二次根式复习专题讲义补课用.pdf

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1、二次根式复习专题讲义二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：一、二次根式的概念：1. 1.二次根式：二次根式： 形如形如a（a a0 0） 的式子叫做二次根式，的式子叫做二次根式， “称为二次根号。称为二次根号。. .式子中，被开方数式子中，被开方数( (式式) )必须大于等于零。必须大于等于零。. .a（a a0 0）是一个非负数。）是一个非负数。a）2 2”. . （a a（a a0 0） ；a2=a=a（a a0 0）2.2.二次根式的乘：二次根式的乘：. .一般的，有一般的，有abab （a a0 0，b b0 0）b. . 反过来，有反过来，有aba( a( a 0 0 ，b b 0

2、 0) )3. 3.二次根式的除：二次根式的除：. . 一般地，对二次根式的除法规定：一般地，对二次根式的除法规定：ab= =abab（a a0 0，b0b0） ，ab. . 反过来，反过来，= =（a a0 0，b0b0） 4. 4. 二次根式的加减法则：二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。典型例题分析：典型例题分析：例例 1.1. 下列式子，下列式子，哪些是二次根式，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：哪些不是二次根式：2、33、1x、x

3、（x0 x0） 、0、42、- -2、1、x y（x x0 0，x yy y 0 0） 分析：分析： 二次根式应满足两个条件：二次根式应满足两个条件： 第一，第一， 有二次根号有二次根号 “” ；第二，被开方数是正数或第二，被开方数是正数或 0 0。解：解：二次根式有：二次根式有：2、x（x0 x0） 、0、- -2、x y（x x0 0，y y0 0） ；不是二次根式的有：；不是二次根式的有：33、1、4 2、x1。x y例例 2. 2.当当 x x 是多少时，是多少时，2x3+ +分析：分析：要使要使满足满足2x3+ +1在实数范围内有意义？在实数范围内有意义？x11在实数范围内有意义，必

4、须同时在实数范围内有意义，必须同时x12x3中的中的0 0 和和1中的中的x1x+1x+10 0解：解：依题意，得依题意，得由得：由得：x x- -322x 30 x1 0由得：由得：x x-1-1当当 x x- -3且且 x x-1-1 时，时，22x3+ +1在实数范围内有意义。在实数范围内有意义。x1变式题变式题 1 1：当当 x x 是多少时，是多少时，3x1在实数范围内有意义？在实数范围内有意义？分析：分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于等于 0 0，所以，所以 3x-13x-10 0，3x1才能有意义才能有意义解：解：由由

5、3x-13x-10 0，得：，得：x x13当当 x x1时，时，33x1在实数范围内有意义在实数范围内有意义变式题变式题 2 2：. .当当 x x 是多少时，是多少时，意义？意义？2x3+x+x2 2在实数范围内有在实数范围内有x32x3 0 x 解：解：依题意得：依题意得：，2x 0 x 0当当 x-x-3且且 x x0 0时，时，2x3x x2 2在实数范围内没有意义。在实数范围内没有意义。2x. .若若3 x+ +x3有意义，则有意义，则x2=_=_。. .使式子使式子(x5)2有意义的未知数有意义的未知数 x x 有（有（）个。）个。xy例例 3. 3. .已知已知 y=y=2 x

6、+ +x2+5+5，求，求20042004的值的值( (答案答案: :25) ). .若若a 1+ +b1=0=0，求，求 a a+b+b20042004的值的值( (答案答案: 2): 2)y y. .已知已知x y1+ +x3=0=0，求，求 x x 的值的值 （答案（答案:81:81）例例 4. 4. 计算计算1 1 （3 3 （32）2 22 2 （3 34 4 （5）2 25）2 2672）2 2a）2 2分析：分析：我们可以直接利用（我们可以直接利用（题题解：解： （32=a=a（a a0 0）的结论解）的结论解）2 2 = =3， （3 325）2 22 2 =3 =32 2 （

