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1、初三数学弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积人教实验版【本讲教育信息 】一. 教学内容：弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积教学目的1. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征，使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想，培养学生空间想象能力和计算能力。教学重点和难点：教学重点是弧长和扇形面积公式，圆锥及其特征，圆锥的侧面积计算难点是圆锥侧面展开图（扇形）中各元素与
2、圆锥各元素之间的关系教学过程1. 圆周长：r2C圆面积：2rS2. 圆的面积C 与半径 R 之间存在关系R2C，即 360的圆心角所对的弧长，因此，1的圆心角所对的弧长就是360R2。n的圆心角所对的弧长是180Rn1 8 0RnlP120 *这里的 180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。4. 在半径是R 的圆中，因为360的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2RS，所以圆心角为 n的扇形面积是：R213 60RnS2l扇形（n 也是 1的倍数
3、，无单位）5. 圆锥的概念观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。如图，从点S 向底面引垂线，垂足是底面的圆心O，垂线段SO 的长叫做圆锥的高，点S叫做圆锥的顶点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说，把直角三角形SOA 绕直线 SO旋转一周得到的图形就是圆锥。其中旋转轴SO 叫做圆锥的轴，圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面。另外，连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线
4、段SA、SA1、SA2、都叫做圆锥的母线，显然，圆锥的母线长都相等。母线定义：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。P1226. 圆锥的性质由图可得（1）圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心；（2）圆锥的母线长都相等7. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。圆锥侧面积是扇形面积。如果设扇形的半径为l，弧长为 c，圆心角为n（如图），则它们之间有如下关系：180ncl同时，如果设圆锥底面半径为r，周长为c，侧面母线长为l，那么它的侧面积是：llrc21S圆 侧 面圆
5、锥的全面积为：2rrl圆柱侧面积：rh2。例：在中，120的圆心角所对的弧长为cm80，那么 O 的半径为 _cm。答案： 120 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页解： 由弧长公式：180Rnl得：cm12012080180n180Rl例：若扇形的圆心角为120，弧长为cm10，则扇形半径为_，扇形面积为_。答案： 15；25例：如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2 倍，这个扇形的中心角为 _。答案： 90例：已知扇形的周长为28cm，面积为49cm2，则它的半径为_cm。答案： 7 例：
6、两个同心圆被两条半径截得的10AB，6CD，又 AC=12 ，求阴影部分面积。解： 设 OC=r ，则 OA=r+12 ， O=n10180)12r (nABl6180rnCDl18r60nOC=18，OA=OC+AC=30 C O DA O BSSS扇扇阴OC21OA21CDABll1862130102196例：如图，已知正方形的边长为a，求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。解： 正方形边长为a 2aS正，222a81)2a(21R21S半圆两 个 空 白 处半圆正方形SS2S精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14
7、 页2222a41aa812aS两个空白处222a21a2S2S个空白四个空白处22222aa21)a21a2(aSSS四个空白处正阴叶的总面积为22aa21*也可看作四个半圆面积减去正方形面积2222aa21a)2a(214SS4S正半阴例：已知AB、CD 为 O 的两条弦，如果AB=8 ，CD=6，AB的度数与CD的度数的和为180，那么圆中的阴影部分的总面积为？解： 将弓形 CD 旋转至 B，使 D、 B 重合如图， C 点处于 E 点A B E的度数为180AE 是 O 的直径 ABE=90 又 AB=8 ，BE=CD=6 由勾股定理1068AE22半径51021OA242256821
8、521SSS2ABE半圆阴例：在 AOB 中， O=90， OA=OB=4cm ，以 O 为圆心， OA 为半径画AB，以 AB 为直径作半圆，求阴影部分的面积。解： OA=4cm ， O=90精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页cm4360490S2AOB扇形cm24AB)cm(8S2AOB，)cm(42)22(S22半圆)cm)(84(SSS2AOBAOBAmB扇形弓形则阴影部分的面积为：)cm(8)84(4SSS2AmB弓形半圆阴影例：、m是边长均大于2 的三角形，四边形、凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，
9、以1 为半径画弧与两邻边相交，得到3 条弧， 4 条弧，（1）图中3 条弧的弧长的和为_ 图中 4 条弧的弧长的和为_ （2）求图m中 n 条弧的弧长的和（用n 表示）解： （1）， 2（2）解法 1：n 边形内角和为： （n2） 180前 n 条弧的弧长的和为：)2n(21360180)2n(个以某定点为圆心，以1 为半径的圆周长n 条弧的弧长的和为：)2n()2n(2112解法 2：设各个扇形的圆心角依次为n21,则180)2n(n21n 条弧长的和为：11 8 011 8011 8 0n21)2n(1 8 0)2n(1 80)(1 80n21例：如图，在RtABC 中，已知 BCA=90
10、 ， BAC=30 ， AC=6m ，把 ABC 以点 B为中心逆时针旋转，使点C 旋转到 AB 边的延长线上的点C处，那么AC 边扫过的图形（阴影部分）的面积为？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页分析： 在 RtACB 中， C=90， BAC=30 ， AB=6 60CBA, 3AB21BC33BCABAC22法一：23933321CABC21SBCA123606120360rnS22BAA扇336 0312 0S2BCC扇形9SSSSSA C BBCCBCABAA扇扇阴影法二：以 B 为圆心， BC 为半径画
