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1、前言在琳琅满目的教辅类图书前孩子的心声：奥数真难，大人们为什么总要我们学习奥数呢？家长的心声：太难的奥数，让孩子越来越没自信学习数学了。教师的心声：现行的奥数比课本难多了，若有一套配合课本进度，并能提高学生抽象思维能力的奥数书，将能真正作为课堂教学的延伸。针对以上种种心声，将此作为课题来研究，在多所名校和社会信誉度较高的办学单位试行的基础生，推出了这套同步奥数培优，内容力求体现：配套现行教材以新课标北师大版内容为知识体系，做到在已有知识基础上的拓展，重视知识的螺旋上升，在和教材同步的同时，培养学生的抽象思维能力。【适当加入一些同学们感兴趣的内容】。注重素质提高学好数学的前提是要有兴趣，这是编写
2、此套丛书的出发点。为了更全面综合地提高学生的数学素质，此书适合大多数学生的学习与使用。强化思维训练数学的学习是思维的学习。此套丛书在章节安排上，重视对学生系统思维的训练，能结合学生学习的特点，相对形成知识编排上的系统性。即能以知识为章，以知识点为节，由浅入深，层层深入，使学生的认知相对完整。本书将本着自学能会，教师能辅导、家长能参考的宗旨，全心全意为莘莘学子、为酷爱奥数的同学们而编，望你们用心学习，对以后的学习有所帮助，由于编写时间仓促，书中难免有些不妥之处，敬请广大同学们在使用过程中批评指正，以使本书更加完善。五年级奥数编写组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
3、 - - - - - -第 1 页，共 33 页目录第一讲分数乘法（乘法中的简算） 2 练习卷 . . 5 第二讲长方体和正方体 （巧算表面积） 6 练习卷 . 10 第三讲分数除法应用题 11 练习卷 . 15 第四讲长方体和正方体（巧算体积）16 练习卷 20 第五讲较复杂的分数应用题（寻找不变量）21练习卷 . 24 第六讲百分数（浓度问题 ）25练习卷 . 28综合演习（ 1） 29综合演习（ 2） 31精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 33 页第一讲分数乘法例题讲学例 1 （1）151419 （2） 27 261
4、1【思路点拨】观察这两道题中数的特点，第（1）题中的1514比 1 少151，可以把1514看作1-151，然后和 19 相乘，利用乘法分配律使计算简便；同样，第（2）题中 27 与2611中的分母 26 相差 1，可以把 27 看作（26+1） ，然后和2611相乘，再运用乘法分配律使计算简便。把哪个数拆分是解决问题的关键，或拆成与1 有关的两数之差或和；或者把一个数拆分成与分数分母相关的和或差，最后用乘法分配律使计算简便。同步精练1. 361335 2. 232210 3. 8 1514 4. 253126 5. 17 1211 6. 262524技巧精选学习资料 - - - - - -
5、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 33 页例 2 120001999199820001999【思路点拨】仔细观察分子、 分母中各数的特点， 我们就会发现， 分子 1999+20001998=1999+2000 （1999-1）=1999+2000 1999-2000=20001999-1，这样就把分子转化成与分母完全相同的式子，结果自然就好计算了，试试吧！解决稍复杂的分数乘法问题时，不要慌张，要仔细观察数的特点，根据数的特点一般都能化成分子、分母能约分的情况，然后使计算简便。同步精练1. 1865483623615483622. 120112010200920
6、112010技巧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 33 页例 3 651541431321211【思路点拨】在这道题中， 每个分数的分子都是1，分母是两个连续的自然数的乘积。看下面规律：211=1-21，321=21-31，431=31-41，111)1(1nnnn把每个分数都拆写成两个分数的差，使部分分数前后互相抵消，使计算简便。做这类题目的关键是把一个分数式子如何进行拆分，并把拆分的结果统一前后抵消，从而使计算简便。同步精练 1. 431321211+100991 2. 21+61+121+201+301 3. 201