7、5）2 2=3=32 25=455=45，5）2 2= =5， （7662）( 7)27= =224例例 5. 5. 计算计算1 1 （3 3 （x1）2 2（x x0 0）2 2 （2 2a2）2 22 2a22a1）4 4 （4x212x9）分析：分析： （1 1）因为）因为 x x0 0，所以，所以 x+10 x+10； （2 2）a a2 20 0； （3 3）a a2 2+2a+1=+2a+1=（a+1a+1）2 20 0；（4 4）4x4x2 2-12x+9=-12x+9=（2x2x）2 2-2-22x2x3+33+32 2= =（2x-32x-3）2 20 0所以上面的所以上面的

8、 4 4 题都可以运用（题都可以运用（论解题论解题a）2 2=a=a（a a0 0）的重要结）的重要结解：解： （1 1）因为）因为 x x0 0，所以，所以 x+10 x+10（x1）2 2=x+1=x+1a2（2 2）a a2 20 0，（，（）2 2=a=a2 2（3 3）a a2 2+2a+1=+2a+1=（a+1a+1）2 22 2又又 （a+1a+1）0 0， a a2 2+2a+1+2a+10 0 ， a22a1=a=a2 2+2a+1+2a+1（4 4）4x4x2 2-12x+9=-12x+9=（2x2x）2 2-2-22x2x3+33+32 2= =（2x-32x-3）2 2

9、又（又（2x-32x-3）2 20 04x4x2 2-12x+9-12x+90 0，（，（变式题：变式题：计算计算1. 1.（- -3 3234x212x9）2 2=4x=4x2 2-12x+9-12x+9）2 22. 2.(2 3 3 2)(2 3 3 2)例例 6. 6.在实数范围内分解下列因式在实数范围内分解下列因式: :（1 1）x x2 2-3-3（2 2）x x4 4-4-4(3) 2x(3) 2x2 2-3-3例例 7.7.化简化简（1 1）9（2 2）(4)2（3 3）25（4 4）(3)2分析：分析：因为（因为（1 1）9=-39=-32 2， （2 2） （-4-4）2 2

10、=4=42 2， （3 3）25=525=52 2，（4 4） （-3-3）2 2=3=32 2，所以都可运用，所以都可运用化简。化简。解：解： （1 1）（3 3）925a2=a=a（a a0 0） 去去= = =3252=3=3（2 2）=5=5（4 4）(4)2(3)2= = =42=4=4=3=332例例 8.8.填空：当填空：当a a0 0 时，时，a2a2=_=_；当；当 a0aaa，则，则 a a 可以是什么数？可以是什么数？a2分析：分析：=a=a（a a0 0） ，要填第一个空格可以根据这，要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“个结论，第二空格就不行，应

11、变形，使“ （）2 2”中的数是”中的数是正数，因为，当正数，因为，当 a a0 0 时，时，a2= =(a)2，那么，那么-a-a0 0（1 1）根据结论求条件；）根据结论求条件； （2 2）根据第二个填空的分析，逆）根据第二个填空的分析，逆向思想；向思想； （3 3）根据（）根据（1 1） 、 （2 2）可知）可知a2= =a a，而，而a a要大要大于于 a a，只有什么时候才能保证呢？，只有什么时候才能保证呢？a0a0解：解： （1 1）因为）因为（2 2）因为）因为a2a2=a=a，所以，所以 a a0 0；=-a=-a，所以，所以 a a0 0；a2a2（3 3）因为当）因为当 a

12、 a0 0 时时不存在；当不存在；当 a0a0 时，时，综上，综上，a0a2x2，化简，化简=a=a，要使，要使a2a2aa，即使，即使aaaa 所以所以 a aaa，即使，即使-aa-aa，a0a0a0）, ,=aa2a 13aaa 22a 1a 1233a aaa aaaa (21)aaa=.222222a 1a 1a 1a 1a 1a 1例例 1414计算：计算：（1 1）123（2 2）3218（3 3）ab11416（4 4）648分析：分析：上面上面 4 4 小题利用小题利用得出答案得出答案解：解： （1 1）（2 2）（3 3）（4 4）32= =ab（a a0 0，b0b0）便

13、可直接）便可直接123= =18123= =4=2=2=2=23= = = =313= =38 3428211116= =4416411416=2=2648= =6488=2=22例例 1515化简：化简：（1 1）364（2 2）64b29a2ab（3 3）ab9x64y2（4 4）5x169y2分析：分析：直接利用直接利用之目的之目的解：解： （1 1）（2 2）（3 3）（4 4）364= =（a a0 0，b0b0）就可以达到化简）就可以达到化简= =338648b3a3 x8y64b29a29x64y25x169y2= = = =64b29a29x64y25x169y25x13y例例

14、 1616 已知已知9 x9 x， 且且x6x6x x 为偶数，为偶数， 求求 （1+x1+x）x25x4x21的值的值分析：分析：式子式子ab= =ab，只有，只有 a a0 0，b0b0 时才能成立时才能成立因此得到因此得到 9-x9-x0 0 且且 x-60 x-60， 即即 6x6x9 9， 又因为又因为 x x 为偶数，为偶数，所以所以 x=8x=8解：解：由题意得由题意得6x60m0，n0n0）a2mn3m23n22a2（32n42m5）n2m（a0a0）解：解： （1 1）原式）原式- -n2mn33nn42m=-=-25m2mn3nnnnn22n=-=-22=-=-3mmmmm

15、2（2 2）原式）原式=-2=-2223a3(mn)(mn)aa=-2=-2222amnmn=-=-6a a例例 17.17.把它们化成最简二次根式：把它们化成最简二次根式： (1) (1)3512; (2); (2)2442x y x y; (3); (3)8x2y3点评：点评：二次根式有如下两个特点：二次根式有如下两个特点： 1 1被开方数不含分母；被开方数不含分母； 2 2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根叫做最简二次根式式例例 18.18.如图，在如图，在 RtRtA

16、BCABC 中，中，C=90C=90，AC=2.5cmAC=2.5cm，BC=6cmBC=6cm，求，求 ABAB 的长的长ABC解：解：因为因为 ABAB2 2=AC=AC2 2+BC+BC2 2所以所以 AB=AB=51691691322.5262= =()36 =6.5=6.5（cmcm）2442因此因此 ABAB 的长为的长为 6.5cm6.5cm例例 19.19.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：次根式的化成最简二次根式：12 1= =1( 2 1)2 1= =21( 2 1)( 2 1)2-1-1，- -2

17、13 2= =1( 3 2)3 2= =3( 3 2)( 3 2)3214 3，同理可得：同理可得：= =4- -3，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（值值分析：分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式12 1+ +13 2+ +14 3+ +1） （20022002 2001+1+1）的的子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的解：解：原式原式= =（2002+1+1）2002-1-1） （2002+1+1）2-1+-1+3- -2+ +4- -3+

18、+ +2002- -2001） = =（ =2002-1=2001 =2002-1=2001练习：练习：一、选择题一、选择题 1 1如果如果xy（y0y0）是二次根式，那么，化为最简二次）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（根式是（） A Axy（y0y0） B Bxy（y0y0） C Cxyy（y0y0）D D以上都不对以上都不对 2 2 把把 （a-1a-1） A A1a1中根号外的中根号外的 （a-1a-1） 移入根号内得移入根号内得 （） C C- -a1 D D- -1aa1 B B1a3 3在下列各式中，化简正确的是（在下列各式中，化简正确的是（）A AC C53=3=315B

19、Bb12= =122a4b=a=a2 22D Dx3 x2=x=xx14 4化简化简3A A- -2327的结果是（的结果是（）23B B- -C C- -63D D- -2二、填空题二、填空题 1 1化简化简 2 2a a（x x0 0）x4 x2y2=_=_化简二次根式号后的结果是化简二次根式号后的结果是_a1a2三、综合提高题三、综合提高题 1 1已知已知a a 为实数，化简：为实数，化简：a3-a-a1a，阅读下面的解答，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，过程，请判断是否正确？若不正确， 请写出正确的解答过请写出正确的解答过程：程：解：解：a3-a-a1a=a=aa-a-a

