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1、第六节第六节 抛物线及其性质抛物线及其性质 考点高考试题考查内容核心素养 2016全国卷T55 分 抛物线与反比例函数结合 求函数解析式 数学运算 抛物线的方程 及几何性质2015全国卷T55 分 抛物线与椭圆结合求线段 长度 数学运算 2017全国卷 T2012 分 抛物线与直线的位置关系数学运算 2017全国卷T125 分 在抛物线中求点到直线距 离 数学运算 直线与抛物线 的位置关系 2016全国卷 T2012 分 以抛物线为载体证明直线 平行，求轨迹方程 逻辑推理 数学运算 命题分析 抛物线的定义、标准方程及其简单性质等基础知识常以选择题填空题形式 出现，直线与抛物线的位置关系多以解答
2、题形式考查. 1抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的_距离相等_的点的集合叫作抛物线， _这个定点 F_叫作抛物线的焦点，_这条定直线 l_叫作抛物线的准线 2抛物线的标准方程和几何性质 y22px (p0) y22px (p0) x22py (p0) x22py (p0) 标准 方程 p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点O(0,0) 对称轴y0 x0 焦点 F( p 2，0) F( p 2，0) F( 0，p 2) F( 0，p 2) 离心率e_1_ 准线方程 x p 2 x p 2 y p 2 y p 2 范围 x0，yRx0，yRy0
3、，xRy0，xR 开口 方向 向_右_向左向_上_向下 焦半径(其中 P(x0，y0) |PF| x0 p 2 |PF| x0 p 2 |PF| y0 p 2 |PF| y0 p 2 提醒： 1辨明两个易误点 (1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动 点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线 (2)对于抛物线标准方程中参数 p，易忽视只有 p0 才能证明其几何意义是焦点 F 到准 线 l 的距离，否则无几何意义 2与焦点弦有关的常用结论 (以右图为依据) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) (1)y1y2p2，x1x2 p2 4 (2)|AB|x1x2p(
4、 为 AB 的倾斜角) 2p sin2 (3)为定值 1 |AF| 1 |BF| 2 p (4)以 AB 为直径的圆与准线相切 (5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切. 1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线( ) (2)抛物线 y24x 的焦点到准线的距离是 4.( ) (3)若一抛物线过点 P(2,3)，其标准方程可写为 y22px(p0)( ) (4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形( ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径， 那么抛
5、物线 x22ay(a0)的通径长为 2a.( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) 2(教材习题改编)抛物线 y x2的焦点坐标是( ) 1 4 A(0，1) B(0,1) C(1,0) D(1,0) 解析：选 A y x2化为标准方程 x24y,2p4，p2，对称轴 y 轴开口向下，焦 1 4 点坐标(0，1) 3(教材习题改编)若抛物线 y4x2上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标 是( ) A B 17 16 15 16 C D0 7 8 解析：选 B M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离，又准线方程为 y，设 1 16 M(x，y)，则 y1，y 1 16
6、 15 16 4(教材习题改编)抛物线 y22px(p0)上的点 m 到点 F(2，0)的距离比它到直线 x3 的距离小 1，则该抛物线的方程为_ 解析：把直线 x3 向右移一个单位，变为 x2，由题意动点 m 到点 F(2,0)的距 离等于到直线 x2 的距离，由抛物线定义知抛物线的方程为 y28x 答案：y28x 抛物线定义及应用 析考情 高考中对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点 M 满足定义，它到准线的距离为 d，则|MF|d，有关距离、最值、弦长等是考查的重点； 二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线 提能力 【典例 1
7、】 已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是准线 l 上一点，Q 是直 线 PF 与 C 的一个交点，若4，则|QF|( ) FP FQ A B 7 2 5 2 C3 D2 解析：选 C 因为4， FP FQ 所以|4|，所以 FP FQ |PQ| |PF| 3 4 如图，过 Q 作 QQl，垂足为 Q， 设 l 与 x 轴的交点为 A，则|AF|4， 所以 ，所以|QQ|3， |PQ| |PF| |QQ| |AF| 3 4 根据抛物线定义可知|QF|QQ|3 【典例 2】 已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A、B 是该抛物线上的两点， |AF|BF|3，则线段 AB 的中
8、点到 y 轴的距离为( ) A B1 3 4 C D 5 4 7 4 解析：选 C |AF|BF|xAxB 3， 1 2 xAxB 5 2 线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 xAxB 2 5 4 悟技法 抛物线定义的应用 (1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准 线距离的等价转化即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线” (2)注意灵活运用抛物线上一点 P(x，y)到焦点 F 的距离|PF|x| 或|PF|y| p 2 p 2 刷好题 1设经过抛物线 C 的焦点的直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点，那么抛物线 C 的准线 与以 AB 为直径的圆的
9、位置关系为( ) A相离 B相切 C相交但不经过圆心 D相交且经过圆心 解析：选 B 设圆心为 M，焦点为 F，过点 A，B，M 作准线 l 的垂线，垂足分别为 A1，B1，M1， 则|MM1| (|AA1|BB1|) 1 2 由抛物线定义可知|BF|BB1|，|AF|AA1|， 所以|AB|BB1|AA1|，|MM1| |AB|， 1 2 即圆心 M 到准线的距离等于圆的半径， 故以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 2已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，则抛物线 y24x 上一动点 P 到直 线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是( ) A B2 3 5 5 C D3 1
10、1 5 解析：选 B 由题可知 l2：x1 是抛物线 y24x 的准线，设抛物线的焦点 F 为(1,0)， 则动点 P 到 l2的距离等于|PF|，则动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值即为焦点 F 到直线 l1：4x3y60 的距离，所以最小值是2 |406| 5 抛物线标准方程及性质 明技法 1求抛物线的标准方程的方法 (1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有 p，所以只需一个条件确定 p 值即可 (2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量 2确定及应用抛物线性质的技巧 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将
11、抛物线方程化为标准 方程 (2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解 提能力 【典例 1】 (2015陕西卷)已知抛物线 y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线 焦点坐标为( ) A(1,0) B(1,0) C(0，1) D(0,1) 解析：选 B 抛物线 y22px(p0)的准线为 x 且过点(1,1)，故 1，解得 p 2 p 2 p2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0) 【典例 2】 (2018徐州调研)若抛物线 y22px 上一点 P(2，y0)到其准线的距离为 4，则 抛物线的标准方程为( ) Ay24x By26x Cy28x Dy210 x 解析：选 C 抛
12、物线 y22px，准线为 x .点 P(2，y0)到其准线的距离为 p 2 4，4.p4.抛物线的标准方程为 y28x | p 22| 刷好题 1(2016全国卷)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点已知|AB|4，|DE|2，则 C 的焦点到准线的距离为( ) 25 A2 B4 C6 D8 解析：选 B 不妨设抛物线 C：y22px(p0)，则圆的方程可设为 x2y2r2(r0)，如 图，又可设 A(x0,2)， 2 D，点 A(x0,2)在抛物线 y22px 上， ( p 2， 5)2 82px0， 点 A(x0,2)在圆 x2y2r2上，
13、x 8r2， 22 0 点 D在圆 x2y2r2上， ( p 2， 5) 5 2r2， ( p 2) 联立，解得 p4，即 C 的焦点到准线的距离为 p4，故选 B 2设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，点 A(0,2)，若线段 FA 的中点 B 在抛物线上， 则 B 到该抛物线准线的距离为_ 解析：抛物线的焦点 F 的坐标为， ( p 2，0) 则线段 FA 的中点 B 的坐标为， ( p 4，1) 代入抛物线方程得 12p ，解得 p， p 42 故点 B 的坐标为， ( 2 4 ，1) 故点 B 到该抛物线准线的距离为 2 4 2 2 3 2 4 答案： 3 2 4 抛物线中的最值
14、问题 析考情 在高考中对抛物线中最值问题的考查是一个热考点，它是对抛物线定义、直线与抛物 线关系及函数思想方法的综合应用 提能力 命题点 1：定义转换法 【典例 1】 (2018豫南九校联考)已知点 P 是抛物线 x24y 上的动点，点 P 在 x 轴上的 射影是点 Q，点 A 的坐标是(8,7)，则|PA|PQ|的最小值为( ) A7 B8 C9 D10 解析：选 C 抛物线的焦点为 F(0,1)，准线方程为 y1，根据抛物线的定义知， |PF|PM|PQ|1 所以 |PA|PQ|PA|PM|1|PA|PF|1|AF|111019 82712 命题点 2：平移直线法 【典例 2】 抛物线 y
15、x2上的点到直线 4x3y80 距离的最小值是_ 解析：方法一 如图，设与直线 4x3y80 平行且与抛物线 yx2相切的直线为 4x3yb0， 切线方程与抛物线方程联立得Error!Error! 消去 y 整理得 3x24xb0， 则 1612b0，解得 b ， 4 3 所以切线方程为 4x3y 0， 4 3 抛物线 y x2上的点到直线 4x3y80 距离的最小值是这两条平行线间的距离 d |8 4 3| 5 4 3 方法二 由 yx2，得 y2x 如图，设与直线 4x3y80 平行且与抛物线 yx2相切的直线与抛物线的切点是 T(m，m2)， 则切线斜率 ky|xm2m ， 4 3 所以
16、 m ，即切点 T， 2 3 ( 2 3， 4 9) 点 T 到直线 4x3y80 的距离 d ，由图知抛物线 yx2上的点到直 | 8 3 4 38| 169 4 3 线 4x3y80 距离的最小值是 4 3 方法三 设 P(x，x2)，则点 P 到直线 4x3y80 的距离 d |4x3x28| 169 1 5 2 ，在抛物线 yx2中，xR， |3(x 2 3)2 20 3| 3 5(x 2 3) 4 3 所以当 x 时，d 取得最小值 ，即抛物线 yx2上的点到直线 4x3y80 距离的 2 3 4 3 最小值是 4 3 答案： 4 3 命题点 3：函数法 【典例 3】 若点 P 在抛
17、物线 y2x 上，点 Q 在圆(x3)2y21 上，则|PQ|的最小值为 _ 解析：由题意得抛物线与圆不相交， 且圆的圆心为 A(3,0)， 则|PQ|PA|AQ|PA|1， 当且仅当 P，Q，A 三点共线时取等号， 所以当|PA|取得最小值时，|PQ|最小 设 P(x0，y0)，则 y x0，|PA| 2 0x032y2 0 ， x2 06x09x0 (x0 5 2)2 11 4 当且仅当 x0 时，|PA|取得最小值， 5 2 11 2 此时|PQ|取得最小值1 11 2 答案：1 11 2 悟技法 解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标 函数，再用求函
18、数最值的方法求解解题的关键是根据所给抛物线方程设出动点坐标 刷好题 1(2016四川卷)设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 y22px(p0)上任意一 点，M 是线段 PF 上的点，且|PM|2|MF|，则直线 OM 的斜率的最大值为( ) A B 3 3 2 3 C D1 2 2 解析：选 C 设 P，易知 F， ( t2 2p，t) ( p 2，0) 则由|PM|2|MF|，得 M， ( pt2 2p 3 ， t 3) 当 t0 时，直线 OM 的斜率 k0，当 t0 时，直线 OM 的斜率 k， t pt2 2p 1 p t t 2p 所以|k|， 1 p |t| |t|
19、2p 1 2 p |t| |t| 2p 2 2 当且仅当 时取等号，于是直线 OM 的斜率的最大值为，选 C p |t| |t| 2p 2 2 2(2018遵义联考)已知点 P 是抛物线 x y2上的一个动点，则点 P 到点 A(1,2)的 1 4 距离与点 P 到 y 轴的距离之和的最小值为( ) A2 B21 22 C1 D1 55 解析：选 B 抛物线 x y2的焦点为 F(1,0) 1 4 由抛物线定义，得点 P 到点 A(1,2)的距离与点 P 到 y 轴的距离之和为 |PF|PA|1，其最小值为|AF|1121.故选 B 22222 3(2018黄山月考)已知抛物线 x22py(p0)，定点 C(0，p)，点 N 是点 C 关于坐标 原点 O 的对称点，过定点 C 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点设点 N 到直线 l 的距离为 d，则|AB|d 的最小值为_ 解析：依题意，点 N 的坐标为 N(0，p) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线 AB 的方程为 ykxp，与 x22py 联立，消去 y 得 x22pkx2p20 由一元二次方程根与系数的关系，得 x1x22pk，x1x22p2 |AB|d2SABN2 2p|x1x2|4p2 1 2k22 当 k0 时，|AB|d 取得最小值，为 4p2 2 答案：4p2 2