7、20182181621614214122技巧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 33 页练习卷1. 27 2617 2. 3845443. 611511 4. 10099145. 1996199419951199619956. 769999997599999749999739997299719719991199919981199819971199719961第二讲长方体和正方体（巧算表面积）例题讲学精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 33 页例 1 两个棱
8、长是 2 厘米的小正方体可以拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少？【 40】【思路点拨】先根据题意画图：从图上可以清楚地看出：两个正方体原先各有6 个正方形的面，当把它们拼起来时就少了2 个正方形的面。这时，求长方体的表面积只相当于求（12-2=）10 个正方形的面积； 还可以这样想： 当两个正方体拼成一个长方体时，求长方体的表面积，我们可以先分别求出这个长方体的长、宽、高，再求出它的表面积。 1.当物体拼合时表面积之和少了，可以根据用原来的面去掉减少了的面，从而求出拼合后物体的面积数量，然后求出表面积。2. 还可以求出拼成后大物体的长、宽、高，再根据物体形状直接求表面积。同步精练1. 把
9、两个棱长是 3 厘米的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少？ 2把底面积是36 平方厘米的两个正方体木块拼成一个长方体，长方体的表面积是多少？3 把三个完全相同的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是350平方厘米。每个正方体的表面积是多少平方厘米？例 2 把一个长、宽、高分别是7 厘米、6 厘米、5 厘米的长方体截成两个长方体，使这两个长方体表面积之和最大，这时表面积之和是多少平方厘米？【 (7x6+7x5+6x5)x2+7x6x2=298 】技巧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 33 页6 【思路点拨】
10、把长方体截成两个长方体后，两个长方体表面积之和等于原长方体表面积再加上两个截面的面积。这个长方体几个面中，上、下面的面积最大，所以要看哪个面的面积最大，于是本题就按平行于上、下面的方式去截，才使表面积之和最大。长方体截成两个长方体有三种截法，如图：每一种截法都会产生不同的面，所以判断怎么样截是解决问题的关键。同步精练1. 把一个长 10 厘米、宽 8 厘米、高 6 厘米的长方体木料截成两个完全一样的长方体，怎样截才能使截成之后，得到两个长方体的表面积之和最大？最大是多少？【 536】2. 把两个长 3 厘米、宽 2 厘米、高 1 厘米的长方体拼成一个表面积最大的长方体，这个长方体的表面积是多少
11、平方厘米？【40】3把两个长 6 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积的最大值与最小值相差多少？【192】-【168】=【24】例 3 求出下面立体图形的表面积。 （单位：厘米）【思路点拨】从图上看出，这个图形是由一个长方体和一个正方体组成的，求它的表面积时，可以把正方体的右侧面平移到长方体上，这个立技巧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 33 页10 8 4 4 4 体图形的表面积就可以用一个完整的长方体表面积加上一个正方体的上、下、前、后四个面的面积。【440】同步精练1. 在一
12、个棱长为 5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（如图），求这个立体图形的表面积。 【214】2. 求下列组合图形的表面积。 （三个正方体的棱长从上往下依次是 1 厘米、 2 厘米、4 厘米）【116】3. 18 个棱长为 2 厘米的小正方体堆成如下图的形状，求它的表面积。上下两面面积： (2x3)x(2x3)x2=72 左右两面面积 : 2x(2x3)+2x(2x2)+ 2x(2x2)+2x2x2=64 前后两面面积： (2+2)x(2+2+2)+2x(2+2)+2x2x2=72 总面积： 72+64+72=208平方厘米例 4 如图，从右面这个图形的 顶点处挖去一个小正方体， 那么所
