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1、学习必备欢迎下载特殊的平行四边形复习重点难点几种特殊的平行四边形的特征及识别方法一览表:边角对角线对称性识别方法对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等中心对称和轴对称三个角是直角的四边形一个角是直角的平行四边形对角线相等的平行四边形对边平行四边相等对角相等互相垂直平分且平分对角中心对称轴对称四条边相等的四边形邻边相等的平行四边形对角线垂直的平行四边形对边平行四边相等四个角都是直角互相垂直平分且相等，平分对角中心对称轴对称邻边相等的矩形是正方形一个角是直角的菱形平行四边形 +直角 +邻边相等讲一讲例 1如图， BD 是 ABC 中 ABC 的平分线， DE/BC 交 AB 于 E，DF/AB
2、 交 BC 于F.试判断四边形BFDE 的形状并说明理由.分析 ：此题条件中有角分线有平行线，一般会有等腰三角形存在.解：由 DE/BC ，DF/AB得到 DE/BF ，DF/EB ， 2=3.因此四边形EBFD 是平行四边形又 BD 平分 ABC则 1=2可得 1=3=2因此 BE=ED所以四边形BFDE 是菱形 .例 2已知如图，平行四边形ABCD 的 对角线 AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于 E、F。试判断四边形AFCE 的形状并说明理由.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载解：由于
3、 EF 是 AC 的垂直平分线，得到AE=EC ， 1=2由平行四边形ABCD 可得 AE/FC ，因此 1=3，所以 3=2，在直角三角形EOC 和 FOC 中，OEC=OFC，得到 CE=CF，因此 AE=CF由 AE=FC 且 AE/FC 得到四边形AFCE 是平行四边形由于一组邻边相等的平行四边形是菱形因此四边形AFCE 是菱形例 3如图，点M 是矩形 ABCD 的边 AD 中点，点P 是 BC边上一动点， PEMC，PFBM ，垂足分别为E、F。（1）当四边形 PEMF 为矩形时，矩形ABCD 的长与宽应满足什么条件？（2）在（1）中，当点P 运动到什么位置时，四边形PEMF 变为正
4、方形？为什么？分析 ： （1）四边形PEMF 中已经有两个直角了，若为矩形，还需再有一个直角，即BMC=900由于矩形是轴对称图形，因此AMB= DMC=450，即 AB=AM=MD（2）四边形 PEMF 为正方形，只需PE=PF，因此 P 是 BC 中点。解： （1）当 BC=2AB 时，四边形PEMF 为矩形由于 M 是 AD 中点， 矩形 ABCD ，得到三角形ABM 和 DCM 都是等腰直角三角形，AMB= DMC=450因此 BMC=900，又 PEMC ，PFBM ，所以四边形PEMF 为矩形（2）当 P为 BC 中点， BC=2AB 时，矩形是轴对称图形，BM=CM 。又三角形P
5、BM 和PCM 的面积相等，因此得到PE=PF，所以四边形PEMF 为正方形例 4已知如图，菱形ABCD 中， E 是 BC 上一点， AE 、BD 交于 M，若 AB=AE, EAD=2 BAE。求证： AM=BE 。分析 ：菱形的四条边都相等，且对角线互相垂直且平分一组对角因此在解决菱形的有关问题时，经常要用到菱形的这些特殊性质解：设 BAE 为 x 度， EAD 为 2x 度FABCDEO123PABCDEFM4132BMADCE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载由菱形 ABCD 可知 AD/
6、BC 且 BD 平分 ABC ，则 AEB= EAD= （2x）0， ABD= DBC= （x）0在三角形 ABE 中， x+2x+2x=180 x=36ABM 中， ABM= BAM=360，AM=BMEBM 中， BME= BEM=720，BM=BE所以 AM=BE练习（一）选择题1对角线相等的四边形是( )A. 矩形B. 正方形C. 等腰梯形D.矩形、 正方形、等腰梯形作为结论都不对2下面几种说法：正方形是有一组对边平行的四边形; 矩形是菱形 ; 矩形是正方形正方形是矩形.那么 ( )A. 都不正确；B. 只有是错误的；C. 只有是正确的；D.只有是错的3有三个角相等的四边形是A.矩形B
