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1、动点问题动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。一、例题 :如图，在平行四边形ABCD中， AD=4 cm ， A=60， BD AD. 一动点 P从 A出发，以每秒1 cm 的速度沿 AB C的路线匀速运动，过点P作直线 PM ，使 PM AD
2、. (1) 当点 P运动 2 秒时，设直线PM与 AD相交于点E，求 APE的面积；(2) 当点 P 运动 2 秒时，另一动点Q也从 A 出发沿 ABC 的路线运动，且在AB上以每秒1 cm 的速度匀速运动，在BC上以每秒 2 cm 的速度匀速运动. 过 Q作直线 QN ，使 QN PM. 设点 Q运动的时间为t秒(0 t 10) ，直线 PM与 QN截平行四边形ABCD 所得图形的面积为S cm2 . 求 S关于 t 的函数关系式； ( 附加题 ) 求 S的最大值。EDCBAMP解题思路 ：第（ 1）问比较简单，就是一个静态问题当点P运动 2 秒时， AP=2 cm ，由 A=60 ，知 A
3、E=1 ，PE=3. SAPE=23第（ 2）问就是一个动态问题了，题目要求面积与运动时间的函数关系式，这就需要我们根据题目，综合分析，分类讨论. P点从 ABC一共用了 12 秒，走了12 cm，Q 点从 AB用了 8 秒， B C用了 2 秒，所以 t 的取值范围是0t10 不变量： P、Q 点走过的总路程都是12cm ，P点的速度不变，所以AP始终为： t+2 若速度有变化，总路程 = 变化前的路程+变化后的路程=变化前的速度变化点所用时间+变化后的速度（ t 变化点所用时间）. 如当 8t 10 时，点 Q 所走的路程AQ=1 8+2（t 8）=2t-8 精选学习资料 - - - -
4、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页 当 0t6 时，点 P 与点 Q 都在 AB 上运动，设 PM 与 AD 交于点 G，QN 与 AD 交于点 F，则 AQ=t ，AF=2t，QF=t23，AP=t+2 ，AG=1+2t，PG=t233. 此时两平行线截平行四边形ABCD 是一个直角梯形，其面积为（ PG + QF） AG 2 S=2323t. 当 6t8 时，点 P 在 BC 上运动，点Q 仍在 AB 上运动 . 设 PM 与 DC 交于点 G，QN 与 AD 交于点 F，则 AQ=t ，AF=2t，DF=4-2t（总量减部分量） ，QF=t
5、23， AP=t+2，BP=t- 6（总量减部分量） ，CP=AC - AP=12- （t+2）=10- t（总量减部分量） ，PG=3)10(t，而 BD=34，故此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为平行四边形的面积减去两个三角形面积S=3343108352tt. 当 8t10 时，点 P 和点 Q 都在 BC 上运动 . 设 PM 与 DC 交于点 G，QN 与 DC 交于点 F，则 AQ=2t-8 ，CQ= AC- AQ= 12 - （2t- 8）=20- 2t， （难点）QF=(20- 2t)3，CP=10- t， PG=3)10(t. 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为
6、S=31503302332tt. (附加题 )当 0t6 时， S 的最大值为237；当 6t 8 时， S 的最大值为36；当 8t 10 时， S 的最大值为36；所以当 t=8 时， S 有最大值为36. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页二、练习：1. 如图，正方形ABCD的边长为5cm，RtEFG中， G 90， FG 4cm，EG 3cm ，且点 B、F、C、G在直线l上， EFG由 F、C重合的位置开始，以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所表示的方向作匀速直线运动（1）当 EFG运动时，求点E分别运动到C
7、D上和 AB上的时间；（2）设 x（秒）后， EFG 与正方形ABCD 重合部分的面积为y（cm2） ，求 y 与 x 的函数关系式；（3）在下面的直角坐标系中，画出0 x2 时（ 2）中函数的大致图象；如果以O为圆心的圆与该图象交于点P （x，98） ，与 x 轴交于点A 、 B（A在 B的左侧），求 PAB的度数lCDABGEFxyO2121精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页PNMCBAOyx2. 已知，如图，在直角梯形COAB 中， CB OA ，以 O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C的坐标分别为 A（10
8、，0） 、B（4，8） 、C（0， 8） ，D 为 OA的中点，动点P 自 A点出发沿ABCO的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t 秒，（1）动点 P在从 A到 B的移动过程中，设APD的面积为S ，试写出S与 t 的函数关系式，指出自变量的取值范围，并求出S的最大值（2）动点 P从出发，几秒钟后线段PD将梯形 COAB 的面积分成1：3 两部分？求出此时P点的坐标xyOBAPCD3. 如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A、B的坐标分别为（3， 0） ， （3，4） 。动点 M 、N分别从 O 、B同时出发，以每秒1 个单位的速度运动。其中，点M沿 OA向终点 A运动
9、，点 N沿 BC向终点C运动。过点N作 NP AC ，交 AC于 P，连结 MP 。已知动点运动了x 秒。（1） P点的坐标为（，） ； （用含 x 的代数式表示）（2）试求MP A面积的最大值，并求此时x 的值。（3）请你探索：当x 为何值时， MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页4. 如图，在Rt ABC中，90B，30C，12AB厘米，质点 P从 A点出发沿线路ABBC作匀速运动，质点Q从 AC的中点 D同时出发沿线路DCCB作匀速运动逐步靠近质点P ，
10、设两质点P、Q的速度分别为1 厘米 / 秒、a厘米 / 秒（1a） ，它们在t秒后于 BC边上的某一点E 相遇。 （1）求出 AC与BC的长度；（2）试问两质点相遇时所在的E点会是 BC的中点吗？为什么？（3）若以 D、E、C为顶点的三角形与 ABC相似，试分别求出a与t的值；5. 在三角形ABC中, 60 ,24,16OBBAcm BCcm. 现有动点P 从点 A 出发 , 沿射线 AB 向点 B方向运动 ; 动点 Q从点 C出发 , 沿射线 CB也向点 B方向运动 . 如果点 P的速度是4cm/ 秒, 点 Q的速度是2cm/秒, 它们同时出发, 求:(1) 几秒钟后 , PBQ的面积是 A
11、BC的面积的一半 ? (2) 在第 (1) 问的前提下 ,P,Q 两点之间的距离是多少? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页6. 如图 , 已知直角梯形ABCD中， AD BC， A=90o， C=60o， AD=3cm ，BC=9cm O1的圆心 O1从点 A开始沿 ADC折线以 1cm/s 的速度向点C运动， O2的圆心 O2从点 B开始沿 BA边以3cm/s 的速度向点 A 运动，如果O1半径为2cm ，O2的半径为4cm ，若 O1、O2分别从点A、点 B 同时出发，运动的时间为 ts （1）请求出O2与腰
12、CD相切时 t 的值；（2）在 0st 3s 范围内，当t 为何值时， O1与 O2外切？7. 如图，已知直角坐标系内的梯形AOBC （O为原点），AC OB ，OC BC ，AC ，OB的长是关于x 的方程x2(k+2)x+5=0的两个根，且SAOC：SBOC=1：5。（1）填空： 0C=_，k=_；（2）求经过O ，C，B三点的抛物线的另一个交点为D，动点 P，Q分别从 O ，D同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点P沿 OB由 O B运动， 点 Q沿 DC由 DC运动， 过点 Q作 QM CD交 BC于点 M ，连结 PM ，设动点运动时间为t 秒，请你探索：当t 为何值时，PMB 是直角三角形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页