13、得物体的表面积是多少平方厘米？（每个小正方体的棱长为1 厘米）【思路点拨】从顶点处挖掉一个小正方体后，原来的小正方体露在外精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 33 页面的 3 个面就少了，但这时又有3 个同样大小的面露了出来，所以表面积是没有大小变化的。【54】同步精练 1.如上图，如果从小正方体的上面的中间挖去一个小正方体，那么此时正方体的表面积是多少了呢？【58】 2. 如下图， 在一个棱长为 6 厘米的大正方体的6 个面上分别挖去一个小正方体，现在剩下图形的表面积是多少？【312】2. 从一个长方体的上面往下挖通，求现
14、在物体的表面积是多少。（原长方体的长、宽、高分别是10 厘米、8 厘米、 12厘米，挖去的图形为长、宽都是4 厘米的小长方体。）(10 x8+10 x12+8x12)x2-4x4x2+(4+4+4+4)x12=752 练习卷1. 长方体的底面积是12 平方厘米，宽 2 厘米，高和宽相等，表面积是（56）平方厘米，底面周长是（16）厘米。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 33 页2. 一个正方体的底面积是25 平方分米，它的表面积是（150）平方分米。3. 一个长方体的长、宽、高分别是a 米、b 米、h 米，如果高增加 4
15、 米后，新的长方体表面积比原来增加了（8a+8b）平方米。4. 把一根长 2.4 米，宽 0.8 米，高 0.4 米的木料锯成大小相等的2 段，它的表面积 最少增加多少平方米？【0.64 】5. 将两本长 25 厘米、宽 20 厘米、厚 5 厘米的书包成一包，怎样才能节约包装纸？请画图表示，并求出需要多少包装纸？【25x20+25x10+20 x10】x2=1900 6. 求下面立体图形的表面积。 （单位：厘米）前后两面面积： (14x6+7x7+5x3)x2=296 左右两面面积： 14x20 x2=560 上下两面面积： 20 x(6+7+5)x2=720 总面积为： 296+560+72
16、0=1576平方厘米7. 把一个棱长为3 厘米的正方体外面全部涂上红色，再把它切成棱长为1 厘米的小正方体，共切成多少块？在这些小正方体中：三面涂红的有多少块？8 两面涂红的有多少块？12 一涂红的有多少块？ 6 任何一面都没有涂红的有多少块？1 第三讲分数除法应用题例题讲学例 1 加工一批零件， 第一天加工 210 个，第二天加工 240个，这两天共6 14 7 5 20 3 7 3cm 3cm 3cm 210 个240 个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 33 页总个数的53全书的103全书的52加工了这批零件的53
17、。这批零件共有多少个？【750】【思路点拨】根据题意，把这批零件的总数看作单位“1” ，两天共加工210+240=450（个） ，450正好占这批零件总数的53。求单位“ 1”的量用除法计算。求单位“1”时，用除法，可以用“具体的量它所对应的分率” 。同步精练1. 超市运进水果， 第一批运进 320千克，第二批运进 400千克，这两批运进的水果重量占超市现在所有水果的32，超市现在一共有水果多少千克？【1080】2. 一条铁路，修完 900 千米后，剩余部分比全长的43少 300 千米，这条铁路全长多少千米？（900-300）*4=2400 千米3. 修路队修一条路，第一天修了全长的51，第二
18、天修了1000 米。这时已修的米数占全长的158。这条路全长多少千米？1000/(8/15-1/5)=3000米例 2 李添三天看完一本书，第一天看了这本书的103，第二天看了24页，还剩下全书的52未看。这本书共有多少页？【80】【思路点拨】根据题意画线段图，帮助理解题意，分析数量关系。？个技巧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 33 页？页这道题中有一个具体数量“第二天看了24 页” ，所以这是解决问题的突破 口 ， 要找 出 24 页 所 对 应 的 分 率 ，即 总 页 数 - 第一 天 看 的 - 剩 下 的=1
