗星离太阳的距离为r 时的运行速度的大小。由? 式有2GMrv?当彗星经过C、D 处时CDErrR?由?式得，彗星经过C、D 两点处的速度的大小为CDE2GMRvv?由? 式和题给数据得4CD4.2210 m/svv?评分参考 ：第（ 1）问 28 分，式4 分，式2 分，式4 分，式2 分，式4 分， ? 式各 2 分；第（ 2）问 12 分， ? 式 4 分， ?式各 2 分。三、 （40 分）
19、一质量为M 的载重卡车A 的水平车板上载有一质量为m 的重物 B，在水平直公路上以速度0v 做匀速直线运动， 重物与车厢前壁间的距离为L（0L） 。 因发生紧急情况，卡车突然制动。已知卡车车轮与地面间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为1，重物与车厢底板间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为2（21） 。若重物与车厢前壁发生碰撞，则假定碰撞时间极短，碰后重物与车厢前壁不分开。重力加速度大小为g。（1）若重物和车厢前壁不发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车停止的过程所花的时间和走过的路程、重物从制动开始到重物停止的过程所花的时间和走过的路程，并导出重物B 与车厢前壁不发生碰撞的条件；（2）若重物和车厢前壁发
20、生碰撞，求卡车从制动开始到卡车和重物都停止的过程所经历的时间、卡车走过的路程、以及碰撞过程中重物对车厢前壁的冲量。ABL精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页12 解： （1）若重物和车厢前壁不发生碰撞。卡车在水平直公路上做匀减速运动，设其加速度大小为1a 。由牛顿第二定律有121()Mm gmgMa由式得1121()MmagM由匀减速运动公式，卡车从制动开始到静止时所用的时间1t 和移动的距离1s 分别为0011112()MtaMm gvv，2200111122()2MsaMmgvv重物 B 在卡车 A 的车厢底板
21、上做匀减速直线运动，设 B 相对于地面的加速度大小为2a 。由牛顿第二定律有22mgma222mgagm从卡车制动开始到重物对地面速度为零时所用的时间2t 和重物移动的距离2s 分别为00222tagvv，220022222vvsag由于21，由二式比较可知，12tt，即卡车先停，重物后停。若21ssL，重物 B 与车厢前壁不会发生碰撞，因此不发生碰撞的条件是2220001221212112()()22() 2MmLssaaMmgvvv（2）由式知，当满足条件2012212112()()2()MmLssMmgv时，重物B 与车厢前壁必定发生碰撞。设从开始制动到发生碰撞时的时间间隔为t ，此时有
22、几何条件21( )( )s ts tL这里又可分为两种情况：12ttt（重物在卡车停下后与车厢前壁发生碰撞）和1tt（重物在卡车停下前与车厢前壁发生碰撞）。（i）12ttt，即卡车A 在1t时停下，重物B 继续运动，在t 时与车厢前壁发生碰撞。卡车停下的时间和向前滑动的距离是给出的1t和1s ，同时重物相对于地面向前滑动的距离是220 12 1212120211212(2)2()2()sta tM MmgMmvv重物相对于车厢向前滑动的距离是2212120021211211220122112(2)2()2()2()()()2()M MmMssgMmgMmMm MgMmvvv精选学习资料 - -
23、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页13 如果2121ssLss，即当2212001221122112()()()()2+()2()vvmM MMmLMmgMmg满足时，在车已停稳后重物仍会向前运动并且撞上车厢前壁。从制动到重物B 与车厢前壁碰撞前，重物B 克服摩擦力做功。设在碰撞前的瞬间重物B 相对地面的速度为2v ，由动能定理有22202111()22mmmg sLvv由式得2212020212112()()2()2()Mmg sLgLMmvvv设碰撞后瞬间重物B 与卡车 A 的速度均为v ，由于碰撞时间极短，碰撞前后动量守恒2(