20、1aa= =（a-1a-1）a 2 2若若x x、y y 为实数，且为实数，且y=y=的值的值答案答案: :22x 4 4 x 1 yx y，求，求xx2一、一、1 1C 2C 2D 3.C 4.CD 3.C 4.C二、二、1 1x xx2 y2 2 2- -a1三、三、1 1不正确，正确解答：不正确，正确解答：a3 0因为因为 1 0 a，所以，所以 a0a0，式式=-a=-aa原原a a2-a-aaa2= =aa2-a-aaa2+ +a=(1-a)=(1-a)a2x 4 02 2x-4=0 x-4=0，x=x=2 2，但但x+2x+20 0，x=2x=2，24 x 0y=y=1416322

21、x yx y x y4. .164例例 20.20.计算计算（1 1）8+ +18（2 2）16x+ +64x分析：分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并解：解： （1 1）（2 2）16x8+ +18=2=2=4=4x2+3+3+8+8x2= =（2+32+3）= =（4+84+8）x2=5=5=12=122x+ +64x点评：点评：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，次根式， 再将被开方数相同的二次根

22、式进行合并再将被开方数相同的二次根式进行合并例例 2121计算计算4848（1 1）3 3（2 2） （-9-9+ +13+3+312122048）+ +（-9-913- -5）3解：解： （1 1）3 33+3+312=12=12-3-33+6+63= =（12-3+612-3+6）=15=15348（2 2） （+ +320）+ +（512- -55）= =3485+ +20+ +12- -5 =4 =4例例+2+2+2+23- -=6=6+ +39x2222已知已知 4x4x2 2+y+y2 2-4x-6y+10=0-4x-6y+10=0，求（，求（2x-5x-5xyx+y+y2 2xy

23、3）- -（x x2 21x）的值）的值分析：分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（方式，得（2x-12x-1）2 2+ +（y-3y-3）2 2=0=0，即，即 x=x=1，y=3y=3其次，根据其次，根据2二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式， 再合再合并同类二次根式，最后代入求值并同类二次根式，最后代入求值解：解：4x4x2 2+y+y2 2-4x-6y+10=0-4x-6y+10=04 4x x2 2-4x+1+y-4x+1+y2 2-6y+9=0-6y+9=0（2x-1

24、2x-1）2 2+ +（y-3y-3）2 2=0=0 x=x=1，y=3y=32原式原式= =2x39x+y+y2 2xxy3-x-x2 2xy1x+5x+5xyx =2x =2x =x =xxx+ +xyxy-x-x+5+5+6+62当当 x=x=1，y=3y=3 时，时，原式原式= =1212+6+632= =24+3+36练习：练习：一、选择题一、选择题 1 1以下二次根式：以下二次根式：312；22；23；27中，与中，与是同类二次根式的是（是同类二次根式的是（） 17 A A和和 B B和和 C C和和 D D和和 2 2 下下 列列 各各 式式 ： 3 323+3=6+3=63；

25、7=1=1 ； + +6= =8=2=22；243=2=22，其中错误的有（，其中错误的有（） A A3 3 个个 B B2 2 个个 C C1 1 个个 D D0 0 个个二、填空题二、填空题 1 1在在8、1375a、239a、125、2a3a3、3 30.2、-2-218中，中，与与3a是同类二次根式的有是同类二次根式的有_a 2 2计算二次根式计算二次根式5 5_三、综合提高题三、综合提高题 1 1已知已知5-3-3b-7-7a+9+9b的最后结果是的最后结果是2.2362.236，求（，求（80- -145）- -（315+ +4545）的）的值值 （结果精确到（结果精确到 0.01

26、0.01） 2 2先化简，再求值先化简，再求值（6x6xyx+ +3yxy3）- -（4x4xxy+ +36xy） ，其中，其中 x=x=3，y=27y=272答案答案: :一、一、1 1C 2C 2A A二、二、1 11375a2a3a3 2 26 65b-2-25a55三、三、1 1原式原式=4=40.450.452 2原式原式=6=6xy5- -35- -455- -125= =112.2362.2365+3+3xy- -（4 4xy+6+6xy）= = xy(3-4x/y)=12.5xy(3-4x/y)=12.522例例 2323如图所示的如图所示的 RtRtABCABC 中，中，B=