19、-103-52=103，用 24 除以它所对应的分率103，即可求出全书页数。从具体数量出发，找出具体数量的对应分率，是解决问题的关键之所在。同步精练1. 电脑公司要修一批电脑，已经修了这批电脑的31，再修 24 台就正好修了这批电脑的一半。这批电脑有多少台？24/(1/2-1/3)=144 3. 一筐萝卜卖掉51以后，又卖出6 千克，这时卖出的正好是剩下的21。这筐萝卜原有多少千克？解：由原有 X千克萝卜，由题意得到21/5X+6=X-1/5X+6 解的： X=45 3. 筑路队三天修好一条马路，第一天修了全长的41，第二天修了全长的52，第一天比第二天少修90 米，这条马路全长多少米？解：
20、设马路全长 X米，由题意得到： 1/4X+90=2/5X 得 X=600米例 3 一捆电线，第一次用去全长的41，第二次用去余下的51，这时还剩下 108米。这捆电线共长多少米？【180】【思路点拨】这道题中已知的具体数量是“还剩下108 米， ”所以要24页技巧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 33 页找出它所对应的分率还剩下几分之几。第一次用去全长的41，第二次用去余下的51，而余下的51即是（ 1-41）的51=203，108 米对应的分率是（ 1-41-203）=53，所以用 108 除以53求出这捆电线的总长度
21、。问题的关键还是找题中具体数量所对应的分率。谨记： “具体量对应分率 =单位 1”同步精练1. 工厂进了一批原料，第一个星期用去总数的52，第二个星期用去总数的94，这时用去的比剩下的多31 吨，这批原料共有多少吨？解：设共有 X吨，则2/5X+4/9X-31=X-2/5X+4/9X 得 X=45吨2. 牛师傅计划做一批零件，第一天做了计划的74，第二天又做了余下的53，这时还剩 42 个零件没做。牛师傅计划做多少个零件？解：设计划做 X个，由题意的： X-(4/7)X+X-(4/7)X (3/5)=42得：X=245 3. 一批木料，先用去总数的72，又用去剩下的52，这时用去的比剩下的多
22、10 立方米，这批木料共有多少立方米？70 立方米 例 4 有一堆苹果， 吃了41后又买来 324 个，这时这堆苹果的个数比原来多了51。原来这堆苹果有多少个？720 技巧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 33 页【思路点拨】这道题中仅有一个具体数量“又买来324 个”所以解决问题的关键即是找准324 的对应分率，也就是找出“又买来的324 个苹果占几分之几”根据已知条件吃了41，还剩下43，而买来 324 个之后，比原来多了51，也就是占原来的56，所以买来的324 个苹果就占（56-43=）209，所以用324 除以
23、对应的分率就可以求出单位“1” ，即原来的苹果总数了。【思路点拨】吃了41后总数少了，而当买来324 个苹果之后，却比原来的总数还多了51，这说明这 324 个苹果不但把吃了的补上了， 而且还多出来了51，所以 324 个苹果就占（41+51=）209，故而用 324209即可以求出单位“ 1”了。同步精练1. 食堂原有一批大米，吃了52后，有运进170 千克，这时大米的总重量比原来还多了61，原来食堂有大米多少千克？300 千克 2. 玩具店开业当天卖出玩具94，第二天又新进 150 件新玩具，这时玩具总数比原来却少了61。玩具店原来有玩具多少件？540 件 练习卷1. 某家具店要生产一批沙
24、发，第一周生产了64 套，第二周生产了 86 套，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 33 页两周共生产了这批沙发总数的103。家具厂 还要生产 多少套沙发？(64+86)/(3/10)=500 500*(7/10)=350 2. 服装厂第一车间有工人150 人，第二车间的工人数是第一车间的52，两个车间的人数正好是全厂工人总数的65，全厂有工人多少人？第二车间有人： 150*（2/5 ）=60 两车间的人数为： 150+60=210 全厂工人有： 210/(5/6)=252 3. 一根钢筋截去 8 米后，所剩部分比原长的
25、53还多 2 米。这根钢筋原长多少米25 4. 学校植树，第一天完成了计划的83，第二天完成了计划的125，第三天植树 55 棵，结果超过计划的41，学校计划植树多少棵？(3/8)X+(5/12)X+55=(1+1/4)X X=120 5. 欣欣原有一些糖果，吃了43后，妈妈又给她买来14 颗，这时的糖果总数是原来的65。欣欣原来有糖果多少颗？(1/4)x+14=(5/6)x x=24第四讲长方体和正方体（巧算体积）例题讲学例 1 把一块棱长为 6 分米的正方体钢坯， 熔铸成横截面是9 平方分米的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16