7、. 菱形C.正方形D.矩形、菱形、正方形作为结论都不对4下面几种说法：对角线互相垂直的四边形是菱形；一组对边平行一组邻边相等的四边是菱形； 两条对角线相等的平行四边形是矩形；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，那么正确的说法是（）A. B. C. D.5 下列图形既是中心对称又是轴对称图形的是( )A.平行四边形和矩形; B.矩形和菱形 ;C.正三角形和正方形; D.平行四边形和正方形6矩形两条对角线交点到小边距离比到大边距离多4 厘米， 若矩形周长为56 厘米， 则矩形两邻边长为 ( )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共
8、10 页学习必备欢迎下载A.18 和 10 厘米B.16 和 12 厘米C.8 和 10 厘米D.5 和 9 厘米（二）解答题1菱形 ABCD 中， A=60，对角线BD=2 ，求菱形的周长。2如图， ABCD 是正方形，对角线AC 与 BD 交于 O，MN/AB. 且分别与AO、BO 交于 M、N. 猜测线段 BM 与 CN 之间的关系 .并证明你的猜测. 3如图，矩形ABCD 中， AC、BD 交于 O 点， AE 平分 BAD. 若 EAO=15 ，求 BOE的度数 .4如图，菱形ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 上的点，若AE=AF=EF=AB. 求 C 的度数。精选学习资料
9、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载5如图，以ABC 的三边为边在BC 边的同侧作等边三角形DBA ， EBC， FAC.（1）试说明四边形AFED 是平行四边形（2）当 ABC 满足什么条件时，四边形AFED 是矩形 .说明理由 .（3）当 ABC 满足什么条件时，四边形AFED 是正方形？（4）当 ABC 满足什么条件时，四边形AFED 不存在？参考答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载（一）选择题D C D C B
10、 A(二) 解答题1由菱形 ABCD 可知 AB=AD=DC=CB.在 ABD 中， A=60，则 ABD 是等边三角形.得到 AB=BD=2 ，所以菱形的周长为8.2猜测 BM=CN ， BM CN。将 MOB 绕 O 点逆时针旋转90得到 ONC3矩形 ABCD 中，BAD= ABC=90 ，BDBOACAO21,21且 AC=BD. 则 OA=OB又 AE 平分 BAD ，则 BAE=45 ， BEA=45 所以 AB=BE又 EAO=15 ，则 BAO=60 所以 ABO 是等边三角形得到 ABO=60 ， OB=AB因此 OBE=30， OB=BE所以 BOE=75 .410005提
11、示（ 1） ABC 绕 C 点顺时针方向旋转60 度，得到 FEC； ABC 绕 B 点逆时针方向旋转 60 度，得到 DBE ；（2）当 ABC 满足 BAC=1500时，四边形AFED 是矩形。（3）当 ABC 满足 BAC=1500且 AB=AC 时，四边形AFED 是正方形。（4）当 ABC 满足 BAC=600时，四边形AFED 不存在。第六章特殊平行四边形和梯形复习提纲一、各种特殊四边形的定义和性质名 称定 义性质对称性边角对角线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载平行四边形两 组 对 边
12、 分 别平 行 的 四 边 形叫平行四边形。对 边 平 行且相等对角相等，邻角互补互相平分中 心 对 称图形矩形有 一 个 角 是 直角 的 平 行 四 边形叫矩形。对 边 平 行且相等。四 个 角 都是直角相等且互相平分既 是 中 心对 称 图 形又 是 轴 对称图形菱形有 一 组 邻 边 相等 的 平 行 四 边形叫菱形。对边平行，四边相等。对角相等，邻角互补。互相垂直平分， 且每条对角线平分一组对角。既 是 中 心对 称 图 形又 是 轴 对称图形正方形一组邻边相等，且 有 一 个 角 是直 角 的 平 行 四边形叫正方形。对边平行，四边相等。四 个 角 都是直角相等且互相垂直平分，每条
13、对角线平分一组对角。既 是 中 心对 称 图 形又 是 轴 对称图形等腰梯形两 腰 相 等 的 梯形 叫 做 等 腰 梯形。上、下底平行 且 不 相等，两腰相等不平行。同 一 底 上的 两 个 底角相等，不同 底 上 的两 个 底 角互补。相等轴 对 称 图形二、几种特殊四边形的常用判定方法名 称条件平行四边形1. 两组对边分别平行；2、两组对边分别相等；3、一组对边平行且相等；4、两条对角线互相平分矩形1、 有三个角是直角；2、是平行四边形，且有一个角是直角；3、是平行四边形，并且两条对角线相等菱形1、四条边都相等；2、是平行四边形，并且有一组邻边相等；3、是平行四边形，并且两条对角线互相垂