27、90B=90，点，点 P P 从点从点B B 开始沿开始沿 BABA 边以边以 1 1 厘米厘米/ 秒的速度向点秒的速度向点 A A 移动；同时，点移动；同时，点Q Q也从点也从点 B B 开始沿开始沿 BCBC 边以边以 2 2 厘米厘米/ /秒的速度向点秒的速度向点 C C 移动问：移动问：几秒后几秒后PBQPBQ 的面积为的面积为 3535 平方厘米？平方厘米？PQPQ 的距离是多少厘的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）米？（结果用最简二次根式表示）CQA分析：分析： 设设PBx x 秒后秒后PBQPBQ 的面积为的面积为 3535 平方厘米，平方厘米， 那么那么 PB=xPB=

28、x，BQ=2xBQ=2x， 根据三角形面积公式就可以求出根据三角形面积公式就可以求出 x x 的值的值解：解：设设 x x 后后PBQPBQ 的面积为的面积为 3535 平方厘米平方厘米则有则有 PB=xPB=x，BQ=2xBQ=2x依题意，得：依题意，得：1x x2x=352x=352x x2 2=35=35 x= x=3535所以所以 PQ= PQ=答：答：5 57秒后秒后PBQPBQ 的面积为的面积为 3535 平方厘米平方厘米22222=5=57PB BQ x 4x 5x 53535秒后秒后PBQPBQ 的面积为的面积为 3535 平方厘米，平方厘米，PQPQ 的距离为的距离为厘米厘米

29、2323 要焊接如图所示的钢架，要焊接如图所示的钢架， 大约需要多少米钢材大约需要多少米钢材 （精（精例例确到确到 0.1m0.1m）？）？分析：分析：此框架是由此框架是由 ABAB、BCBC、BDBD、ACAC 组成，所以要求钢组成，所以要求钢架的钢材，架的钢材， 只需知道这四段的长度只需知道这四段的长度B2mAD1mC解：解：由勾股定理，得由勾股定理，得 AB= AB= BC= BC=2222=2=25AD BD 4 2 202222BD CD 21= =5所需钢材长度为所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD AB+BC+AC+BD =2 =2 =3 =355+ +5+5+2+5+2+7+

30、73 32.24+72.24+713.713.7（m m）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要 13.7m13.7m 的钢的钢材材a3b与根式与根式例例 2424若最简根式若最简根式3ab42322ab b 6b是同类是同类二次根式，求二次根式，求 a a、b b 的值的值 （ 同类二次根式就是被开方数相同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）同的最简二次根式）分析：分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；式后，被开方数相同； 事实上，根式事实上，根式二次根式，因此把二次根式，因此

31、把2322ab b 6b不是最简不是最简232ab6，才由，才由2ab b 6b化简成化简成|b|b|2同类二次根式的定义得同类二次根式的定义得 3a-b=23a-b=2，2a-b+6=4a+3b2a-b+6=4a+3b解：解：首先把根式首先把根式2322ab b 6b化为最简二次根式：化为最简二次根式：2322ab62ab b 6b(2a16)=|b|=|b|2= =b4a3b 2ab6由题意得由题意得3ab 22a4b 63ab 2a=1a=1，b=1b=1练习：练习：一、选择题一、选择题 1 1已知直角三角形的两条直角边的长分别为已知直角三角形的两条直角边的长分别为 5 5 和和 5 5

32、，那那么斜边的长应为（么斜边的长应为（） （ 结果用最简二次根式）结果用最简二次根式） A A5 5不对不对 2 2小明想自己钉一个长与宽分别为小明想自己钉一个长与宽分别为 30cm30cm 和和 20cm20cm 的长的长方形的木框，方形的木框， 为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（钉上了一根木条，木条的长应为（）米）米 （结果同最简二（结果同最简二次根式表示）次根式表示） A A 13131002 B B50 C C2 25 D D以上都以上都 B B1300 C C 101013 D D 5 513二、填空题二、填空题

33、 1 1某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的 2 2 倍，倍，它的面积是它的面积是 161600m00m2 2， 鱼塘的宽是鱼塘的宽是_m_m （结果（结果用最简二次根式）用最简二次根式） 2 2已知等腰直角三角形的直角边的边长为已知等腰直角三角形的直角边的边长为2， 那么这那么这个等腰直角三角形的周长是个等腰直角三角形的周长是 _ （结果用最（结果用最简二次根式）简二次根式）三、综合提高题三、综合提高题 1 1若最简二次根式若最简二次根式式，求式，求 m m、n n 的值的值22n1224m 10是同类二次根是同类二次根3m 2与与3 2 2 同学们，