26、 页，共 33 页长方体钢材。铸成的钢材有多长？【6x6x6】/9=24 分米【思路点拨】把正方体钢坯熔铸成长方体后，虽说形状变了，可体积没有变，正方体钢坯的体积就是长方体钢材的体积。所以先求出正方体的体积，也就是长方体的体积。用体积除以长方体钢材的横截面面积，就可以求出长方体钢材的长度了。抓住体积不变这个隐藏的量，熔铸前体积等于熔铸后的体积，再根据“体积横截面积=长”这个公式，从而轻松解决问题。同步精练1. 把一块棱长为 0.8 米的正方体钢坯， 锻造成底面积是0.16 平方米的长方体钢材，锻造成的钢材有多高？3.2 米 2. 把一个棱长10 厘米的正方体橡皮泥，重新捏成一个高和宽都是2 厘
27、米的长方体，这个长方体的长是多少分米？10 x10 x10/2x2=250厘米=25分米 3.棱长为 6 分米的正方体容器内有4 分米高的水，把这些水全部倒入一个长 4 分米、宽 3 分米、高 15分米的长方体水箱内，这时水深多少？要注满水箱还需要再倒入多少升水？h=6x6x4/4x3=12分米还需倒入：长 x 宽 x（H-h）= 4x3x3=36 立方分米 =36 升例 2 一只长 15 分米、 宽 12 分米的长方体玻璃钢中， 有 10 分米深的水。放入一块棱长为3 分米的正方体铁块，铁块全部浸没在水中并且水未溢出，这时，水面升高了几厘米？【思路点拨】将物体放入容器中，水面的高度肯定上升，
28、上升的水的技巧技巧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 33 页体积其实就是物体的体积。本题可以先求出正方体铁块的体积，也就是增加的水的体积，再用这个体积除以容器的底面积从而求出水面上升的高度了。要明白一点：当物体完全沉没在水中时，物体的体积=上升的水的体积。 正方体体积： 3x3x3=27 立方分米 h=27/15x12=0.15分米同步精练1. 一个长方体容器，底面积是200平方厘米，高 10 厘米，里面盛有 5 厘米深的水。现将一块石头放入水中，水面升高到8 厘米处，这块石头的体积是多少立方厘米？V=200X(8-5)
29、=600 立方厘米2. 一个长 60 厘米、宽 20 厘米的盛水容器，把5 块体积相等的铁块投入水中后，容器中的水面刚好上升了4 厘米，求每块铁块的体积。V=(60X20X4)/5=960 立方厘米3. 在一只长 120 厘米、宽 60 厘米、深 70 厘米的浴缸中放入水，李明进入浴缸后，水刚好没到李明颈部。已知水上升了20 厘米，求出李明颈部以下的体积是多少立方分米？V=120X60X20=144000 立方厘米 =144立方分米例 3 如图，一个长方体，高截去2cm ，表面积就减少了48 平方厘米，剩下部分成为一个正方体，求原长方体的体积。【思路点拨】当高少了 2cm后，首先明白表面积少了
30、哪些面？应该是前后左右四个小面，因为上面虽然也少了，2cm 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 33 页但又多出来一个上面，所以少了4 个小面，因为剩下的部分是一个正方体，所以这四个小面是完全相等的，故用48 除以 4 从而得出一个小面的面积，再用一个小面的面积除以2， 从而能求出正方体的棱长， 也是原长方体的长和宽，接着求出原长方体的高，最后求出体积。解：48/4=12平方厘米 ,12/2=6 厘米，V=6x6x8=288立方厘米关键是看截去一个小长方体后，表面积是少了哪些面，一般会认为少了 5 个小面，其实上面并没有少
31、，只少了4 个，而少的这4 个面本题是有关系的，因为剩下的为一个正方体，所以先求出一个面积，从而打开解决问题的入口。同步精练1. 把一个长方体的高截去3 厘米后，剩下的部分正好是一个正方体，而表面积却减少了36 平方厘米，求原长方体的表面积。36/4=9 9/3=3,长=宽=3 厘米，高 =3+3=6厘米，S=2x3X3+3X6+3X6=90 【错题】 2. 从一个长是 12 厘米、高 9 厘米的长方体上，平行于底截掉一个 4 厘米高的小长方体，表面积减少了80 平方厘米，求截掉的小长方体的体积是多少立方厘米？例 4 一个长方体，前面和上面的面积之和是209 平方厘米，这个长方体的长、宽、高以