24、)mmMvv由式得212022112()()2()MmmmgLmMmMMmvvv碰撞过程中重物B 对车厢前壁的冲量为21202112()()02()MmmMIMgLmMMmvv碰撞后，卡车和重物又一起运动了一段时间211mtgmMgvv?再移动了一段路程22212012211112()()222()()MmmsgLgmMgMmvv=?才最终停止下来（对于卡车而言，这是第二次停下来）。重物撞上车厢前壁的时间是0222tgvv?所以，从卡车制动到车和重物都停下所用的总时间为(i)020222212212012011222121121()()()()()2()()mmtttgg Mmggg MmMm
25、MmgLgg mMMmvvvvvvv?卡车移动的总路程则为222(i)11202111211121()()=+2()()()M mMmm LsssmMMm gmMv?（ii ）1tt ，即卡车还未停下，重物就与车厢前壁发生碰撞由式的推导可知，条件1tt 可写成21202112()()2()vmM MLMmg由匀减速运动学公式，式成为22020111()22vvta ttatL解得碰撞发生的时间121222()()LLMtaamM g在碰撞前的瞬间，卡车A 的速度1v 和重物 B 的速度2v 分别为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13
26、 页，共 23 页14 10101122()()vvvLMa tamM g，20202122()()vvvLMa tamM g?由碰撞前后动量守恒，可得碰撞后重物B 和卡车 A 的共同速度v为212101201122()()2()()mMmaMaLMmMmMmM gLMgmMvvvvv?由冲量定理和以上两式得碰撞过程中重物B 对车厢前壁的冲量为121122()()2()MmMIMaaLmgLmMmMvv?卡车运动时间为碰撞前后的两段时间之和，由122()()LMtmM g与? 式可得(ii)011ttggvv?卡车总路程等于碰前和碰后两段路程之和22(ii)20101111222mLsta t
27、ggMmvvv?另解，将卡车和重物视为一个系统，制动过程中它们之间的摩擦力和碰撞时的相互作用力都是内力，水平外力只有地面作用于卡车的摩擦力1)Mmg（。在此力作用下系统质心做加速度大小为g1的匀减速运动，从开始到卡车和重物都停止时所经历的时间为(ii)01tgv?系统质心做匀减速运动的路程为2012cx =gv设制动前卡车和重物的质心分别位于1x和2x；制动后到完全停下卡车运动了路程(ii)1s，两个质心分别位于(ii)111xxs和(ii)221+xxsL 。于是有2(II)0121211()=2cMxmxMxmxMm smLxMmMmMmgv由此解得2(ii)0112mLsgMmv?评分参
28、考 ：第（ 1）问 10 分，式各2 分；第（ 2）30 分，式2 分， ?式各 2 分， ?式各 2 分。四、 （40 分）如俯视图，在水平面内有两个分别以O 点与 O1点为圆心的导电半圆弧内切于M 点，半圆O 的半径为2a，半圆 O1的半径为 a ；两个半圆弧和圆O 的半径 ON 围成的区域内充满垂直于水平面向下的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B ；其余区域没有磁场。半径 OP 为一均匀细金属棒，以恒定的角速度绕 O 点顺时针旋转，旋转过程中金属棒OP 与两个半圆弧均接触良好。已知金属棒 OP 电阻为 R ，两个半圆弧的电阻可忽略。开始时P 点与M 点重合。 在 t（0t）时刻， 半
29、径 OP 与半圆 O1交于 Q 点。O1Q M O N P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页15 求（1）沿回路QPMQ 的感应电动势；（2）金属棒OP 所受到的原磁场B 的作用力的大小。解：（1）考虑从初始时刻0t至时刻02t，金属棒OP 扫过的磁场区域的面积为11O QOOPMO QMSSSS扇形扇形式中，OPMS扇形、1O QMS扇形和1O QOS分别是扇形OPM、扇形 O1QM 和1O QO 的面积。由几何关系得2OPM1()(2 )2Sta扇形12O QM1(2)2St a扇形1O QO(sin)(c
