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1、一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分引例引例. 曲线21xy 和直线1x及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积21xy A1可记作12dxxA其含义可理解为 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分引例引例:曲线xy1所围成的1x与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作10dxxA其含义可理解为 10dlimxxA12lim0 x)1 (2lim02xy10A1xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2. 设, ,()(baCxf而在点 a 的右邻域内无界,0取存在 ,xxfxx
2、fbabad)(limd)(0这时称反常积分xxfbad)(收敛 ; 如果上述极限不存在,就称反常积分xxfbad)(发散 .类似地 , 若, ),)(baCxf而在 b 的左邻域内无界,xxfxxfbabad)(limd)(0若极限baxxfd)(lim0数 f (x) 在 a , b 上的反常积分, 记作则定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限为函 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明: ,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分, 无界点常称邻域内无界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd
3、)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220为瑕点瑕点(奇点奇点) .例如,xxxd11112xxd) 1(11机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点,而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 则定义注意注意: 若瑕点,)()(的原函数是设xfxF的计算表达式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点, 则若 a 为瑕点, 则若 a , b 都为瑕点, 则, ),(bac则xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消吗可相消吗?机动 目录 上页 下页 返回 结束 112
4、dxx211111x下述解法是否正确: , 积分收敛例例4. 计算反常积分. )0(d022axaxa解解: 显然瑕点为 a , 所以原式0arcsinaax1arcsin2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 讨论反常积分112dxx的收敛性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以反常积分112dxx发散 .例例6. 证明反常积分baqaxx)(d证证: 当 q = 1 时,当 q 1 时收敛 ; q1 时发散 .baaxxdbaax ln当 q1 时baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以当 q 1 时, 该广义积分收敛 ,
5、 其值为;1)(1qabq当 q 1 时, 该广义积分发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.解解：,)2() 1() 1()(32xxxxxf设求.d)(1)(312xxfxfI)(20 xfxx为与 的无穷间断点, 故 I 为反常xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfCxf)(arctan012d)(1)(xxfxfI202d)(1)(xxfxf322d)(1)(xxfxf积分.)(arctanxf)(arctanxf02)(arctanxf232222732arctan222732arctan机动 目录 上页 下页 返回 结束 10内容小结内容小结 1. 反常积分积分
6、区间无限被积函数无界常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0( abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,) 1(11pap机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互相转化 .例如 ,1021dxx）令txsin(20dtxxxd11104210121d122txxx102112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt(2) 当一题同时含两类反常积分时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分. (3) 有时需考虑主值意义下的反常积分. 其定义为ba
7、xxfd)(v.p.),(bcac为瑕点xxfd)(v.p.xxfaaad)(limP256 题 1 (1) , (2) , (7) , (8) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxfxxfbccad)(d)(lim0常积分收敛 .注意注意: 主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反思考与练习思考与练习P256 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; 2 ; 3第五节 目录 上页 下页 返回 结束 提示提示: P256 题22)(lndkxxx2)(ln)d(lnkxx,1时当k12)2)(ln1(1)(lnd)(kkkxxxkI,)2)(ln1()(1kkkf令求其最大值 .作业作业备用题备用题 试证xxxxxd11d04204, 并求其值 .解解:041dxx令xt1tttd1112014tttd1042xxxd1042xxxxxxxd11d211d0420404xxxd1121042xxxxd121021122机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxxd121021122)1(d2)(121021xxxx012arctan221xx22机动 目录 上页 下页 返回 结束 22 结束语结束语