11、弧交 AB 于 D，AB 于 D有ACBBCASS，CBDBDCSS扇扇931236031203606120SSS22BDDABA扇扇阴例：如图，已知RtABC 的斜边AB=13cm ，一条直角边AC=5cm ，以直线AC 为轴旋转一周得一个圆锥。求这个圆锥的表面积。如果以直线AB 为轴旋转一周，能得到一个什么样的图形？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页解：)cm(12513BC22以直线 AC 为轴旋转一周所得的圆锥如图所示，它的表面积为：)cm(300131212SSS22侧底表以直线 AB 为轴旋转一周，所得
12、到的图形如图所示。1252113CD211360CDACCDBCCDSSS下上13102017136051360121360例：一个圆锥的模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240的扇形铁皮制作，再用一块圆形铁皮做底，则这块图形铁皮的半径为_。答案： 6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页例：若圆锥的轴截面是一个边长为2cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是_。答案： 2例：已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为_。答案： 160例：若圆锥的侧面积是底面积的2 倍
13、，则侧面展开图的圆心角是_。答案： 180例：如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长50cm。（1）画出它的展开图；（2）计算这个展开图的圆心角及面积。解： （1）烟囱帽的展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面周长（如图）（2）设扇形的半径为l，弧长为c，圆心角为 ，则 l=50cm，cm80clc1 801 8 0cl5080180=288（度）)cm(62805040rS2l扇形例：一个圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。解： 设圆锥底面半径为r，圆锥母线长为l，扇形弧长（即半圆）为c，则由题意得r2c,22cl即r2, r222ll精选学习
14、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页在 RtSOA 中，22210rl由此求得)cm(3320),cm(3310rl故所求圆锥的侧面积为l rS圆侧面)cm(3200332033102例：蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20 个底面积为2m9，高为 3.5m，外围高4m 的蒙古包，至少要多少平方米的毛毡？解：3r,r9,rS22h1=4，5rhl221柱锥SSS3621155.33253rh2rl7203620S总答： 至少要720平方米的毛毡。【模拟试题】基础演练1. 已知扇形的弧长为6cm，圆心角为6
15、0，则扇形的面积为_。2. 已知弓形的弧所对的圆心角为60，弓形弦长为a，则这个弓形的面积是_。3. 如图，在平行四边形ABCD 中，34AB，32AD，BD AD ，以 BD 为直径的 O交 AB 于 E，交 CD 于 F，则图中阴影部分的面积为_。4. 如图， AB 是 O1的直径， AO1是 O2的直径，弦MN/AB ，且 MN 与 O2相切于 C 点，若 O1的半径为2，则 O1B、BN、CN、CO1所围成的阴影部分的面积是_。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页5. 如图， ABC 为某一住宅区的平面示意图
16、，其周长为800m，为了美化环境，计划在住宅区周围 5m 内， （虚线以内，ABC 之外）作绿化带，则此绿化带的面积为_。6. 如图，两个同心圆被两条半径截得的cm6AB，cm10CD，O与AB，CD都相切，则图中阴影部分的面积为_。综合测试7. 如图， OA 是 O 的半径， AB 是以 OA 为直径的 O 的弦， O B 的延长线交 O 于点 C，且 OA=4 ， OAB=45 ，则由AB，AC和线段 BC 所围成的图形面积是_。8. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC 的夹角为120， AB 长为 30cm，贴纸部分 BD 长为 20cm，贴纸部分的面积为（）精选学习资料
17、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页A. 2cm3800B. 2cm3500C. 2cm800D. 2cm5009. 如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、4， AOB=120 ，则阴影部分的面积为（）A. 4B. 2C. 34D. 10. 一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平翻滚（如图），那么， B 点从开始至结束所走过的路径长度为（）A. 23B. 34C. 4 D. 23211. （2004湖北黄冈） 如图，要在直径为50cm 的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面，问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米
18、？探究升级12. （ 2004新疆）在相距40km 的两个城镇A、B 之间，有一个近似圆形的湖泊，其半径为10km，圆心恰好位于A、B 连线的中点处，现要绕过湖泊从A 城到 B 城，假设除湖泊外，所有的地方均可行走，有如图所示两种行走路线，请你通过推理计算，说明哪条路线较短。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页（1）的路线：线段CDAC线段 DB （2）的路线：线段EFAE线段 FB（其中 E、F 为切点）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 1
19、4 页试题答案1. 2cm272. 2a)436(3. 332154. 123125. 2m)40025(6. 2cm607. )3235(8. A 9. B 10. B 11. 截法如图所示B O4O3O O1O2A 根据圆的对称性可知：O1，O3都在 O 的直径 AB 上，设所截出的凳面的直径为r 则 O1O2=r， O2O3=r，r2OO31又r50)BOAO(ABOO313150r )12(, r50r2)cm(7.20) 12(50r12. 由题意可知图答（1）路径：)km(42.51101010DBCDABS1图答（ 2）路径：如图连接OE、OF，连结 CD 由题意可知A、 C、D、B 共线，且经过O 点E 为切点， OEAE 在 RtOAE 中， AO=2EO A=30 ， AOE=60 同理 BOF=60 310232030cosOAAE同理310BF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页3101801060EF,60EOF)km(11.45310310310FBEFAES2由计算可知图（2）路线较短。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页