34、同学们， 我们以前学过完全平方公式我们以前学过完全平方公式 a a2 22ab2ab+b+b2 2= = （a a2 2b b）， 你一定熟练掌握了吧你一定熟练掌握了吧! !现在，现在， 我们又学习了二次根式，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括那么所有的正数（包括 0 0）都可以看作是一个数的平方，如）都可以看作是一个数的平方，如3=3=（3）2 2，5=5=（5）2 2，你知道是谁的二次根式呢？下面我，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：们观察：（2-1-1）2 2= =（22）2 2-2-21 122+ +1 12 2=2-2=2-22+1=3-2+1=3-22反之，反之，3-2

35、3-23-23-22=2-2=2-22+1=+1=（2-1-1）2 2= =（-1-1）2 232 2= =2-1-1求：求： （1 1）（2 2）32 2；42 3；（3 3）你会算）你会算（4 4）若）若4 12吗？吗？( (33 -1)-1)a2 b= =m n，则，则m m、n n 与与 a a、b b 的关系是什的关系是什么？并说明理由么？并说明理由答案答案: :一、一、1 1A 2A 2C C二、二、1 120202 2 22+22+22m 2 2，n 32223m 2 4m 10m 8三、三、1 1依题意，得依题意，得2，2n 1 2n 3m 2 2所以所以n 3m 2 2或或n

36、 3m 2 2或或n 32m 2 2或或n 32 2 （1 1）（2 2）32 2= =( 2 1)2= = =+1+1342 3= =( 3 1)2+1+1（3 3）（4 4）2= =33 (31 )4 12= =42-1-1a a2 2bmn a理由：两边平方得理由：两边平方得mn b=m+n=m+n2 2mna mn所以所以b mn例例 2525计算计算: :（1 1） （6+ +8）3（2 2） （4 46-3-32）2 22分析：分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，律， 所以直接可用整式的运算规律所以直接可用整式的运算规律解：

37、解： （1 1） （ = =186+ +228）63= =63+ +83+ +246=3=3-3-3+2+22解：解： （4 4 =2 =232）2 2=4=462 22-3-322 22- -3例例 2626计算计算（1 1） （5+6+6） （3-3-5）（2 2） （10+ +7） （10- -7）分析：分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立算在乘法公式运算中仍然成立解：解： （1 1） （ =3 =355+6+6） （3-3-55）- -（55）2 2+ +18-618-6 =13-3 =13-3（2 2）

38、（10+ +7） （10- -7）= =（10） - -（2 27）2 2 =10-7=3 =10-7=3例例 2727已知已知xba=2-=2-xab，其中，其中 a a、b b 是实数，且是实数，且 a+ba+b0 0，化简化简x1xx1x+ +x1xx1x，并求值。，并求值。） （x1- -x分析：分析：由于（由于（x1+ +x）=1=1，因此对代数式，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到一次方程得到 x x 的值，代入化简得结果即可的值，代入化简得结果即可22( x 1x)( x 1x)解：解：

39、原式原式= =+ +( x 1x)( x 1x)( x 1x)( x 1x)( x1x)2( x1x)2= =+ +(x1) x(x1) x = =（x+1x+1）+x-2+x-2 =4x+2 =4x+2xbax(x1)+x+2+x+2x(x1)=2-=2-xabb b（x-bx-b）=2ab-a=2ab-a（x-ax-a）bx-bbx-b2 2=2ab-ax+a=2ab-ax+a2 2（a+ba+b）x=x=a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2（a+ba+b）x=x=（a+ba+b）2 2a+ba+b0 0 x=a+bx=a+b原式原式=4x+2=4=4x+2=4（a+ba+b）+2+