32、厘米为单位的数都是质数。这个长方体的体积是多少？【思路点拨】要求长方体的体积，就要求出长方体的长、宽、高。因为这个长方体的前面和上面的面积之和是209 平方厘米，也就是长宽 +长技巧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 33 页高=长（宽 +高）=209。根据“长、宽、高以厘米为单位的数都是质数”这个条件可知： 209=1119。而 11 和 19 哪个数能写成两个质数的和呢，只有19=2+17，所以长、宽、高就分别是11、2、17，从而能求出长方体的体积了。V=11X2X17=374 立方厘米解决此类题目的关键是在把面积之
33、和如何分成两个数的积，并且这两个数中首先必须有一个是质数，再把另一个数分成两个质数的和。同步精练【略】1. 一个长方体的前面和右面的面积之和是54 平方厘米，且长方体的长、宽、高都是整数，求这个长方体的体积是多少？1.一个长方体前面和上面的面积之和为39 平方厘米，它的长、宽、高都是整厘米，且都是质数，这个长方体的体积是多少立方厘米？考点：整数的裂项与拆分；长方体和正方体的体积分析：根据题意：一个长方体前面和上面的面积=长高 +长宽 =长（高 +宽） =39，又知它的长、宽、高都是整厘米，且都是质数，39 只有 1 种组合133，3 不可再分， 13 只能分为2、11，再根据长方体的体积公式求
34、出得数解答：解：一个长方体前面和上面的面积=长高 +长宽 =长（高 +宽） =39（平方厘米） ，39=313=3（ 2+11） ，所以：长宽高分别为2、3、11，体积 =2311=66 立方厘米答：这个长方体的体积是66 立方厘米故答案为： 66 立方厘米【略】 2. 一个长方体的上面和右面的面积之和是36 平方厘米，且长方体的长、宽、高都是整数，求这个长方体的体积和表面积分别是多少？练习卷1. 一个正方体玻璃缸棱长2 分米，向容器中倒入5 升水，再放入一块不规则的石头，这时量得容器内的水深15 厘米。石头的体积是多少立方厘米？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
35、- - - - - - -第 20 页，共 33 页h=5/(2X2)=1.25分米 V=2X2X(1.5-1.25)=1立方分米 =1000立方厘米2. 一个封闭的长方体容器的高是25 厘米，长和宽都是10 厘米，容器内装着一些水。如果把该容器长、宽都是10 厘米的面做底面放在桌面上，这时水的高度是 15 厘米。如果把容器长25 厘米、宽 10 厘米的面做底面放在桌子上，这时水的高度是多少厘米？H=10 x10 x15/（25x10）=6厘米3. 一只底面是正方形的长方体铁箱，如果把它的侧面展开，正好得到一个边长是 40 厘米的正方形。求这只长方体铁箱的容积是多少升？长=宽=40/4=10
36、厘米高=40 厘米 V=10 x10 x40=4000 立方厘米 =4升4. 一个长方体，如果高截去2 厘米，表面积就减少了32 平方厘米，剩下的正好是一个正方体。原来长方体的体积是多立方厘米？32/4=8 厘米 8/2=4厘米长=宽=4厘米高=6厘米V=4X4X6=96 立方厘米第五讲较复杂的分数应用题（寻找不变量）例题讲学例 1 乙队原有的人数是甲队人数的73。现在甲队派30 人到乙队，则乙队人数现在是甲队的32。原来两队一共有多少人？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 33 页【思路点拨】当“现在甲队派 30 人到乙
37、队”后，甲、乙两队的人数都发生了改变，所以单位“ 1”不好确定，但有一个未变的量，那就是两队的总人数，因此我们可以把两队的总人数看作单位“ 1” 。 从“乙队原有的人数是甲队人数的73”可以把乙队人数看作3份，甲队人数看作7 份，总人数为 10 份，则乙队人数占总人数的373=103，后来甲队派30 到乙队后，乙队占总人数的322=52，那么乙队多了（52-103）而正是多了 30 人所致。求出 30 人所对应的分率，再求出原来的总人数。令甲人数 X,则乙(3/7)X,(X-30)(2/3)=(3/7)X+30 X=210(甲) （乙） =90此类题目的两个量都是变化的，所以单位“1”不能确定
