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1、山东省实验中学山东省实验中学 20132013 届高二期终考试理科数学试卷届高二期终考试理科数学试卷一选择题选择题( (本大题共本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.) .)1.在复平面内,复数z 1对应的点位于（D ）3iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限22.已知aR，则“a 2”是“a 2a”的 （ A）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件要条件3.直线y k(x 1)与圆x2 y21的位置关系是（ C）D既不充分也不必
2、A.相离B.相切C.相交D.与 k 的取值有关4.函数f (x) Asin(x ) b(A0,0,可以为 （D ）)的图象如图，则f (x)的解析式22y y1.51.51 10.50.50 01 12 24 4x x321B.f (x) sinx121C.f (x) sinx124D.f (x) A.f (x) sinx11sinx 1225.正四棱锥 PABCD 的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为 4，侧棱长为2 6，则此球的表面积为（B ）A.18B.36C.72D.9x2y226 设斜率为的直线 l 与双曲线221交于不同的两点， 且这两个交点在 x 轴上的射ab2影恰好是双曲线
3、的两个焦点，则该双曲线的离心率为（）A.42B.2C.43D.341的定义域为a,b(a,b),值域为0,1，那么满足条件的有序对| x|2(a,b)共有（）A. 3 对B.4 对C. 5 对D.9 对8.在正整数数列中，由1 开始依次按如下规则将某些数染成红色先染1，再染2 个偶数 2、4；再染 4 后面最邻近的 3 个连续奇数 5、7、9；再染 9 后面最邻近的 4 个连续偶数 10、12、14、16；再染 16 后面最邻近的 5 个连续奇数 17、19、21、23、25按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，则在这个红色子数列中，由1开始
4、的第2009个数是（）A. 3948B. 3953C. 3955D.39587已知函数f (x) 9.已知：奇函数f (x)的定义域为 R，且是以 2 为周期的周期函数，数列an是首项为 1，公差为 1 的等差数列，则f (a1) f (a2) f (a10)的值等于（）A0B1CD210. 如果关于 x 的方程ax（）A.a|a 0B.a|a 0或a 2C.a|a 0D.a|a 0若1 3有且仅有一个正实数解，那么实数a的取值范围为x2a 2二填空题（本大题共二填空题（本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分）分）x216y221的左焦点在抛物线y2 2
5、px的准线上，则 p 的值为_11.若椭圆5px2y212.双曲线221 的左右焦点分别为 F1F2， 在双曲线上存在点 P， 满足PF15abPF2。则此双曲线的离心率 e 的最大值为.3x y0OAOP13.已知A 3, 3，O为原点，点Px, y的坐标满足x 3y 20，则的最大OAy0值是14.某种股票今天的股价是2 元/股，以后每一天的指数都比上一天的股价增加0.2%，则100天以后这种基金的股价约是_元/股（精确到 0.01）.15.设函数f (x),g(x)的定义域分别为 DJ,DE 且 DJDE， 若对于任意xDJ,都有g(x) f (x),则称函数g(x)为f (x)在 DE
6、上的一个延拓函数 .设f (x) xln x(x 0),g(x)为f (x)在(,0) (0,)上 的 一 个 延 拓 函 数 ， 且g(x)是 奇 函 数 ， 则g(x)=_；设f (x) 2x1(x 0),g(x)为f (x)在R R上 的 一 个 延 拓 函 数 ， 且 且g(x)是 偶 函 数 ， 则g(x)=_.三三( (解答题本大题共解答题本大题共 6 6 小题，共小题，共 7575 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) )16(本小题满分 12 分)某办公室有 5 位教师，只有 3 台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的。
7、（1）若上午某一时段A、B、C 三位教师需要使用电脑的概率分别是时段 A、B、C 三位教师中恰有 2 位教师使用电脑的概率；122、，求这一435（2）若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是使用的平均台数和无法满足需求的概率。1，求在这一时段该办公室电脑3解： （1）甲、乙、丙教师使用电脑的事件分别记为A、B、C，因为各位教师是否使用电脑是相互独立的，所以甲、乙、丙三位教师中恰有2 位使用电脑的概率是：p P(ABC) P(ABC) P(ABC) 6 分1221221221(1) (1) (1)4354354353（2）电脑数无法满足需求，即指有4 位以上（包括4 位）教师同时需要使用电
8、脑，记有4 位教师同时需要使用电脑的事件为M，有 5 位教师同时需要使用电脑的事件为N，14142P(M) C5( ) ( ),P(N) ( )58 分333所以，所求的概率是：P=P（M）+P（N）=C54( )4( )( )513231311。 11 分243155 5,即平均使用台数为台。12 分33317(本小题满分 12 分)已知角 、 满足：5 3sin5cos8，2sin6cos 2且 (0，3)， (6，2)，求 cos()的值.4解： 5 3sin5cos8， sin(6)53 分 3 (0，3)， 6 (6，2)， cos(6)55 分2又 2sin 6cos2， sin(
9、3)2，8 分52 (6，2)， 3 (2，6)， cos(3)2，10 分2 sin*(6)(3)sin(6)cos(3)cos(6)sin(3)10，2 cos()1012 分18 （本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，底面 ABC 为等腰直角三角形， B = 900，D 为棱 BB1上一点，且面 DA1 C 面 AA1C1C.1）求证：D 点为棱 BB1的中点；2）若二面角 A A1D C 的平面角为 600，求A A1 1AA1的值。ABB B1 1D DC C1 1解：1）过点 D 作 DE A1 C 于 E 点，取 AC 的中点 F，连 BF EF。 面
10、 DA1 C 面 AA1C1C 且相交于 A1 C，面 DA1 C 内的直线 DE A1 C 直线 DE 面 AA1C1C3 分又 面 BA C 面 AA1C1C 且相交于 AC，易知 BF AC， BF 面 AA1C1C由此知：DEBF ，从而有 D，E，F，B 共面，又易知 BB1面 AA1C1C，故有 DBEF ，从而有 EFAA1，又点 F 是 AC 的中点，所以 DB EF 11AA1BB1，22所以 D 点为棱 BB1的中点；6 分B B1 1C C1 1A A1 1D DG GH HB BE EA AC CF F2）解法 1：延长 A1 D 与直线 AB 相交于 G，易知 CB
11、面 AA1B1B，过 B 作 BH A1 G 于点 H，连 CH，由三垂线定理知：A1 G CH，由此知 CHB 为二面角 A A1D C 的平面角；9 分设 AA1 2b ，ABBC a；在直角三角形 A1A G 中，易知 AB BG。在直角三角形 DB G 中，BH BD BGDGbaa b22，BC在直角三角形 CHB 中，tan CHB BHa2b2，ba2b2据题意有： tan600b所以3，解得：2b2，aAA12。12 分AB2）解法 2：建立如图所示的直角坐标系，设AA1 2b ，ABBC a，则 D（0,0,b）,A1 (a,0,2b),C (0,a,0)Z Z所以，DA1
12、(a,0,b),DC (0,a,b)8 分设面 DA1C 的法向量为n (x, y,z)则B B1 1ax 0 y bz 0,0 x ay bz 0A A1 1D DC C1 1可取n (b,b,a)又可取平面 AA1DB 的法向量B B O Om BC (0,a,0)cosn,mx xA AC Cy ynmn mbb0ba a02b a a222 b2b a2210 分据题意有：2b2 a2AA12b1212 分，解得：aAB219 （本小题满分 13 分）已知f (x) xln x求函数f (x)在区间t,t 2(t 0)上的最小值；对一切实数x(0,)，2 f (x)g(x)恒成立，求实
13、数 a 的取值范围；证明对一切x(0,)，lnx 12恒成立exex1e解： f (x) ln x 1， 当x(当x( ,)，f (x) 0，0 , )，f (x) 0，f (x)单调递减，1ef (x)单调递增1 分0t t 2，t 无解；2 分1e1111t 2，即0t 时，f (x)min f ( ) ；3 分eeee11t t 2，即t 时，f (x)在t,t 2上单调递增，f (x)min f (t) tlnt；ee1 1 ， 0t ee所以f (x)min5分1tlnt，t e332xln x x2 ax 3， 则a 2 l n x x， 设h( x) 2 lx nx x ( ，
14、则0 )xx0t h(x) (x3)(x1)，x(0,1)，h(x) 0，h(x)单调递增，x(1,)，h(x) 0，h(x)x2单调递减，所以h(x)min h(1) 4，因为对一切x(0,)，2 f (x) g(x)恒成立，所以a h(x)min 4；9 分问题等价于证明xlnx x2可知f (x) xlnx(x(0,)的最小值是(x(0,)，由exe1x211 x，当且仅当x 时取到，设m(x) x(x(0,)，则m(x )x，易得eeeee112m( x)m a x m(1) ，当且仅当x 1时取到，从而对一切x(0,)，都有lnx x成eeex立13 分20 （本小题满分 13 分）
15、设正项数列an的前项和为Sn，q 为非零常数。已知对任意正整数n, m，当n m时，Sn Sm qmSnm总成立。1）求证数列an是等比数列；2）若正整数 n, m, k 成等差数列，求证：112。SnSkSm解：1）因为对任意正整数 n, m，当 n m 时，Sn Sm qmSnm总成立。所以当n2 时：Sn Sn1 qn1S1，即an a1qn1，且a1也适合，又an0，故当n2 时：an，即an是等比数列。5 分 q（非零常数）an12）若q 1，则Sn na1,Sm ma1,Sk ka1。所以11n k2m2m2m22。7 分2SnSknka1nka1n k2m a1ma1Sm() a
16、12a1(1qn)a1(1 qm)a1(1 qk)若q 1，则Sn，Sm，Sk。8 分1 q1 q1 q1(1 q)211 2所以2。10 分2nkSnSkSnSk(1 q )(1 q )a1又因为(1q )(1q ) 1(q q ) qnknknknk qnk1 2qm q2m (1 qm)2。所以1 2 q1(1 q)2(1 q)2211 222。22nkm2SnSkSmSnSk(1 q )(1 q )a1(1 q ) a1综上可知：若正整数 n, m, k 成等差数列，不等式112总成立。SnSkSm当且仅当n m k时取“”。13 分21 （本小题满分 13 分）x2y26已知椭圆 C
17、：221（ab0）的离心率为，过右焦点F 且斜率为 1 的直线3ba交椭圆 C 于 A，B 两点，N 为弦 AB 的中点。1）求直线 ON（O 为坐标原点）的斜率KON；2）对于椭圆 C 上任意一点 M ，试证：总存在角（ R）使等式：OMcosOAsinOB成立。a2b22c622a 3b解：1）设椭圆的焦距为2c,因为，所以有，故有。从而23a3a椭圆 C 的方程可化为：x23y2 3b22 分易知右焦点 F 的坐标为（2b,0） ，据题意有 AB 所在的直线方程为：y x 2b3 分由 ， 有：4x 6 2bx 3b 0设A(x1, y1),B(x2, y2)，弦 AB 的中点N(x0,
18、 y0)，由 及韦达定理有：22x0 x1 x23 2b2, y0 x02b b.244所以KONy01 ，即为所求。5 分x032）显然OA与OB可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM，有且只有一对实数,，使得等式OM OAOB成立。设M(x, y)，由 1）中各点的坐标有：(x, y) (x1, y1)(x2, y2)，所以x x1x2, y y1y2。7 分又点在椭圆 C 上，所以有(x1x2)23(y1y2)2 3b2整理为2(x123y12)2(x223y22) 2(x1x23y1y2) 3b2。3 2b3b2由 有：x1 x2。所以,x1 x224x1x23y1y2 x1x23(x12b)(x22b) 4x1x23 2b(x1 x2)6b2 3b 9b 6b 02222222又 AB 在椭圆上，故有(x13y1) 3b2,(x23y2) 3b2将 ， 代入 可得：221。11 分对于椭圆上的每一个点M，总存在一对实数，使等式OM OAOB成立，而221在直角坐标系x o y中，取点 P（,） ，设以 x 轴正半轴为始边，以射线 OP 为终边的角为，显然 cos, sin。也就是：对于椭圆C 上任意一点 M ，总存在角（ R）使等式：OMcosOAsinOB成立。13 分