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1、学习必备欢迎下载二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式： 形如a（a0） 的式子叫做二次根式， “”称为二次根号。.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。. a（a0）是一个非负数。. （a）2a（a0） ；2a=a（a0）2. 二次根式的乘：.一般的，有abab （a0，b0）. 反过来，有abab( a 0 ，b 0 ) 3.二次根式的除：. 一般地，对二次根式的除法规定：ab=ab（a0，b0） ，. 反过来，ab=ab（a0，b0） 4. 二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。典型例题分析：例 1.下列式
2、子， 哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x0） 、0、42、-2、1xy、xy（x0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页学习必备欢迎下载y?0） 例 2.当 x 是多少时，23x+11x在实数范围内有意义？变式题 1：当 x 是多少时，31x在实数范围内有意义？变式题 2：.当 x 是多少时，23xx+x2在实数范围内有意义？例 3. .已知 y=2x+2x+5，求xy的值.若1a+1b=0，求 a2004+b2004的值.已知1xy+3x=0，求 xy的值例 4. 计算1 （32）22 （35
3、）23 （56）24 （72）2 例 5. 计算1 （1x）2（x0）2 （2a）23 （221aa）24 （24129xx）2变式题： 计算1.（- 323）2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页学习必备欢迎下载2.(2 33 2)(2 33 2)例 6.在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 例 7. 化简（1）9（2）2( 4)（3）25（4）2( 3)例 8. 填空：当a 0 时，2a=_ ；当aa，则 a 可以是什么数？例 9. 当 x2，化简2(2)x-2(1 2
4、 )x例 10先化简再求值：当a=9 时，求 a+212aa的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+2(1)a=a+（1-a ）=1；乙的解答为：原式=a+2(1)a=a+（a-1 ）=2a-1=1 7两种解答中，_的解答是错误的，错误的原因是_变式题 1若 1995-a +2000a=a，求 a- 19952的值（提示：先由a-200 00，判断 1995-a? 的值是正数还是负数，去掉绝对值）变式题 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页学习必备欢迎下载若-3x2 时，试化简 x-2 +2(3)x+210
5、25xx。例 11计算（1）57（2）139（3）927（4）126分析： 直接利用abab（a0，b0）计算即可解： （1）57=35（2）139=193=3（3）927=29 2793=93（4）126=162=3例 12 . 化简（1）9 16（2）1681（3）81 100（4）229x y（5）54例 13 . 判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）( 4)(9)49（2）1242525=4122525=4122525=412=83变式题 1： 若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm和12cm，?那么此直角三角形斜边长是（） 精选学习资料 - - - - - - - -
6、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页学习必备欢迎下载变式题 2：化简 a1a的结果是（） 变式题 3：1014=_1696变式题 4：一个底面为30cm30cm 长方体玻璃容器中装满水， ?现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？变式题 5：探究过程：观察下列各式及其验证过程（1）223=223验证： 223=2223=2223=332(22)233=3222222222(21)221212121=223（2）338=338验证： 338=2338=338=3233331=22
7、2223(31)33(31)3313131=338同理可得： 4444151555552424，通过上述探究你能猜测出：a21aa=_（a0）,并验证你的结论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页学习必备欢迎下载例 14计算：（1）123（2）3128（3）11416（4）648例 15化简：（1）364（2）22649ba（3）2964xy（4）25169xy例 16 已知9966xxxx， 且 x 为偶数，求 （1+x）22541xxx的值变式题 1.计算112121335的结果是（） 变式题 2.阅读下列运算过程
8、：1333333，22 52 55555数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化” ，那么，化简26的结果是（） 变式题 3.已知 x=3，y=4，z=5，那么yzxy的最后结果是_变式题 4.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为3：1，?现用直径为315cm 的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？变式题 5.计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页学习必备欢迎下载（1）32nnmm （-331nmm）32nm（m0 ，n0）（2）-3222332mna（232mn
9、a）2amn（a0）例 17.把它们化成最简二次根式： (1)5312; (2) 2442x yx y; (3)238x y总结： 二次根式有如下两个特点： 1被开方数不含分母； 2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式例 18. 如图，在RtABC 中， C=90， AC=2.5cm，BC=6cm ，求 AB的长BAC例 19. 观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=1 (21)2121(21)( 21)=2-1 ，132=1(32)3232( 32)(32)=3-2，同理可得：143=4-3，精选学习资料
10、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页学习必备欢迎下载从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（121+132+143+120022001） （2002+1）的值练习：一、选择题 1如果xy（y0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（） Axy（y0） Bxy（y0） Cxyy（y0）D以上都不对 2 把 （a-1 ）11a中根号外的（a-1 ） 移入根号内得 （） A1a B1a C-1a D-1a3在下列各式中，化简正确的是（）A53=315B12=122C4a b=a2bD32xx=x1x4化简3 227的结果是（）A-2
11、3B-23C-63D-2二、填空题 1化简422xx y=_ （x0）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页学习必备欢迎下载 2a21aa化简二次根式号后的结果是_三、综合提高题 1已知 a 为实数，化简：3a-a1a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，?请写出正确的解答过程： 2 若 x、 y 为实数，且 y=224412xxx， 求xyxy的值例 20. 计算（1）8+18（2）16x+64x总结：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式， ?再将被开方数相同的二次根式进行合并例 21计算（1）
12、348-913+312（2） （48+20）+（12-5）例 22已知 4x2+y2-4x-6y+10=0 ，求（293xx+y23xy）- （x21x-5xyx）的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页学习必备欢迎下载练习：一、选择题 1以下二次根式：12；22；23；27中，与3是同类二次根式的是（） A和 B 和 C 和 D 和 2 下 列 各 式 ： 33+3=63； 177=1 ； 2+6=8=22；243=22，其中错误的有（） A3 个 B2 个 C1 个 D0 个二、填空题 1在8、1753a、293
13、a、125、323aa、30.2、-218中，与3a是同类二次根式的有_ 2计算二次根式5a-3b-7a+9b的最后结果是_三、综合提高题 1已知52.236 ，求（80-415）- （135+4455）的值 （结果精确到0.01 ） 2先化简，再求值（6xyx+33xyy）- （4xxy+36xy） ，其中 x=32，y=27例 23如图所示的RtABC中， B=90，点 P 从点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页学习必备欢迎下载B 开始沿 BA边以 1 厘米 /? 秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点 B开始
14、沿 BC边以 2 厘米 / 秒的速度向点C移动问：几秒后 PBQ的面积为35 平方厘米？ PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）BACQP例 23 要焊接如图所示的钢架， 大约需要多少米钢材 （精确到 0.1m）？例 24若最简根式343a bab与根式23226abbb是同类二次根式，求a、b 的值 （?同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）练习：一、选择题 1已知直角三角形的两条直角边的长分别为5 和 5，那么斜边的长应为（） （?结果用最简二次根式） A52 B50 C25 D以上都不对 2小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和 20cm 的长方形的木框，?为了增加其
15、稳定性，他沿长方形的对角线又精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页学习必备欢迎下载钉上了一根木条，木条的长应为（）米（结果同最简二次根式表示） A 13100 B1300 C 1013 D 513二、填空题 1某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2 倍，它的面积是1600m2，?鱼塘的宽是 _m （结果用最简二次根式） 2已知等腰直角三角形的直角边的边长为2，?那么这个等腰直角三角形的周长是_ （结果用最简二次根式）三、综合提高题 1若最简二次根式22323m与212410nm是同类二次根式，求 m 、n 的值 2
16、同学们， 我们以前学过完全平方公式a22ab+b2=（ab）2， 你一定熟练掌握了吧! 现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（3）2，5=（5）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：（2-1 ）2=（2）2-212+12=2-22+1=3-22反之， 3-22=2-22+1=（2-1 ）2 3-22=（2-1 ）2 322=2-1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页学习必备欢迎下载求： （1）322；（2）42 3；（3）你会算412吗？ (3 -1)（4）若2
17、ab=mn，则 m 、n 与 a、b 的关系是什么？并说明理由例 25计算 :（1） （6+8）3（2） （46-32） 22例 26计算（1） （5+6） （3-5）（2） （10+7） （10-7）例 27已知xba=2-xab，其中 a、b 是实数，且a+b0，化简11xxxx+11xxxx，并求值。练习：一、选择题 1 （24-315+2223）2的值是（） A2033-330 B330-233 C230-233 D2033-30 2计算（x+1x） （x-1x）的值是（） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16
18、 页学习必备欢迎下载 A2 B3 C4 D1二、填空题 1 （ -12+32）2的计算结果（用最简根式表示）是_2 （1-23） （1+23）- （23-1 ）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_ 3若 x=2-1 ，则 x2+2x+1=_ 4已知 a=3+22，b=3-22，则 a2b-ab2=_三、综合提高题 1化简5710141521 2当 x=121时，求2211xxxxxx+2211xxxxxx的值 （结果用最简二次根式表示）课外知识 1同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，?这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式练习：下
19、列各组二次根式中，是同类二次根式的是 （） A2x与2y B3489a b与5892a bCmn与n Dmn与mn 2互为有理化因式：?互为有理化因式是指两个二次根精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页学习必备欢迎下载式的乘积可以运用平方差公式（a+b） （a-b ）=a2-b2，同时它们 的 积 是 有 理 数 ， 不 含 有 二 次 根 式 ： 如x+1-22xx与x+1+22xx就是互为有理化因式；x与1x也是互为有理化因式练习：2+3的有理化因式是_； x-y的有理化因式是_ -1x-1x的有理化因式是_ 3
20、分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、?分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的练习：把下列各式的分母有理化（1）151； （2）112 3； （3）262； （4）3 34 23 34 2 4 其它材料：如果 n是任意正整数， 那么21nnn=n21nn理由：21nnn=332211nnnnnn=n21nn练习：填空223=_；338=_；4415=_例 28. 比较32与21的大小。变式题 1：比较43与32的大小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页学习必备欢迎下载变式题 2：试比较1nn与1nn的大小。例 29. 已知16的整数部分为a,小数部分为b,求 a-b. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页