40、2练习：练习：一、选择题一、选择题 1 1 （24-3-3315+2+230223）2的值是（的值是（） 30 A A203-3-3 B B3 3- -233 C C2 230- -233 D D2033- -30 2 2计算（计算（x+ +x1） （x- -x1）的值是（）的值是（） A A2 B2 B3 C3 C4 D4 D1 1二、填空题二、填空题 1 1 （- -1+ +232）2 2的计算结果（用最简根式表示）是的计算结果（用最简根式表示）是_2 2 （1-21-23） （1+21+23）- -（2 23-1-1）2 2的计算结果（用最简的计算结果（用最简二次根式表示）是二次根式表示

41、）是_ 3 3若若 x=x=2-1-1，则，则 x x2 2+ +2x+1=_2x+1=_2 4 4已知已知 a=3+2a=3+2，b=3-2b=3-22，则，则 a a2 2b-abb-ab2 2=_=_三、综合提高题三、综合提高题 1 1化简化简 2 2当当x=x=5 710 14 15 2112 1时，求时，求x1x2 xx1x x2+ +x1x2 xx1x x2的值的值 （结果（结果用最简二次根式表示）用最简二次根式表示）课外知识课外知识 1 1同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，它们的被开方数相同， 这些二次

42、根式就称为同类二次根式，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式练习：练习： 下列各组二次根式中，下列各组二次根式中， 是同类二次根式的是是同类二次根式的是 （） A A2x与与2y B B834a b9与与958a b2C Cmn与与n D Dmn与与mn 2 2互为有理化因式：互为有理化因式： 互为有理化因式是指两个二次根互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（式的乘积可以运用平方差公式（a+ba+b） （a-ba-b）=a=a2 2-b-b2 2，同时它，同时它们们的的积积是是有有理理数数，不不含含有有二

43、二次次根根式式：如如 x+1-x+1-x+1+x+1+x22x就是互为有理化因式；就是互为有理化因式；xx22x与与与与1x也是互为有理化也是互为有理化因式因式练习：练习： x- x- - -y2+ +3的有理化因式是的有理化因式是_；的有理化因式是的有理化因式是_x1- -x1的有理化因式是的有理化因式是_ 3 3分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、 分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的的练习：把下列各式的分母有理化练习：把下列各式的分母有理化（1 1）15 1； （2

44、2）112 3； （3 3）26 2； （4 4）3n3 4 23 3 4 2 4 4 其它材料：其它材料： 如果如果n n是任意正整数，是任意正整数， 那么那么理由：理由：33n nnnnnn2= =n=n22n 1n 1n 1n21nn=n=nn21n21415练习：填空练习：填空答案答案: :223=_=_；338=_=_；4=_=_一、一、1 1A 2A 2D D二、二、1 11-1-32 2 24 43-24 3-24 32 42 44 42三、三、1 1原式原式= =5 725273 5 3 75 7= =12( 5 7)3( 5 7)2 3=-=-（2 2原式原式2- -3）=

45、=23- -22222(x1x x) (x1x x)(x1) ( x x)22222(x1) (x x)221)(x1 x)= = =(x= 2= 2（2x+12x+1）x1x1x=x=12 1= =2+1+1原式原式2 2（2 22+3+3）=4=42+6.+6.例例 28.28.比较比较3 2与与2 1的大小。的大小。解：解：因为：因为： （3+3+2 2） （3-3-2 2）=1=1；（2+12+1） （2-12-1）=1=1所以，所以， （3-3-2 2）=1/=1/（3+3+2 2） ； （2-12-1）=1/=1/（2+12+1）, ,又又因为：因为： （3+3+2 2）（2+12+1）所以，所以， （2-12-1）（）（3-3-2 2） 。变式题变式题 1 1：比较比较4 3与与3 2的大小。的大小。n1n与与n n1的大小。的大小。变式题变式题 2 2：试比较试比较例例 29.29.已知已知6 1的整数部分为的整数部分为 a, a,小数部分为小数部分为 b,b,求求 a-b.a-b.解：解：2 26 63 3， 3 36+16+14 4，即，即整数部分整数部分 a=3a=3，小，小数部分数部分,b=,b=6+1-3=6+1-3=6-26-2，则：，则：a-b=3-a-b=3-（6-26-2）=5-=5-6 6。