2022年一元二次方程解法 .pdf

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1、一元二次方程解法一元二次方程的定义知识点 1、一元二次方程的定义果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。形如：2a0,0 xbxca注意： 一元二次方程必须同时满足以下三点：方程是整式方程。它只含有一个未知数。未知数的最高次数是2. 同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。例 下列关于x的方程，哪些是一元二次方程？3522x； 062xx； （ 3 ）5xx； （ 4 ）02x； （ 5 ）12)3(22xxx知识点 2、 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02cbxax（a，b，c 是已知数，0a） 。其中 a，b

2、，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。注意： （1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。（3）形如02cbxax不一定是一元二次方程，当且仅当0a时是一元二次方程。例 1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。（1）xx2752； （2）832 xx； （3）22343xxx例 2 已知关于x的方程021122xmxmm是一元二次方程时，则m=？知识点 3 、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2x时，0

3、232xx所以2x是0232xx方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 因式分解法、直接开平方法知识点一因式分解法解一元二次方程如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若 pq=0时，则 p=0或 q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0； （2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0

4、，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。关键点： （1）要将方程右边化为0； （2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。例 用因式分解法解下列方程：（ 1 ）xx452；（ 2 ）025)32(2x；（ 3 ）222596xxx。知识点二直接开平方法解一元二次方程若02aax，则x叫做 a 的平方根，表示为ax，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。（ 1）02aax的 解是ax； （2）02nnmx的 解是mnx； （3）0,02cmcnmx且的解是mncx。例 用直接开平方法解下列一元二次方程（1）

5、01692x； （2）01652x； （3）22135xx知识点三灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程形如002kkbax的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。例 运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。（1）036542x；（2）03212x知识点四用提公因式法解一元二次方程名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多

6、项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则 p=0 或 q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。如 ：0201.02tt， 将 原 方 程 变 形 为0201.0tt， 由 此 可 得 出200,0020.0021tttt，即或注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。知识点五形如“为常数babxbax,02”的方程的解法。对于形如“为常数babxbax,02”的方程（或通过整理符合 其 形 式 的 ） ， 可 将 左 边 分 解 因 式 ， 方 程 变 形 为0bxax， 则00bxax或，即bxax21,。注意 ：应 用

7、 这种 方法 解 一 元二次 方 程 时， 要 熟 悉“为常数babxbax,02”型方程的特征。例 解下列方程：（1）0652xx；（2）0122xx配方法知识点一配方法解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。注意 ：用配方法解一元二次方程02qpxx，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。例 用配方法解下列方程：（1）0562xx；（2）02272xx知识点二用配方法解二次项系数

8、为1 的一元二次方程用配方法解二次项系数为1 的一元二次方程的步骤：（1） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；（2） 把原方程变为nmx2的形式。（3） 若0n，用直接开平方法求出x的值，若 n0，原方程无解。例 解下列方程：0342xx知识点三用配方法解二次项系数不是1 的一元二次方程名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 当一元二次方程的形式为1,002aacbxax时，用配方法

9、解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数； (2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为nmx2的形式；（3）若0n，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。例 用配方法解下列方程：（1）02932xx；（2）0342xx公式法知识点一一元二次方程的求根公式一元二次方程002acbxax的求根公式是：aacbbx242用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为002acbxax的 形 式 ， 确 定 的 值cba.,（注 意符 号） ； （2） 求出acb42的 值 ； （3） 若042a cb，则.

10、,ba把及acb42的值代人求根公式aacbbx242，求出21,xx。例 用公式法解下列方程（ 1 ）01322xx；（ 2 ）0122xx；（ 3 ）0252xx知识点二选择适合的方法解一元二次方程直接开平方法 用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程因式分解 要求方程右边必须是0，左边能分解因式；公式法 是由配方法推导而来的，要比配方法简单。注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。例 用适当的方法解下列一

11、元二次方程：（ 1 ）2232932xx； （ 2 ）0682xx； （ 3 ）0)1(2xx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 根的判别式的逆用在方程002acbxax中，（1）方程有两个不相等的实数根acb420（2）方程有两个相等的实数根acb42=0（3）方程没有实数根acb420 注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为 0 这一条件。例m为何值时，

12、方程0324122mmxxm的根满足下列情况：（1） 有两个不相等的实数；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；注意：“ ”, “x1.x2 ” ， “ x1+x2”与“ 0”的关系综合判断一元二次方程根的情况 0 1 有两个不相等的负实数根 x1.x20 x1+x20 2 有两个不相等的正实数根 x1.x20 x1+x20 0 3 负根的绝对值大于正根的绝对值 x1.x2 0 x1+x20 4 两个异号根正的绝对值较大 x1.x20 0 5 两根异号，但绝对值相等 x1.x206 一个负根，一个零根x1.x2 0 x1+x20 7 一个正根，一个零根 x1.x20 x1+x20 0 8

13、 有两个相等的负根 x1.x20 x1+x20 0 x1+x20 0 10 有两个相的等的根都为零 x1.x20 x1+x20 0 11 两根互为倒数 x1.x21 12 两根互为相反数 0 x1+x20 13 两根异号0 14两根同号0 x1.x20 15 有一根为零0 x1.x20 16 有一根为 -1 0 a-b+c=0 17 无实数根0 0mxmx2119 ax2+bx+c (a 0)这个二次三项式是完全平方式0 20 方程 ax2+bx+c 0 (a0)（a、b、c 都是有理数）的根为有理根，则是一个完全平方式。21 方程 ax2+bx+c 0 (a0)的两根之差的绝对值为：axx2

14、122 0, 方程 ax2+bx+c 0 (a0)有相等的两个实数根。23 0, 方程 ax2+bx+c 0 (a0)无实数根 . 24 方程 ax2+bx+c 0 (a0)一定有一根为“1”0 a+b+c=0 25 方程 ax2+bx+c 0 (a0)的解为0ac4ba2ac4bbx2226 方程 ax2+bx+c 0 (a0)若0 则abxx21acxx21名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 例

15、 1、 （2011 湖北孝感， 22，10 分）已知关于x 的方程 x22（k1）x+k2=0 有两个实数根x1，x2（1）求 k的取值范围；（2）若 |x1+x2|=x1x21，求 k 的值分析： （1）方程有两个实数根，可得=b2 4ac0 ，代入可解出k的取值范围；（2）结合（ 1）中k 的取值范围，由题意可知，x1+x2=2（k1） 0，去绝对值号结合等式关系，可得出k的值解答： 解： （1）由方程有两个实数根，可得=b24ac=4（k1）24k20 ，解得， k12；（2）依据题意可得，x1+x2=2（k1） ，由（ 1）可知 k12， 2（k1） 0， 2（k1）=k21，解得 k

16、1=1（舍去），k2=3， k的值是 3答： （1）k 的取值范围是k12； （2）k的值是 3例 2 已知：关于x 的方程 x2-2 （m+1 ）x+m2=0 （1）当 m取何值时，方程有两个实数根？（2）为 m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根. 解： （1）当 0 时，方程有两个实数根-2 （m+1 ）2-4m2=8m+4 0 m -21（2）取 m=0时，原方程可化为x2-2x=0 ，解之得 x1=0，x2=2 一元二次方程的根与系数的关系若21, xx是一元二次方程002acbxax的两个根，则有abxx21，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - -

17、- - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - abxx21根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：212212221xx2xxxx2122121222121213231xx3xxxxxxxxxxxx2121221221xxxxxxxx2212121axxaxxaxax212121xxxxx1x122121221222122212221xxxx2xxxxxxx1x12122122121xx4xxxxxx例 1、（ 2011湖北荆州， 9， 3分）

18、关于x 的方程 ax2（ 3a+1）x+2（a+1）=0 有两个不相等的实根x1、x2，且有 x1x1x2+x2=1a，则 a的值是（）A、1 B、 1 C、1或 1 D、 2 分析 ：根据根与系数的关系得出x1+x2= ba， x1x2= ca，整理原式即可得出关于a的方程求出即可解答 ：解：依题意0，即（ 3a+1）28a（a+1） 0，即 a22a+10，（ a1）20，a1 ，关于 x 的方程 ax2（ 3a+1）x+2（a+1） =0 有两个不相等的实根x1、x2，且有 x1x1x2+x2=1a， x1x1x2+x2=1a， x1+x2x1x2=1a， 3a+1a 2a+2a=1a，

19、解得： a= 1，又 a1 ，a=1故选： B例 2、 （2011 四川眉山， 17，3 分）已知一元二次方程y23y+1=0 的两个实数根分别为y1、y2，则（ y11） （y21）的值为1分析： 先根据一元二次方程y23y+1=0 的两个实数根分别为y1、y2，求出y1+y2及 y1?y2名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 的值，再代入（y1 1） （y21）进行计算即可解答： 解：一元二次方程

20、y23y+1=0 的两个实数根分别为y1y2，y1+y2=3， y1?y2=1，（ y11） （y21） ，=y1y2y1y2+1=y1y2（ y1+y2）+1，=1 3+1，=1故答案为：1例 3、 （2011?玉林， 20，6 分）已知： x1、x2是一元二次方程x24x+1 的两个实数根求： （x1+x2）2 （2111xx）的值分析： 先根据一元二次方程根与系数的关系确定出x1与 x2的两根之积与两根之和的值，再根据2111xx=2121xxxx即可解答解答： 解：一元二次方程x24x+1=0 的两个实数根是x1、x2，x1+x2=4，x1?x2=1，（ x1+x2）2 （2111xx）=422121xxxx=42 4=4名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -