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1、第六节正弦定理和余弦定理考点高考试题考查内容核心素养正弦定理和余弦定理 2017全国卷T115分正弦定理数学运算逻辑推理2016全国卷T45分正、余弦定理2015全国卷T1712分正、余弦定理，面积公式命题分析以选择题或填空题的形式考查利用正弦定理、余弦定理解三角形以及三角形的面积公式应用；以解答题的形式考查正、余弦定理与三角函数的综合.1正弦定理2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形：(1)abcsin_Asin_Bsin_C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C2余弦定理a2b2c22bccos_A；b2a2c22accos_B；c2a2b22abcos_
2、C余弦定理可以变形：cos A；cos B；cos C.3三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)；(2)Sbcsin Aacsin Babsin C；(3)Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)；(4)S.提醒：1辨明两个易误点(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要注意分类讨论(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解2在ABC中常有以下结论：(1)ABC.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(
3、4)sin(AB)sin C；cos(AB)cos C；tan(AB)tan C；sincos；cossin.(5)tan Atan Btan Ctan Atan Btan C(6)ABabsin Asin Bcos Asin B，则AB()(2)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素()(3)在ABC中，有sin Asin(BC)()(4)在ABC中，.()(5)在ABC中，若a2b2c2，则A BC为钝角三角形()(6)公式Sabsin C适合求任意三角形的面积()(7)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2(教材习题改
4、编)在ABC中，若sin2 Asin2 Bsin2 C，则ABC的形状是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定解析：选C由正弦定理，得sin A，sin B，sin C，代入得到a2b2c2，由余弦定理得cos C0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形3(教材习题改编)在ABC中，A45，C30，c6，则a等于()A3B6C2D3解析：选B由正弦定理得，所以a6.4(教材习题改编)在ABC中，已知A60， B75， c20, 则a_.解析：C180(AB)180(6075)45.由正弦定理，得a10.答案：105(2018潍坊检测)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的
5、对边，若cos B，a10，ABC的面积为42，则c_.解析：依题意可得sin B，又SABCacsin B42，则c14.答案：14正弦定理、余弦定理的应用析考情正、余弦定理的应用原则(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用提能力【典例】 (2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，则B_.解析：方法一由2bcos Bacos Cccos A及正弦定理，得2sin Bcos Bsin Acos Csin
6、Ccos A2sin Bcos Bsin(AC)又ABC，ACB2sin Bcos Bsin(B)sin B又sin B0，cos B，B.方法二在ABC中，acos Cccos Ab，条件等式变为2bcos Bb，cos B.又0Bb，B45，A180604575.答案：75利用正、余弦定理判断三角形形状明技法判断三角形形状的常用技巧若已知条件中有边又有角，则(1)化边：通过因式分解，配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状此时要注意应用ABC这个结论提能力【典例】 设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc
7、os Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C锐角三角形D不确定解析：选B依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，有sin(BC)sin2A，从而sin(BC)sin Asin2A，解得sin A1，A，故选B母题变式1 本例的条件变为：若2sin A cos Bsin C，那么ABC一定是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形解析：选B方法一由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因为AB，所以AB，选B方法二由正弦定理得
8、2acos Bc，再由余弦定理得2aca2b2ab.母题变式2 本例的条件变为：若acos Abcos B，那么ABC一定是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形解析：选D由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos Bsin 2Asin 2B，因为2A,2B(0，)，所以2A2B或2A2B, 即AB或AB.刷好题(2018桂林模拟)在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sinC，则ABC的形状是()A锐角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰或直角三角形解析：选D由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，得b2sin(AB)sin Ca
9、2sin Csin(AB)，即b2sin Acos Ba2cos Asin B，即sin2 Bsin Acos Bsin2 Acos Asin B，所以sin 2Bsin 2A，由于A，B是三角形的内角，故02A2，02B2，故只可能2A2B或2A2B，即AB或AB.故ABC为等腰三角形或直角三角形与三角形面积有关的问题明技法三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化提能力【典例】 (2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已
10、知ABC的面积为.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周长解：(1)由题设得acsin B，即csin B.由正弦定理得sin Csin B.故sin Bsin C.(2)由题设及(1)得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC).所以BC，故A.由题意得bcsin A，a3，所以bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故ABC的周长为3.刷好题(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积解：(1)由已知可得tan A，所以A.在ABC中，由余弦定理得284c24ccos ，即c22c240，解得c6(舍去)，c4.(2)由题设可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD面积与ACD面积的比值为1.又ABC的面积为42sinBAC2，所以ABD的面积为.