30、os)Satat由 式得21(2sin2)2Stt a通过面积S的磁通量为BS由法拉第电磁感应定律得，沿回路QPMQ 的感应电动势为ddt式中，负号表示感应电动势沿回路逆时针方向（即沿回路QPMQ ） 。由 式得2(1cos2), 02ta Bt当2t时，沿回路QPMQ 的感应电动势与2t时的一样，即22, 2a Bt（2）在 t 时刻流经回路QPMQ 的电流为1iR式中12LRRa?这里， L 为 PQ 的长。由几何关系得22 cos, 02Laatt?2 , 2Lat?半径 OP 所受到的原磁场B 的作用力的大小为FiLB?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
31、 - - - - - -第 15 页，共 23 页16 由?式得322(1cos2), 02a BFttR?由?式得324, .2a BFtR?评分参考 ：第（ 1）问 22 分，式各2 分，式各4 分，式各2 分；第（ 2）问 18 分，式4 分， ?式各 2 分， ? 式 4 分， ?式各 2 分。五、 （40 分）某种回旋加速器的设计方案如俯视图a所示，图中粗黑线段为两个正对的极板，其间存在匀强电场，两极板间电势差为U。两个极板的板面中部各有一狭缝 （沿 OP 方向的狭长区域） ，带电粒子可通过狭缝穿越极板（见图b） ；两细虚线间（除开两极板之间的区域）既无电场也无磁场；其它部分存在匀强
32、磁场，磁感应强度方向垂直于纸面。在离子源S中产生的质量为m 、带电量为q（0q）的离子，由静止开始被电场加速，经狭缝中的O 点进入磁场区域，O点到极板右端的距离为D ，到出射孔P 的距离为bD（常数b为大于 2 的自然数）。 已知磁感应强度大小在零到maxB之间可调，离子从离子源上方的O 点射入磁场区域，最终只能从出射孔P 射出。假设如果离子打到器壁或离子源外壁则即被吸收。忽略相对论效应。求（1）可能的磁感应强度B 的最小值；（2）磁感应强度B 的其它所有可能值；（3）出射离子的能量最大值。解： （1）设离子从O 点射入磁场时的速率为v ，由能量守恒得212qUmv由 式得2qUmv设离子在磁
33、场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r ，有2qBmrvv由 式得12mUrBq若2bDr或22DbDr则离子只能打到器壁或离子源外壁被吸收，不能从P 射出。若离子从O 射出后只运动半个圆周即从 P 射出，则2bDrDbDSOP图 a 图 b DS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页17 将 式代入 式得，电子能够从P 出射，可能的磁感应强度B 的最小值为min22mUBbDq（2）若2Dr则离子将穿过上极板进入电场区域，被减速到零后， 又重新反向加速至进入时的速率，从进入处再回到磁场区域。设这样的过程进行了k 次，然后
34、离子将绕过两极板右端从下极板进入电场区域被加速，再穿过上极板进入磁场时能量增加到2qU，运动半径增加到1211rrr这样加速 n 次后，离子做圆周运动的半径nr 为1nrnr当满足条件(1)2nbDkrrnk r或2(1)bDrnk时，离子可从P 处射出。另一方面，显然有1k，且22(1)krDkr解得2(1)2DDrkk?由?式有(1)(1)2(1)22DbDDnknkkk?解得222(1)1(1)1bknbkb?由? 式可得maxmax2222DBDqakrmU?式中maxr是当maxBB时由 式定出的。因此k为不大于2a的最大自然数2a2ak?由 式知，磁感应强度B 的其它所有可能值为1
35、22(1)2mUnkmUBrqbDq?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页18 式中2222222222222222222222221(1)1(1)(1)12122(1) 21(1) 2(1) 212(1)23(1) 31(1) 3(1) 313(1)2(1)1(1)(1)1(1)22222knbbbbbbbbbbbbbbaaaaabbbbbLLLMMMMMML22?（3）离子被电场加速了1n次后，其出射能量为(1)EnqU?对于满足 ? 式的k，n 可以取到最大值为2(1)2bkb，再由 ? 式，可得出射离子的能
36、量最大值为2maxmax(1)(1)12bbaEnqUqU?评分参考 ：第（ 1）问 12 分，式各 2 分；第（ 2）问 23 分， 式各 2 分， 式 4 分， ?式各 2 分， ? 式 3 分；第（ 3）问 5 分， ? 式 3 分， ? 式 2 分。六、 （40 分） 1914 年，弗兰克 -赫兹用电子碰撞原子的方法使原子从低能级激发到高能级，从而证明了原子能级的存在。加速电子碰撞自由的氢原子，使某氢原子从基态激发到激发态。该氢原子仅能发出一条可见光波长范围（400nm760nm:）内的光谱线。仅考虑一维正碰。（1）求该氢原子能发出的可见光的波长；（2）求加速后电子动能kE 的范围；（
37、3）如果将电子改为质子，求加速质子的加速电压的范围。已知1240nm eVhc，其中h为普朗克常数，c 为真空中的光速；质子质量近似为电子质量的 1836 倍，氢原子在碰撞前的速度可忽略。解：（1）由氢原子的能级公式213.6eV, 1,2,nEnnL可得氢原子的能级图如图所示。可见光光子能量的上限1E 和下限2E 分别为111240nm eV3.10eV400nmhcE221240nm eV1.63eV760nmhcE要能观察到可见光范围内的光谱线，发生跃迁的两能级的能量之差应在可见光的能量范围1.63eV 3.10eV内。要仅能观察到一条可见光范围内的光谱线，由氢原子的能级图可知，只能将氢
38、原子激发-13.6-3.40-1.51-0.850ev 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页19 到第二激发态，即能级3n氢原子第二激发态（3n）到第一激发态（2n）的能量差为3232( 1.51eV)( 3.4eV)1.89eVEEE氢原子从第二激发态跃迁到第一激发态所发出的可见光的波长为32656nmhcE（2）要使氢原子能激发到能级3n，需要提供的能量至少为3131( 1.51eV)( 13.60eV)12.09eVEEE设电子质量为em ， 电子碰撞前后的速度分别为1v 和2v ， 氢原子碰撞前后的速度分别
39、为10u（由题意）和2u ，电子因激发氢原子而损失的能量为E（被氢原子吸收为激发能）。由动量和能量守恒有e1e22mmMuvv222e1e22111222mmMuEvv由 式消去2u，得222ee2e12ee1()2()20mMmmm mMMEvv vv?此式是关于2v 的一元二次方程。注意到2v 为实的常量，故方程? 的系数应满足条件222e1eeee1( 2)4()()20mmMmmmMMEvv?化简得2ee11(1)2kmEmEMv?要使原子从基态仅激发到第二激发态，E应满足3141EEE?式中31E 已由式给出，而4141( 0.85eV)( 13.60eV)12.75eVEEE?由?
40、式得ee31k41(1)(1)mmEEEMM?由? 式和题给条件得k12.10eV12.76eVE?（3）如果将电子改为质子，? 式成为pp3141(1)(1)kmmEEEMM?式中pm 为质子的质量。由? 式和题给条件得k24.17eV25.49eVE?设加速质子的加速电压为V。由keVE（ e 为质子电荷）和? 式得24.17V25.49VV?评分参考 ：第（ 1）问 14 分，式各2 分；第（ 2）问 20 分，式各2 分，式各 3 分，? 式 2 分，? 式 4 分，? 式 2 分， ? 式 1 分， ?式各 2 分；第（ 3）问 6 分，?式各 2 分。精选学习资料 - - - -
41、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页20 七、 （40 分）如气体压强-体积图所示，摩尔数为的双原子理想气体构成的系统经历一正循环过程（正循环指沿图中箭头所示的循环） ，其中自 A 到 B 为直线过程，自B 到 A 为等温过程。双原子理想气体的定容摩尔热容为52R ，R 为气体常量。（1）求直线AB 过程中的最高温度；（2）求直线AB 过程中气体的摩尔热容量随气体体积变化的关系式，说明气体在直线AB过程各段体积范围内是吸热过程还是放热过程，确定吸热和放热过程发生转变时的温度cT ；（3）求整个直线AB 过程中所吸收的净热量和一个正循环过程中气体
42、对外所作的净功。解：（1）直线 AB 过程中任一平衡态的气体压强p和体积V满足方程000000222VVPPPVPV此即00032PPPVV根据理想气体状态方程有PVRT式中 T 是相应的绝对温度。由 式得220000000013392416PPPVTVPVVVRVRVR由 式知，当034VV时，气体达到直线AB 过程中的最高温度00max916PVTR（2）由直线AB 过程的摩尔热容量mC的定义有mdQC dT由热力学第一定律有dUdQPdV由理想气体内能公式和题给数据有52VRdUC dTdT由 式得0m0053122VPP dVdVCCRPVdTVdT由 式两边微分得0002(34 )R
43、VdVdTPVV由 式代入 式得0m02124342VV RCVV?由?式得，直线AB 过程中，V P V0V0/2 P0/2 P0A B O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页21 在V从02V增大到034V 的过程中，m0C，0dTdV，故0dQdV，吸热?在V从034V 增大到02124V的过程中，m0C，0dTdV，故0dQdV，吸热?在V从02124V增大到0V 的过程中，m0C，0dTdV，故0dQdV，放热?由?式可知，系统从吸热到放热转折点发生在c02124VVV处。由 式和上式得2000c001
44、335264PPVTVPVRVR?（3）对于直线AB 过程，由 式得0m0000212421644VVdTVdQCdVP dVP dVdVVV?将上式两边对直线过程积分得，整个直线AB 过程中所吸收的净热量为00002000000/2/22162133448VVVVVVQP dVPVPVVV直线?直线 AB 过程中气体对外所作的功为00000013()()2228PVWPVPV直线?等温过程中气体对外所作的功为0000/2/20000ln 222VVVVVPVdVWPdVPV等温?一个正循环过程中气体对外所作的净功为003ln2()82WWWPV直线等温?评分参考 ：第（ 1）问 10 分，
45、式各 3 分， 式各 2 分；第（ 2）问 20 分， ?式各 2 分；第（ 3）问 10 分， ?式各 2 分。八、 （40 分）菲涅尔透镜又称同心圆阶梯透镜，它是由很多个同轴环带套在一起构成的，其迎光面是平面，折射面除中心是一个球冠外，其它环带分别是属于不同球面的球台侧面，其纵剖面如右图所示。 这样的结构可以避免普通大口径球面透镜既厚又重的缺点。菲涅尔透镜的设计主要是确定每个环带的齿形（即它所属球面的球半径和球心），各环带都是一个独立的（部分）FddddddO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页22 球面透镜，
46、它们的焦距不同，但必须保证具有共同的焦点（即图中F 点） 。已知透镜材料的折射率为 n ，从透镜中心O（球冠的顶点）到焦点F 的距离（焦距）为f （平行于光轴的平行光都能经环带折射后会聚到F 点） ，相邻环带的间距为d（d很小，可忽略同一带内的球面像差；d又不是非常小，可忽略衍射效应）。求（1）每个环带所属球面的球半径和球心到焦点的距离；（2）该透镜的有效半径的最大值和有效环带的条数。解：（1）考虑单个球面的折射。如图，设某一与光轴距离为h的光线平行于光轴Z 从折射率为n 的介质中射向半径为R 、 球心位于 C 点的球面，入射点为球面上的A点， CA 为球面半径，入射角为，球面外是空气，折射角
47、为，折射线与Z 轴交点为F。由 A 作 Z 轴的垂线，垂足为O。由折射定律，有sinsinn，在ACF中，由正弦定理有sinAFsinCF在AOF中，由勾股定理有22OFAOAF22AOCOCAR又OFCFCO，hAO，fOF，由 式得22CFfhn222222222()(1)()2Rnhffhnhfnfhf在制作给定焦点和焦距的菲涅尔透镜时，应按 式来确定各环带球面的球心位置和球半径，即对第k（0,1,2,kL ）个环带球台，其球心在光轴上与焦点的距离应为22222C Fkkn hfn k df球半径则为222222222222(1)()2(1)()2kkkRnhfnfhfnk dfnfk
48、df特别地，位于透镜中心的环带（0k）球心与焦点距离为0C Fnf球半径为0(1)Rnf?（2）当 f 不变而h取某一值mh 时，图中CAF成为直角，这意味着光线的入射角达到全反射的临界角C。在此情况下有AFORCnhfZ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页23 C22m1sinfnhf?由? 式得2m1hnf?这就是透镜能够达到的最大有效半径。透镜的最大有效环带数mk 则为不大于21nfd的最大整数2m1nfkd?评分参考 ：第（ 1）问 27 分， 式 5 分， 式各 2 分， 式 4 分， ? 式各 2分；第（ 2）问 13 分， ? 式 5 分， ?式各 4 分。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页