14、直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载正方形1、 是矩形，并且有一组邻边相等；2、是矩形，并且且两条对角线互相垂直3、是菱形，并且有一个角是直角；4、是菱形，并且两条对角线相等等腰梯形1、是梯形，并且同一底上的两个角相等；2、是梯形，并且两条对角线相等三、各种特殊四边形之间的关系四、有关中点四边形的几个结论1、任意四边形的四边中点围成的四边形是平行四边形。2、对角线互相垂直的四边形的四边中点围成的四边形是矩形。3、对角线相等的四边形的四边中点围成的四边形是菱形。4、对角线相等并且互相垂直的四边形的四边
15、中点围成的四边形是正方形。五、梯形中常见的添辅助线的技巧1. 延长两腰交于一点 2. 平移一腰作用： 使梯形问题转化为三角形问题。作用： 使梯形问题转化为平行四边形若是等腰梯形则得到两个等腰三角形及三角形问题，CE等于上、下底的差。若是等腰梯形则得到一个等腰三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载3. 作高 4. 平移一条对角线作用 ：使梯形问题转化为直角三角作用： 得到平行四边形ACED，则CE=AD，形及矩形问题。BE等于上、下底的和. 若是等腰梯形则得到两个全等的直角三角形。若是等腰梯形则DB
16、E 是等腰三角形5. 当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中 6. 当有一腰中点时，过中点作另一腰点并延长与一个底的延长线相交。的平行线。作用： 可得ADEFCE, 作用：可得到平行四边形和全等三角形. BF等于上、下底的和. 7. 当有一腰中点时，取另一腰的中点 8.上下底边有中点时，过上底中点并连结两腰中点。作两腰的平行线作用： 构造梯形的中位线作用：可得到两个平行四边形和三角形. 若是等腰梯形， 则得到一个等腰三角形六、例题示范.1(2008 浙江义乌 )下列命题中，真命题是( ) A两条对角线垂直的四边形是菱形B对角线垂直且相等的四边形是正方形C两条对角线相等的四边形是矩形D两条对角线相
17、等的平行四边形是矩形2 （ 2008 山东威海）将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF若 AB3，则 BC 的长为（）A1B2 CD3.(2008 年浙江省绍兴市)如图，沿虚线将ABCD 剪开，则得到的四边形是（）A梯形B平行四边形C矩形D菱形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载4.（2008 湖北襄樊）顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（）A.菱形B.正方形C.矩形D.等腰梯形5.（2008 广州市）如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方
18、形，那么新正方形的边长是（）A B 2 C D 6.(2008 年天津市 )如图，在正方形ABCD 中， E 为 AB 边的中点，G，F 分别为 AD，BC 边上的点，若，则 GF 的长为7（2008 年陕西省） 如图，梯形中，且，分别以为边向梯形外作正方形，其面积分别为，则之间的关系是_8（2008 桂林市）如图，在梯形中，6, 8,则梯形的高为9（2008 年湖南省 邵阳市 ）学生在讨论命题： “如图（十二） ，梯形中，则 ”的证明方法时，提出了如下三种思路思路 1：过一个顶点作另一腰的平行线，转化为等腰三角形和平行四边形；思路 2：过同一底边上的顶点作另一条底边的垂线，转化为直角三角形和矩形；思路 3：延长两腰相交于一点，转化为等腰三角形请你结合以上思路，用适当的方法证明该命题10(2008 河南实验区 ) 如图 , 已知 : 在四边形 ABFC中，=90的垂直平分线EF交BC于点 D,交 AB于点 E,且 CF=AE (1)试探究 ,四边形 BECF 是什么特殊的四边形; (2)当的大小满足什么条件时,四边形 BECF 是正方形 ?请回答并证明你的结论. (特别提醒 :表示角最好用数字) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页