38、，一定要找出不变的量，把它确定为单位“1” ，然后再看其中的一个量前后分别是单位“ 1”的几分之几，最后再利用具体数量和分率从而求出单位“1” 。同步精练 1.甲、乙两个粮库，甲粮库存粮的吨数是乙粮库的75。现在从乙粮库调6 吨粮食到甲粮库， 则甲粮库存粮的吨数是乙粮库的54。原来两个粮库各存粮多少吨？令乙原有 X，则甲(5/7)X,(5/7)X+6=(4/5)(X-6) 【X=126:乙】 【甲： 90】3. 五（3）班在一次聚会中， 请假人数是出席人数的91，中途又有一人离开，这样请假人数是出席人数的223。五（ 3）班共有多少人？令：出席人 X,则请假人 X/9，X/9+1=(3/22)
39、(X-1) X=45 X/9=5 50 总人数 例 2 甲、乙、丙、丁四人向希望工程捐款， 结果甲捐了另外三人的一半，乙捐了另外三人的31，丙捐了另外三人的41，丁捐了 91 元。甲、乙、丙、丁四人共捐了多少元？【思路点拨】根据题意可知，单位“ 1”是另外三人的总和，但另外三人的总和技巧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 33 页是无论如何也不知道，且是变化的，所以行不通。但甲乙丙丁四人的总和是固定不变的，所以可以把四人的钱数总和看作单位“1” 。 “甲捐了另外三人的一半” ，可以看作甲捐的钱是 1 份，另外三人是2 份，
40、共 3 份，甲捐的是四人总数的31，同理， 乙捐的是四人总数的41，丙捐的是四人总数的51。那么我们就可以求出剩下的丁捐的钱数占四人总数的几分之几了，再用具体数量91 除以对应分率，从而求出总数。1- 1-1/3-1/4-1/5X=91 X=420元此类题目的难点就在于虽然单位“1”名字上统一，但却不是固定的，所以要找出固定不变的量作为统一的单位“1” ，然后求出每个量占单位 “1” 的几分之几，最后用对应的具体数量除以对应分率，从而求出单位“1” 。同步精练 1.三个小朋友合买一枚价值24元的 20XX年奥运会纪念章， 第一个小朋友付的钱是其他孩子付的钱的一半，第二个孩子付的钱是其他孩子付的
41、钱的31。问：第三个孩子付了多少元钱？【10 元】2. 甲乙丙丁四个数，甲数是其它三个数之和的21，乙数是其它三个数之和的31， 丙数是其它三个数之和的41。 已知丁数是 260， 求四个数的和是多少？甲数是多少？【1200】 【400】例 3 一堆糖果，其中奶糖占209，再放入 16 块水果糖后，奶糖就只占41。这一堆糖果原来一共有多少块？【思路点拨】解答这道题时，应抓住奶糖不变这个条件。因为在总数技巧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 33 页发生了变化，水果糖也发生了变化的时候，奶糖却是不变的，所以把变化的量水果糖，
42、求出变化前后分别是奶糖的几分之几，再看变化前后的具体数量，然后求出单位“1”奶糖，最后再求出总数来。具体解法：变化前，奶糖占总数的209，水果糖就占（ 1-209）=2011，水果糖占奶糖的（2011209）=911；加入 16 块水果糖后，奶糖占总数的41，水果糖就占（1-41）=43，水果糖占奶糖的4341=3，水果糖变化前后共增加了 （3-911）=916，正是由于增加16 块所致，所以用16916=9块奶糖单位“ 1” ，那么原来的水果糖就有9911=11 块，总数为 9+11=20（块） 。同步精练 1.袋里有若干个球，其中红球占125，后来又往袋里放了6 个红球，这时红球占总数的2
43、1。原来袋里共有多少个球？【36】 2.某科技发明兴趣小组中女生占127，后来又转来了 15 名女生，这样女生占总人数的53。这个兴趣小组的男生有多少人？【150】练习卷1.某公司男职工比全公司总人数的53多 60 人， 女职工人数是男职工的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 33 页31，这个公司共有多少人？解：设公司员工人数为X, (3/5X+60)+(3/5X+60)/3=X X=400 2. 某工厂有三个车间，第一车间的人数是另外两个车间人数的31，第三车间的人数是另外两个车间人数的53，已知第二车间有30 人。另
44、两个车间各有多少人？解：设总人数为X. X-X/4-3/8X=30 X=80 一车间： 20 二车间： 30 3. 纺织厂女工占工人总数的85，后来又调来 30 名女工，这时女工人数是男工人数的 2 倍。问：现在厂里共有多少人？解：设现在人数为X.则原来为 X-30. 5(X-30)/8+30=23(X-30)/8 X=270 4. 甲、乙两人共有邮票若干张，其中甲占209，若乙给甲12 张，则乙余下的张数占总数的52。两人共有邮票多少张？解：设共有邮票为X张。11X/20-12=2X/5 X=80 5. 科技活动小组中，男生人数占83，后来又转来4 名男生参加，这时，男生人数占小组人数的94
45、。求这个科技活动小组女生有多少人？现在共有多少人？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 33 页解：设现在人数为X.则原来为 X-4. 3(X-4)/8+4=4X/9 X=36 女生： 5（X-4）/8=20 第六讲百分数（浓度问题）【知识概述】把盐溶于水就得到盐水，其中盐叫做溶质，水叫溶剂，盐与水的混合液叫做溶液。我们把盐占盐水的百分比叫做盐水的浓度，通常浓度用百分数表示，又叫做百分比浓度，这一类问题叫做浓度问题。【盐水的浓度也就是含盐率，糖水的浓度也叫做含糖率, 】例题讲学例 1 现有浓度为 25% 的盐水 80 克，加
46、入多少克水就能得到浓度为10%的盐水？【思路点拨】将浓度为 25% 的盐水变为浓度为10% 的盐水，盐水中的水的重量增加了，但是盐的重量却没有任何变化。可以根据已知条件先求出不变的量盐的重量，再求出现在盐水的重量，最后再用现在盐水的重量减去原来盐水的重量，就是增加的水的重量。解：8025%=20 （克） ，2010%=200 （克） ，200-80=120（克）答：加入 120 克水就能得到浓度为10% 的盐水。同步精练1. 把碘溶在酒精里，配成碘酒，现在有含碘15% 的碘酒 50 千克，要把它变成含碘 3% 的碘酒，需要加入多少千克酒精？解：5015%=7.5（克） ，7.5 3%=250
47、（克） ，250-50=200（克）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 33 页2. 现有浓度为 20% 的盐水 80 克，加入多少克水就能得到浓度为16% 的盐水？解：8020%=16 （克） ，1616%=100 （克） ，100-80=20（克）例 2 现有浓度为 25% 的盐水 80 克，要使盐水的浓度提高到40% ，需要加多少克盐？【思路点拨】将浓度为 25% 的盐水变为浓度为40% 的盐水，在盐水的变化过程中，盐的重量增加了，但是水的重量并没有发生变化，也就是原来盐水中的水的重量等于现在盐水中水的重量。解：80
48、（1-25% ）=60 （克） ，60（1-40%）=100 （克） ，100-80=20（克） 。答：需要加 20克盐。同步精练1.现有浓度为 15% 的盐水 20 千克，要使盐水浓度提高到20% ，需要加多少千克盐？解： 20（ 1-15%）=17（克），17（ 1-20%）=21.25 （克），21.25-20=1.25 （克） 。2. 浓度为 10% 的糖水 300 克，要把它变成浓度为25% 的糖水，需要加糖多少克？解：300（1-10%）=270（克） ，270（1-25%）=360（克） ，360-300=60（克）3. 往 40 千克含盐 16% 的盐水中加入 10 千克盐。求
49、这时盐水的浓度。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 33 页解：4016% =6.4（克） ，(6.4+10) (40+10)=32.8% 例 3 有浓度为 2.5%的盐水 700克，为了制成浓度为10% 的盐水，从中要蒸发掉多少克水？【思路点拨】要使溶液的浓度变大，可以采取增加溶质（糖、盐、纯酒精等）的方法，也可以用蒸发水的办法。把盐水加热，一部分水变成水蒸气蒸发掉了，于是盐水中的水的重量减少了，而在变化过程中盐的重量却没有变化。先根据条件求出原来盐水中盐的重量，由于在变化过程中盐的重量没有变化，所以原来盐水中盐的重量也
50、是现在盐水中盐的重量，再求出现在盐水的重量，最后用原来盐水的重量减去现在盐水的重量，就是要蒸发掉水的重量。解：7002.5%=17.5（克） ，17.510%=175 （克） ，700-175=525（克）答：从中要蒸发掉525 克水。同步精练1. 现有浓度为 12.5%的盐水 40 千克，将它变成浓度为20% 的盐水，要蒸发掉多少千克水？解：4012.5%=5（克） ，520%=25 （克） ，40-25=15（克）2. 有浓度为 2.5%的盐水 700 克，为了制成浓度为20% 的盐水，从中要蒸发掉多少克水？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -